Тема. Вибір альтернативи на основі принципу Кондорсе

Мета: освоїти метод пошуку найкращої альтернативи на основі принципу Кондорсе.

Короткі теоретичні відомості

Парадокс голосування може виникнути при виборі альтернативи за принципом більшості, коли голосуючі з протилежними перевагами повинні вибирати із понад трьох альтернатив. Парадокс описується для комітету, що вибирає одну альтернативу, з трьох: х, у і z.

Відмічена Кондорсе складність нині відома під назвою "Парадоксу голосування". Припустимо, що комітет, що складається з трьох експертів, повинен розташувати в порядку переваги трьох альтернатив x, у і z. Перший експерт розташовує їх в наступному порядку – х, у, z, другий, – у, z, x, а третій – z, х, у. Підрахунок голосів за принципом більшості для вибору з пар кандидатів приводить до циклу: х перемагає у, у перемагає z, а z перемагає х – все двома голосами проти одного. Цей цикл є простим прикладом парадоксу голосування Кондорсе.

Коли існує більше двох альтернатив, потрібен новий принцип для проведення виборів з попарних впорядкувань. Конфігурації переваг, які приводять до парадоксу голосування, створюють трудність при кожному природному підході. Простий метод полягає у виборі альтернативи, яка не побивалася б ніякій інший. Проте за наявності парадоксу голосування такої альтернативи не існує, оскільки кожна альтернатива програє який-небудь іншій.

Кондорсе визначив правило, по якому вводиться операція порівняння вибираних альтернатив.

Згідно принципу Кондорсе, для визначення дійсної волі більшості необхідно, щоб кожен голосуючий проранжировал всіх кандидатів в порядку їх переваги, тобто виконати ранжирування. Ранжирування – розстановка декількох альтернатив по ступеню їх важливості або необхідності. Після цього для вибраної пари кандидатів визначається, скільки що голосують віддає перевагу одному кандидатові над іншим. Таким чином можна порівняти будь-яких кандидатів.

Розглянемо принцип Кондорсе, базуючись на результатах частинних ранжируваннях альтернатив: a₁, a₂, a₃, a₄, a₅.

1. Експерти здійснюють ранжування альтернатив:

E₁	E₂	E₃	E₄	E₅
a₁	a₁	a₁	a₂	a₂
a₃	a₂	a₂	a₃	a₄
a₂	a₄	a₅	a₁	a₃
a₅	a₃	a₃	a₅	a₁
a₄	a₅	a₄	a₄	a₅

2. Знаходяться оцінки m_ik, що характеризують перевагу альтернатив в парних перевагах:

m_ik	a₁	a₂	a₃	a₄	a₅
a₁
a₂
a₃
a₄
a₅

3. Виконуються перевірки згідно принципу Кондорсе: найкращою є альтернатива a_i, якщо m_ikm_ki для всіх k не рівних i.

k=4, m₁₄m₄₁, 4>1 виконується, тобто правилу Кондорсе задовольняє тільки альтернатива a₁.

4. Вибирається альтернатива Кондорсе. Це a₁.

Приклад:

Уряд прийняв рішення виділити грошові кошти з бюджету найбільш важливому соціальному об'єкту. Для виділення найпріоритетнішого була створена комісія з п’яти експертів і розглянуті запропоновані варіанти:

- розбити парк відпочинку;

- побудувати тенісні корти;

- побудувати нову телевежу;

- реконструювати центральну площу;

- побудувати бібліотеку.

Експерти здійснюють ранжування альтернатив, де Е_i - експерти, а_j - альтернативи.

m_ik a₁ a₂ a₃ a₄ a₅

a₁

a₂

a₃

a₄

a₅

Визначити найкращу альтернативу.

Приклад програми:
void main(void){//оцінки експертів, що характеризують переваги альтернатив в попарних порівнянняхint k,i,j,p[5][5];for(i=0;i<5;i++) for(j=0;j<5;j++) p[i][j]=0;for(k=0;k<5;k++) for(i=0;i<5;i++) for(j=0;j<5;j++) if(E[j][i]==(k+1)) p[k][i]=j+1;int m[5][5];for(i=0;i<5;i++) for(j=0;j<5;j++) m[i][j]=0;for(k=0;k<5;k++) { for(i=0;i<5;i++) { for(j=0;j<5;j++) { if(p[k][j] < p[i][j] && i!=k) m[k][i]++; } } }for(i=0;i<5;i++) { for(j=0;j<5;j++) { if(i!=j) cout < < m[i][j] < < " "; else cout < < " "; } cout < < endl; }// обираємо найкращу альтернативу згідно з принципом Кондорсеfor(i=0;i<5;i++) { for(j=0;j<5;j++) { if(m[i][j]>=m[j][i] && i!=j) n++; if (j==4) { if (n==4) cout < < i+1; else n=0; } } }}
Отримуємо найкращу альтернативу a₁

Порядок виконання роботи

1. Реалізувати алгоритм пошуку альтернативи на основі принципу Кондорсе в пакеті Mathcad. Ранжування альтернатив виконати самостійно. Кількість альтернатив та експертів вибрати з табл. 6.1. відповідно до варіанту.

Таблиця 6.1 - Кількість альтернатив та експертів відповідно до варіанту

№ варіанту
Кількість альтернатив та експертів

Зміст звіту

1. Номер, тема й мета лабораторної роботи.

2. Поетапно відзначений хід виконання роботи з поясненнями й реалізацією модельних експериментів.

3. Висновки по роботі.

Контрольні питання

1. В чому полягає парадокс Кондорсе?

2. Наведіть приклади критеріїв для визначення експертних оцінок.

3. Що представляє собою процедура ранжування?

4. Наведіть послідовність етапів системного аналізу, та поясніть місце етапу вибору альтернативи.

5. Поясніть роль експерта при вирішенні задачі вибору альтернатив.

6. Які існують алгоритми вибору альтернативи для слабоформалізованих задач?

7. Що таке слабоформалізовані задачі?

8. В чому полягає відмінність між задачами різного ступеню формалізації?

Література:[3, 8, 10, 11].

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

1. Дискретная математика: Учеб. для вузов / [Белоусов А. И., Ткачев С. Б.]: под ред. B. C. Зарубина, А. П. Крищенко. – 3-е изд. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. – 744 с.

2. Сурмин Ю. П. Теория систем и системный анализ: Учеб. пособие / Сурмин Ю. П. – К. : МАУП, 2003. – 368 с.

3. Антонов А. В. Системный анализ. Учеб. для вузов / Антонов А. В. – М. : Высш. шк., 2004. – 454 с.

4. Теоретические основы системного анализа // [Новосельцев В. И. Тарасов Б. В., Голиков В. К., Демин Б. Е.] ; под ред. В. И. Новосельцева. – М. : Майор, 2006. – 592 с.

5. Павленко А. И. Системный анализ в задачах проектирования АСУ. Учебное пособие / Павленко А. И. –М., 1982. – 78 с.

6. Симанков В. С. Системный анализ в адаптивном управлении: Монография / Симанков В. С., Луценко Е. В., Лаптев В. Н. ; под науч. ред. В. С. Симанкова. – Краснодар : Ин–т совр. технол. и экон., 2001. – 258 с.

7. Тарасенко Ф. П. Прикладной системный анализ (Наука и искусство решения проблем): Учебник / Тарасенко Ф. П. – Томск : Изд–во Том. ун–та, 2004. – 186 с.

8. Згуровський М. З. Основи системного аналізу / М. З. Згуровський, Н. Д. Панкратова. – К. : Видавнича група BHV, 2007. – 544 с.

9. Дьяконов В., Круглов В. MATLAB. Анализ, идентификация и моделирование систем. Специальный справочник. - СПб.: Питер, 2001. – 221 с.

10. Черноруцкий И.Г. Методы принятия решений. - СПб.: ВХБ-Петербург, 2005. – 416 с.

11. Романов В.Н. Системный анализ для инженеров. – СПб: СЗГЗТУ – 2006. – 186 с.

Методичні вказівки щодо виконання лабораторних робіт з навчальної дисципліни «Системний аналіз» для студентів денної та заочної форм навчання за напрямом 6.050201 – “Системна інженерія” (скорочений термін навчання).

Укладачі: асист. Г. О. Гаврилець,

старш. викл. І. С. Конох

Відповідальний за випуск зав. кафедри САУЕ Д. Й. Родькін

Підп. до др.____________. Формат 60х84 1/16. Папір тип. Друк ризографія.

Ум. друк. арк.__________. Накладприм. Зам. №_____. Безкоштовно.

Видавничий відділ

Кременчуцького національного університету

імені Михайла Остроградського

вул. Першотравнева, 20, м. Кременчук, 39600