Короткі теоретичні відомості
Комп'ютерне моделювання - один з найпотужніших інструментів пізнання, аналізу і проектування, який мають фахівці. Ідея комп'ютерного моделювання проста і в той же час інтуїтивно приваблива. Вона дає можливість досліднику експериментувати з об'єктами в тих випадках, коли робити це на реальному об'єкті практично неможливо або недоцільно. Сутність методології комп'ютерного моделювання полягає в заміні вихідного технологічного об'єкта його «образом» - математичною моделлю та подальшому вивченні моделі за допомогою реалізованих на ЕОМ обчислювально-логічних алгоритмів.
Сутність системного аналізу визначається його стратегією, основаною на загальних принципах розв’язання будь-якого системного завдання. До них можна віднести:
- чітке формулювання мети дослідження, постановку задач для досягнення заданої мети і визначення критеріїв ефективності розв’язання задач;
- розробку розгорнутої стратегії дослідження із зазначенням основних етапів і напрямів у розв’язку задачі;
- організацію послідовних наближень і повторних циклів досліджень на окремих етапах;
- принцип низхідної ієрархії аналізу і висхідної ієрархії синтезу при розв’язку складових конкретних задач.
Центральним поняттям системного аналізу є поняття системи, тобто об'єкта, що взаємодіє із зовнішнім середовищем і має складну внутрішню будову, велике число складових частин і елементів. Елемент системи - самостійна і умовно неподільна одиниця. Сукупність елементів і зв'язків між ними утворює структуру системи. Елементи взаємодіють між собою і навколишнім середовищем, інакше кажучи, між ними існує матеріальний, енергетичний та інформаційний зв'язок. Розділення системи на підсистеми дозволяє розкрити ієрархію структури та розглядати систему на різних рівнях її деталізації. Складність системи визначається складністю її структури, кількістю елементів і зв'язків, числом рівнів ієрархії, обсягом інформації, що перетворюється у системі. Система характеризується алгоритмом функціонування, спрямованим на досягнення певної мети.
Формалізація системи здійснюється за допомогою математичної моделі, яка відображає зв'язок між вихідними параметрами системи, параметрами стану, вхідними керуючими впливами та збуреннями. Складна система зазвичай формалізується як детерміновано-стохастична модель. З позицій системного комп'ютерного моделювання, оптимізації, управління та аналізу вирішуються задачі оптимального проектування систем. Сутність системного підходу полягає в тому, що вся інформація, яка отримується в лабораторіях, на дослідно-промислових установках, послідовно накопичується і збагачується в процесі розробки повної математичної моделі технологічної системи, яка потім використовується для оптимізації того чи іншого виробництва.
Комп'ютерне моделювання є процесом конструювання моделі реального об'єкта (системи) і постановки обчислювальних експериментів на цій моделі з метою вивчення поведінки цієї системи, або оцінки різних стратегій, що забезпечують функціонування даної системи. Таким чином, процес комп'ютерного моделювання включає і конструювання моделі, і її використання для вирішення поставленого завдання: аналізу, дослідження, оптимізації або синтезу (проектування) технологічних процесів і обладнання. Всі ці завдання надзвичайно складні і включають в себе майже нескінченне число елементів, змінних, параметрів, обмежень тощо. Намагаючись побудувати точну модель, можна спробувати включити всі ці елементи і витратити багато часу, збираючи найдрібніші факти, що стосуються будь-якої ситуації, і встановлювати зв'язки між ними. Подібність моделі з об'єктом, який вона відображає, називається ступенем ізоморфізму. Для того, щоб бути ізоморфною, модель повинна задовольняти двом умовам:
1) має існувати однозначна відповідність між елементами моделі та елементами об'єкта, що моделюється;
2) повинні бути збережені точні співвідношення або взаємодії між елементами.
Ступінь ізоморфізму моделі відносна, і більшість моделей скоріше гомоморфні, ніж ізоморфні. Під гомоморфізмом розуміється схожість за формою при відмінності основних структур, причому має місце лише поверхнева подібність між різними групами елементів моделі і об'єкта. Гомоморфні моделі є результатом процесів спрощення та абстракції.
Основою успішної методики комп'ютерного моделювання повинно бути ретельне відпрацювання моделей. Зазвичай, почавши з дуже простої моделі, поступово переходять до більш досконалої її форми, що відображує складну ситуацію більш точно.
В процесі комп'ютерного моделювання дослідник зіштовхується з трьома об'єктами: системою (реальною, проектованою, уявною), математичною моделлю і програмою на ЕОМ, що реалізує алгоритм розв'язання рівнянь моделі. Традиційна схема комп'ютерного моделювання, як єдиного процесу побудови та дослідження моделі, що має відповідну програмну підтримку, може бути представлена в наступному вигляді (рис. 2.1).
Виходячи з того, що комп'ютерне моделювання використовується для дослідження, оптимізації та проектування реальних технологічних об'єктів (систем), можна виділити наступні етапи цього процесу:
1) визначення об'єкта - встановлення меж, обмежень і вимірювачів ефективності функціонування об'єкта;
2) формалізація об'єкта (побудова моделі) – перехід від реального об'єкта до певної логічної схеми (абстрагування);
3) підготовка даних - відбір даних, необхідних для побудови моделі, і подання їх у відповідній формі;
4) розробка моделюючого алгоритму та програми на ЕОМ;
5) оцінка адекватності - підвищення до прийнятного рівня ступеня впевненості, з якої можна судити щодо коректності висновків про реальний об'єкт, отриманих на підставі звернення до моделі;
6) стратегічне планування - планування обчислювального експерименту, який повинен дати необхідну інформацію;
7) тактичне планування - визначення способу проведення кожної серії випробувань, передбачених планом експерименту;
8) експериментування - процес здійснення імітації з метою отримання бажаних даних і аналізу чутливості;
9) інтерпретація - побудова висновків за даними, отриманих шляхом імітації;
10) реалізація - практичне використання моделі та результатів моделювання;
11) документування - реєстрація ходу здійснення процесу і його результатів, а також документування процесу створення та використання моделі.
Рисунок 2.1 - Схема організації процесу комп'ютерного моделювання
Перераховані етапи створення і використання моделі визначені в припущенні, що задача найкраще може бути вирішена за допомогою комп'ютерного моделювання. Однак, це може бути не найефективніший спосіб. У тому випадку, якщо задача може бути зведена до простої моделі і вирішена аналітично немає ніякої потреби в комп'ютерному моделюванні та імітації.
Методологія комп'ютерного моделювання
У представленій на рис. 2.1 схемі організації процесу комп'ютерного моделювання основний ланцюжок (реальний технологічний об'єкт - математична модель - моделюючий алгоритм - програма на ЕОМ - обчислювальний експеримент) відповідає традиційній схемі, але головними є поняття тріади: модель-алгоритм-програма (блоки 4, 5, 6), стратегічне і тактичне планування обчислювального експерименту (блок 7), інтерпретація та документування його результатів (блок 8).
На першому етапі побудови ММ обирається «еквівалент» властивості технологічного об'єкта, що відображає в математичній формі найважливіші його властивості - закони, яким він підпорядковується, зв'язки притаманні складовим його елементів тощо. Математична модель (або її фрагменти) досліджується теоретичними методами, що дозволяє отримати важливі попередні знання про об'єкт.
Другий етап пов'язаний з розробкою методу розрахунку сформульованої математичної задачі, тобто обчислювального або моделюючого алгоритму. Фактично він являє собою сукупність алгебраїчних формул, за якими ведуться обчислення, і логічних умов, що дозволяють встановити необхідну послідовність використання цих формул. Обчислювальні алгоритми не повинні спотворювати основні властивості моделі та вихідного технологічного об'єкта, бути економічними і адаптуватися до особливостей розв'язуваних задач.
Третій етап - створення програми для реалізації розробленого моделюючого алгоритму на ЕОМ (створення комп'ютерної моделі). Використання мов програмування СІ + +, Паскаль і інших породжує ряд проблем, з яких головними є трудомісткість і недостатня гнучкість. В процесі дослідження реальних систем часто доводиться уточнювати моделі, що тягне за собою перепрограмування моделюючого алгоритму. Звісно, процес моделювання в цьому випадку не буде ефективним, якщо не забезпечити його гнучкості. Для цієї мети можна використовувати формальні схеми, що описують класи математичних моделей з певної предметної області, оскільки програмувати тоді потрібно функціонування даної схеми, а не описувані нею частинні моделі.
| |
| Рисунок 2.2 - Одномасова коливальна система |
Порядок виконання роботи
1. Розглянемо одномасову коливальну систему (рис. 2.2). Під дією періодичної сили F(t) тіло масою m, що закріплене на пружині із жорсткістю С, здійснює вимушені коливання із амплітудою y(t). Коефіцієнт тертя, що визначає розсіювання коливальної енергії, називається ще механічним опором RМ.
2. На підставі знань законів фізики та прикладної теорії коливань запишемо диференціальне рівняння коливань системи:
. (1)
Дане рівняння є детермінованою математичною моделлю, що складена за наступними гіпотезами: 1) поверхня, до якої закріплене тіло ідеально рівна та горизонтальна; 2) коливання відбуваються у вакуумі, тобто не враховується опір повітря; 3) тіло є абсолютно твердим.
3. Виконаємо перетворення Лапласа рівняння (1), прийнявши, що сила є одиничним імпульсом F(t) = d(t):
,
.
Для аналізу коливальної системи можна побудувати графіки імпульсної та перехідної характеристики.
Для побудови імпульсної перехідної (вагової) характеристики виконаємо обернене перетворення Лапласа для передавальної функції W(s):
w(t) = L-1{W(s)}.
У MatLab це реалізується наступним чином:
>> m=0.5; % значення маси тіла
>> Rm=0.1; % значення коефіцієнту тертя
>> c=0.1; % значення жорсткості пружини
>> syms s % оголошення символьної змінної
>> W=1/(s^2*m+s*Rm+c); % запис виразу передавальної функції
>> w=ilaplace(W) % зворотне перетворення Лапласа
>> ezplot(w,0,50) % побудова графіка символьної функції
Отримуємо графік імпульсної перехідної характеристики (рис. 2.3)
Рисунок 2.3 - Графік імпульсної перехідної характеристики
коливальної системи
4. Для побудови перехідної характеристики виконаємо обернене перетворення Лапласа для передавальної функції W(s)/s:
w(t) = L-1{W(s)/s}.
>> H=1/(s^3*m+s^2*Rm+c*s)
>> h=ilaplace(H)
>> ezplot(h,0,50)
Отримуємо графік перехідної характеристики (рис. 2.4)
Рисунок 2.4 - Графік перехідної характеристики коливальної системи
5. На часові характеристики коливальної системи певним чином впливають її параметри, а саме жорсткість пружини, коефіцієнт тертя та маса тіла. Для дослідження впливу кожного окремого параметра можна побудувати тривимірний графік часової характеристики.
Виконаємо дослідження впливу жорсткості пружини на характер імпульсної перехідної характеристики:
>> syms s c
>> w=ilaplace(1/(s*s*m+s*Rm+c));
>> ezsurf(w,'t','c',[0 15]) % побудова тривимірного графіка
% символьної функції
На рис. 2.5 представлений графік функції w(t) = f(t, c).
Рисунок 2.5 - Графік залежності імпульсної перехідної характеристики коливальної системи від часу та жорсткості пружини
6. Виконати пункти 1-5 для системи, яка являє собою електричне коло із послідовно або паралельно з’єднаних опору, індуктивності та ємності.
Контрольні питання
1. Що таке комп’ютерне моделювання?
2. В чому полягає сутність методології комп'ютерного моделювання?
3. Як визначити подібність моделі з об'єктом, який вона відображає?
4. Вкажіть основні етапи процесу комп'ютерного моделювання.
Література:[1-6, 7].
Лабораторна робота № 3