Статистический анализ случайных ошибок

При проведении серии измерений некоторой физической величины (например, длины, с помощью линейки или силы тока с помощью амперметра) из-за случайных ошибок отдельные значения x₁, x₂ , и т. д. неодинаковы.

Абсолютная погрешность определяет границы интервала, внутри которого с некоторой вероятностью заключено «истинное значение» искомой величины, и она равна взятой по модулю разности между «истинным значением» измеряемой величины и его приближенным значением x_i.

Но так как «истинное значение» измеряемой величины остается неизвестным, то в качестве наилучшего значения искомой величины принимают среднее арифметическое:

(1.1)

где x_i – i-е измеренное значение, a n - общее число измерений. Абсолютная погрешность отдельного i-го измерения запишется тогда так

или , ед. измерения.

Относительной погрешностью e_x называется отношение абсолютной погрешности к значению x_ист, т.е.

.

Относительная погрешность является безразмерной величиной (её выражают или в долях единицы, или в процентах).

Для оценки величины случайной ошибки (погрешности) измерения обычно используют величину - дисперсию измерения (стандартное отклонение)

, (1.2)

где n – общее число измерений.

Если стандартное отклонение мало, то разброс измеренных значений относительно среднего значения является малым, следовательно, точность измерения высокая. Заметим, что стандартное отклонение является всегда положительным и имеет ту же размерность, что и измеренные значения.

Чем больше повторений, тем выше точность измерений. Причина улучшения заключается в том, что положительные и отрицательные ошибки частично компенсируются при усреднении результатов нескольких измерений.

Поэтому в качестве меры погрешности результатов измерений величины x (или неопределенности среднего значения ) принимают стандартное отклонение от среднего S_n,которое часто называют средним квадратичным отклонением или стандартной погрешностью и определяют как

. (1.3)

Абсолютная погрешность Dx измеряемой величины x при относительно малом количестве измерений (например, 10 - 100) определяется формулой:

, (1.4)

где t_a,n – коэффициент (коэффициент Стьюдента), - полная абсолютная погрешность или доверительный интервал, внутри которого находится истинное значение величины . Коэффициент Стьюдента зависит от числа измерений n и от величины доверительной вероятности a (табл. 1). В соответствии с действующими государственными стандартами рекомендуется при оценке погрешностей пользоваться доверительной вероятностью a = 0,95.

Коэффициенты Стьюдента Таблица 1.1.

тn		0,90	0,95	0,98
	6,31	12,71	31,82
	2,92	4,30	6,96
	2,35	3,18	4,54
	2,13	2,78	3,75
	2,02	2,57	3,36
	1,94	2,45	3,14
	1,90	2,36	3,00
	1,86	2,31	2,90
	1,83	2,26	2,82
	1,78	2,18	2,68

 

Таким образом, окончательный результат измерений запишется в виде:

, ед. измерений, (1.5)

где Dx определяется из выражения (1.4). Запись (1.5) означает, что истинное значение величины x с вероятностью a находится в интервале (доверительном интервале) значений от до .