В.20Модели, описываемые дифференциальными уравнениями в частных

Производных. Сеточные методы решения. Проекционные методы.

Проекционно-сеточные методы (метод конечных элементов).

Стандартные пакеты. Методы математической статистики.

 

В.21. Оптимизация как заключительный этап вычислительного эксперимента. Модели и постановки задач оптимизации в различных предметных областях. Методы минимизации функций одной переменной. Классификация методов минимизации функций многих переменных. Методы условной оптимизации.

Оптимизация – это выбор наилучшего решения. Математическая теория оптимизации включает в себя фундаментальные результаты и численные методы, позволяющие находить наилучший вариант из множества возможных альтернатив без их полного перебора и сравнения. В достаточно общем виде математическую задачу оптимизации можно сформулировать следующим образом; минимизировать (максимизировать) целевую функцию с учетом ограничений на управляемые переменные. Под минимизацией (максимизацией) функции п переменных f (x)=(x1 ,.., xn) на заданном множестве U n–мерного векторного пространства Еn понимается определение хотя бы одной из точек минимума (максимума) этой функции на множестве U, а также, если это необходимо, и минимального (максимального) на множестве U значения f (x). При записи математических задач оптимизации в общем виде обычно используется следующая символика: f (x) ®min (max), хÎ U где f (x) – целевая функция, а U – допустимое множество, заданное ограничениями на управляемые переменные.Методы минимизации функций одной переменной. Оптимизация функции одной переменной - наиболее простой тип оптимизационных задач. С учетом этого можно предложить следующий алгоритм минимизации f (х) на отрезке [а; b] (классический метод). 1. Решить уравнение на интервале х (а; b), т.е. найти все стационарные точки x1, .., xk–1 (а; b). Положить x0 = а, xk = b. 2. Вычислить значения f (х) функции f (х) в точках xi, i = 0, .., k. 3. Найти . Положить х* = xm .. Для решения задачи минимизации функции f (х) на отрезке [а; b] на практике, как правило, применяют приближенные методы. Они позволяют найти решение этой задачи с необходимой точностью в результате определения конечного числа значений функции f (х) и ее производных в некоторых точках отрезка [а; b]. Методы, использующие только значения функции и не требующие вычисления ее производных, называются прямыми методами минимизации. (метод перебора, метод исключения отрезков, метод золотого сечения, деления отрезка пополам) Большим достоинством прямых методов является то, что от целевой функции не требуется дифференцируемости и, более того, она может быть не задана в аналитическом виде. Единственное, на чем основаны алгоритмы прямых методов минимизации, это возможность определения значений f (х) в заданных точках. Методы минимизации функций многих переменных Рельеф функции Понятие "рельеф функции" удобно рассмотреть на примере функции двух переменных . Эта функция описывает некоторую поверхность в трехмерном пространстве с координатами x, y, z. Задача означает поиск низшей точки этой поверхности. Метод Гаусса. Изложим этот метод на примере функций трех переменных . Выберем нулевое приближение , Фиксируем значение двух координат . Тогда функция будет зависеть только от одной переменной ; обозначим ее через . Используя какой-либо способ нахождения минимума функции одной переменной, отыщем минимум функции и обозначим его через . Мы сделали шаг из точки в точку по направлению, параллельному оси ; на этом шаге значение функции уменьшилось. Теперь из новой точки сделаем спуск по направлению, параллельному оси , то есть рассмотрим функцию найдем ее минимум и обозначим его через . Второй шаг приводит нас в точку . Из этой точки делаем третий шаг - спуск параллельно оси и находим минимум функции . Приход в точку завершает цикл спусков или первую итерацию. Далее будем повторять циклы. На каждом спуске функция не возрастает, и при этом значение функции ограничено снизу ее значением в минимуме . Следовательно, итерации сходятся к некоторому пределу . Случайный поиск Методы спуска не полноценны на неупорядоченном рельефе. Если экстремумов много, то спуск из одного нулевого приближения может сойтись только к одному из локальных минимумов, не обязательно абсолютному. Тогда для исследования задачи применяют случайный поиск. Предполагают, что искомый минимум лежит в некотором n-мерном параллелепипеде. В этом параллелепипеде выбирают случайным образом N пробных точек. Однако даже при очень большом числе пробных точек вероятность того, что хотя бы одна точка попадает в небольшую окрестность локального минимума, ничтожно мала. Действительно, пусть и диаметр котловины около минимума составляет 10% от пределов изменения каждой координаты. Тогда объем этой котловины составляет часть объема n- мерного параллелепипеда. Уже при числе переменных практически ни одна точка в котловину не попадет.
Поэтому берут небольшое число точек и каждую точку рассматривают как нулевое приближение. Из каждой точки совершают спуск, быстро попадая в ближайший овраг или котловину; когда шаги спуска быстро укорачиваются, его прекращают, не добиваясь высокой точности. Этого уже достаточно, чтобы судить о величине функции в ближайшем локальном минимуме с удовлетворительной точностью. Сравнивая окончательные значения функций на всех спусках между собой, можно изучить расположение локальных минимумов и сопоставить их величины. После этого можно отобрать нужные по смыслу задачи минимумы и провести в них дополнительные спуски для получения координат точек минимума с более высокой точностью.

 

В22.

Методы решения вариационных задач. Сведение вариационной задачи к задаче минимизации функции многих переменных. Системы поддержки принятия решений. Понятие об экспертных системах. Обзор и характеристики имеющихся стандартных пакетов программ

Вариационное исчисление — это раздел функционального анализа, в котором изучаются вариации функционалов. Самая типичная задача вариационного исчисления состоит в том, чтобы найти функцию, на которой заданный функционал достигает экстремального значения. В основе вариационного исчисления лежит понятие функционала, то есть функция , аргумент которой сам является функцией. Одной из основных задач вариационного исчисления является нахождение экстремумов функционалов .

Система поддержки принятия решений или СППР (Decision Support Systems, DSS) — это компьютерная система, которая путем сбора и анализа большого количества информации может влиять на процесс принятия решений организационного плана в бизнесе и предпринимательстве. Классификации СППР:По взаимодействию с пользователем выделяют три вида СППР:пассивные помогают в процессе принятия решений, но не могут выдвинуть конкретного предложения;активные непосредственно участвуют в разработке правильного решения;кооперативные предполагают взаимодействие СППР с пользователем. Экспертная система — это программа, которая заменяет эксперта в той или иной области.ЭС предназначены, главным образом, для решения практических задач, возникающих в слабо структурированной и трудно формализуемой предметной области. ЭС были первыми системами, которые привлекли внимание потенциальных потребителей продукции искусственного интеллекта.С ЭС связаны некоторые распространенные заблуждения. Заблуждение первое: ЭС будут делать не более (а скорее даже менее) того, чем может эксперт, создавший данную систему. Для опровержения данного постулата можно построить самообучающуюся ЭС в области, в которой вообще нет экспертов, либо объединить в одной ЭС знания нескольких экспертов, и получить в результате систему, которая может то, чего ни один из ее создателей не может.Примеры экспертных систем в военном делеACES. Экспертная система выполняет картографические работы по нанесению обстановки на карты. Система получает в качестве исходных данных карту без обстановки и информацию, описывающую расположение объектов на местности. Система выдает карту, содержащую все желаемые условные обозначения и подписи, Пример экспертной системы в компьютерных системахMIXER. Экспертная система оказывает помощь программистам в написании микропрограмм для разработанной Texas Instruments СБИС TI990. Пример экспертной системы в информатикеCODES. Экспертная система помогает разработчику базы данных, желающему использовать подход IDEF1 для определения концептуальной схемы базы данных.