Результаты численного эксперимента.

Модифицированный метод Эйлера.

Рис2

Запишем уравнение прямой выходящей из точки с наклоном, равным наклону интегральной кривой в середине отрезка точки (на рис.2). этой прямой соответствует прямая, проходящая через точки и ):

Для точки получаем

откуда немедленно следует разностное соотношение:

(*)

Значение , относящееся к середине отрезка , приближенно можно вычислить по методу Эйлера (**)

Исключая из (*) промежуточные значения (подстановкой выражения (**)), можно записать этот метод в виде следующей разностной схемы:

(***)

Система уравнений (***) представляет собой явную одношаговую разностную схему, аппроксимирующую исходную задачу (1) со вторым порядком точности

Результаты численного эксперимента.

Введем N=4 и посмотрим, как ведут себя графики решений ОДУ y(t) и z(t). Использование модифицировынного метода Эйлера позволяет получить лучшую точность решения (меньшую погрешность), чем у явногеявного методов эйлера, несмотря на то что они имеют один и тот же порядок точности.

при N=4

при N=25

при N=1000

Вывод: С использованием Модифицированного методоа Эйлера найдено приближенное решение задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений.. Рассмотрение различных случаев привело к выводу, что использование Модифицированного метода Эйлера позволяет получить лучшую точность решения (меньшую погрешность), чем у явногои неявного метода , так как они имеют один и тот же порядок точности. При увеличении N погрешность вычислений становится меньше. Тем самым при больших значениях данного параметра график функции, построенный с помощью Модифицированного методоа Эйлера будут приближаться к графику самого решения.

Листинг программы на языке Delphi:

unit Unit1;

interface

uses

Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

Dialogs, StdCtrls, ComCtrls, TeEngine, Series, ExtCtrls, TeeProcs, Chart, Buttons, Functions;

type

TForm1 = class(TForm)

;

grp1: TGroupBox; edt_ modified_metod_y: TEdit; lbl1: TLabel; edt_ modified _metod_z: TEdit;

lbl2: TLabel; edt_ modified _meyod_y0: TEdit; lbl3: TLabel; edt_ modified _metod_z0: TEdit;

lbl4: TLabel; grp2: TGroupBox; cht_ modified _metod: TChart; lnsrs_ modified _metod_y: TLineSeries;

lnsrs_ modified _metod_z: TLineSeries; cht_ modified _metod: TChart; lnsrs_ modified _metod_y: TLineSeries;

lnsrs_ modified _metod_z: TLineSeries; Label6: TLabel;

procedure btn_ modified _metod_closeClick(Sender: TObject);

procedure FormCreate(Sender: TObject);

procedure btn_ modified _metod_solveClick(Sender: TObject);

procedure btn_ modified _metod_grafikClick(Sender: TObject);

procedure GrafikTochn(l1,l2:Tlineseries);

procedure btn_ modified _metod_grafikClick(Sender: TObject);

procedure btn_ modified _metod_RungeClick(Sender: TObject);

end;

const hx=0.00001;

var

Form1: TForm1;

implementation

procedure TForm1.btn_ modified _metod_solveClick(Sender: TObject);

var h, xi, yi, zi:Real;

i,j:Integer;

begin

if input(edt_ modified _metod_y, edt_ modified _metod_z, edt_ modified _meyod_y0, edt_ modified _metod_z0, edt_ modified _metod_a, edt_ modified _metod_b, edt_ modified _metod_n, edt_ modified _metod_n) then

begin

lnsrs_ modified _metod_y.Clear; lnsrs_ modified _metod_z.Clear;

h:=(b-a)/n; yi:=y0; zi:=z0; xi:=a;

lnsrs_yavniy_ modified _y.AddXY(xi,yi); lnsrs_ modified _metod_z.AddXY(xi,zi);

for i := 0 to n-1 do

begin

FuncInput(y,xi,yi,zi); FuncInput(z,xi,yi,zi);

yi:=yi+h*y.FuncCount; zi:=zi+h*z.FuncCount; xi:=xi+h;

lnsrs_ modified _metod_y.AddXY(xi,yi); lnsrs_ modified _metod_z.AddXY(xi,zi);

end;

procedure TForm1.btn_ modified _metod_Click(Sender: TObject);

var h, h2, xi, yi, zi, yi2, zi2, e2:Real;

i,k:Integer; flag:Boolean;

begin

if input(edt_ modified _metod_y, edt_ modified _metod_z, edt_ modified _metod_y0, edt_ modified _metod_z0, edt_ modified _metod_a, edt_ modified _metod_b, edt_v_metod_e, edt_ modified _metod_n) then

begin

e2:=StrToFloat(edt_neyavniy_metod_e2.Text);

h2:=(b-a)/n; flag:=True; k:=n;

while flag do

begin

k:=k*2; yi:=y0; yi2:=y0; zi:=z0; zi2:=z0; h:=h2; h2:=h/2; xi:=a;

while xi<b do

begin

xi:=xi+h

end; xi:=a;

while xi<b do

begin

xi:=xi+h2;

flag:=((Abs(yi2-yi)>=e2)or(Abs(zi2-zi)>=e2)) end;

edt_neyavniy_metod_h.Text:=FloatToStr(h2);

edt_neyavniy_metod_Nr.Text:=IntToStr(Trunc((b-a)/h2)+1); end;

end;

procedure TForm1.GrafikTochn(l1,l2:Tlineseries);

var h, xi, yi, zi:Real; i,j:Integer;

begin

l1.Clear; l2.Clear; h:=(b-a)/200; xi:=a;

for i := 0 to 200 do

begin

yi:=Exp(xi);//2.5*(xi+0.8)-1.25*(xi+0.8)*(xi+0.8)-0.2;

zi:=xi+exp(xi);//0.2+5/4*(xi+0.8)*(xi+0.8);

l1.AddXY(xi,yi); l2.AddXY(xi,zi); xi:=xi+h; end;

end;

procedure TForm1.btn_ modified _metod_Click(Sender: TObject);

var h, h2, xi, yi, zi, yi2, zi2:Real; i,k:Integer; flag:Boolean;

begin

if input(edt_ modified _metod_y, edt_ modified _metod_z, edt_ modified _meyod_y0, edt_v_metod_z0, edt_ modified _metod_a, edt_ modified _metod_b, edt_ modified _metod_e2, edt_ modified _metod_n) then

begin

h2:=(b-a)/n; flag:=True; k:=n;

while flag do

begin

k:=k*2; yi:=y0; yi2:=y0; zi:=z0; zi2:=z0; xi:=a; h:=h2;h2:=h/2;

while xi<b do

begin

FuncInput(y,xi,yi,zi);FuncInput(z,xi,yi,zi); yi:=yi+h*y.FuncCount;

zi:=zi+h*z.FuncCount; xi:=xi+h;

end; xi:=a;

while xi<b do

begin

FuncInput(y,xi,yi2,zi2); FuncInput(z,xi,yi2,zi2);

yi2:=yi+h2*y.FuncCount; zi2:=zi+h2*z.FuncCount; xi:=xi+h2;

end;

flag:=((Abs(yi2-yi)>=e)or(Abs(zi2-zi)>=e)) end;

edt_ modified _metod_h.Text:=FloatToStr(h2);

edt_yav modified niy_metod_Nr.Text:=IntToStr(Trunc((b-a)/h2)+1);

end;

end.

Литература

1) Лекциии

2) http://physics.herzen.spb.ru/library/01/01/nm_labs/odeq.htm