Определители третьего порядка

Пусть имеем квадратную матрицу третьего порядка:

A = , (12)

элементами a_ij , которой могут быть элементы любого числового поля.

Определителем третьего порядка называется число:

a₁₁ a₂₂ a₃₃ + a₁₂ a₂₃ a₃₁ + a₁₃ a₂₁ a₃₂ - a₁₃ a₂₂ a₃₁ - a₁₂ a₂₁ a₃₃ - a₁₁ a₂₃ a₃₂ , (13)

составленное из элементов матрицы A. Слагаемые суммы (13) называют членами определителя 3-го порядка. Обозначения определителя 3-го порядка аналогичны введенным для определителя 2-го порядка:

 

(14)

Для запоминания формулы (13) нередко используют геометрическую схему составления членов определителя и выбора их знаков.

1) положительные члены определителя составляют по схеме С1:

a11					a12					a13
	a22					a23		a21
		a33		a31					a32

 

2) отрицательные члены определителя составляют по схеме С2:

		a13			a12			a11
	a22			a21						a23
a31						a33			a32

Для рассмотрения общего случая определителей n-го порядка установим основные свойства определителей 3-го порядка (все они справедливы и для определителей 2-го порядка).

Свойство 1. Величина определителя не изменится, если строки и столбцы этого определителя поменять ролями (для матрицы это преобразование называется транспонированием матрицы):

(15)

Доказательство этого свойства легко наблюдается на схемах С1 и С2: члены определителя составляются из элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца (причем ни один элемент не пропущен), как до транспонирования, так и после него. Сохранение знаков членов также очевидно.

Свойство 1 устанавливает полную равноправность строк и столбцов. Это значит, что в дальнейшем все свойства можно формулировать и для строк, и столбцов, но доказывать только для строк (или только для столбцов).

Свойство 2. Перестановка двух строк (или столбцов) определителя равносильна умножению его на число –1.

Доказательство достаточно легко пронаблюдать по схемам С1 и С2. Допустим поменяли местами строки 2-ю и 3-ю. Это приводит к перемещению всех трех «клеток» из схемы С1 формирования положительных членов определителя в схему С2 для формирования отрицательных членов, и наоборот.

Свойство 3. Если определитель имеет две одинаковые строки (или два одинаковых столбца), то он равен нулю.

Действительно, при перестановке двух одинаковых строк определитель не меняется, а по свойству 2 должен поменять знак на противоположный. Это значит, что d = -d, или d = 0.

Свойство 4. Умножение всех элементов некоторой строки (или столбца) определителя на число равносильно умножению определителя на это число.

Это значит, что общий множитель всех элементов некоторой строки (столбца) определителя можно выносить за знак этого определителя:

(16)

Это следует из выражения (13), а также из схем С1 и С2 формирования каждого члена определителя: каждый член определителя содержит только один элемент (причем обязательно содержит) из каждого столбца определителя.

Свойство 5. Если все элементы некоторой строки (или некоторого столбца) определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю.

Это свойство вытекает из свойства 4 при = 0.

Свойство 6. Если элементы двух строк (или двух столбцов) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

Это следует из последовательного применения свойства 4 (вынесение коэффициента пропорциональности за знак определителя) и свойства 3 (в определителе оказалось две равные строки).

Свойство 7. Если каждый элемент n-й строки (или n-го столбца) определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей:

(17)

Это следует из выражения (13) и правила формирования каждого члена определителя: каждый член определителя содержит только один элемент (причем обязательно содержит) из каждого столбца определителя, а также из распределительного свойства операций умножения и сложения для элементов числового поля.

Свойство 8. Если к элементам некоторой строки (или столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (другого столбца), умножен-ные на произвольный множитель , то величина определителя не изменится.

Это следует из последовательного применения свойства 7 (разбить определитель на сумму двух определителей) и свойства 6 (второй определитель равен нулю, т.к. имеет две пропорциональные строки (два пропорциональных столбца)).

Для рассмотрения «Свойства 9» требуется предварительно определить понятия «Минор данного элемента» и «Алгебраическое дополнение данного элемента».определи-теля 3-го порядка.

Преобразуем запись (13) определителя:

(18)

В соответствии с (17) определим:

1) M_ij – минор элемента a_ij: получается из данного определителя вычеркиванием строки i и столбца j, на пересечении которых стоит элемент a_ij;

2) A_ij – равняется минору элемента a_ij, взятому со знаком (+), если сумма i+j есть число четное, и со знаком (-) – в противном случае.

Запись (18) значит, что определитель равен сумме произведений элементов какого-либо столбца (какой-либо строки) на соответствующие алгебраические дополнения элементов этого столбца (строки):

(19)

(20)

Воспользуемся записью (18) и заменим 1-й столбец произвольными числами h_1, h_2,h₃:

. (21)

Если вместо чисел h_1, h_2,h₃ взять элементы 2-го или 3-го столбцов определителя, получим (см. свойство 3 ):

(22)

(23)

Учитывая полученные результаты, определим еще одно важнейшее свойство определителя:

Свойство 9: определитель равен сумме произведений элементов какого-либо столбца (какой-либо строки) на соответствующие алгебраические дополнения элементов этого столбца (строки); определитель равен нулю, если взята сумма произведений элементов одного столбца (строки), а алгебраические дополнения составлены для элементов другого столбца (строки).

Рассмотрим некоторые приложения определителя 3-го порядка.

Пусть имеем систему уравнений с тремя неизвестными:

(24)

где коэффициенты a_ij, при неизвестных x_{i ,} и свободные члены b_{i ,} системы уравнений считаются заданными.

Системе уравнений (24) соответствуют: матрица системы A (составлена из коэффициентов при неизвестных) и расширенная матрица (составлена из всех ее коэффи-циентов, включая свободные члены):

, (25)

 

Умножим 1-е уравнение системы (24) на алгебраическое дополнение А₁₁, 2-е на А₂₁ , 3-е на А₃₁ и сложим полученные уравнения:

,

или (см. свойство 9):

(26)

аналогично получим:

, ,

причем, в выражениях (26):

, , ,

А. Если , то для записи решения системы (3) можно использовать формулы Крамера:

, , (27)

Формулы (27) определяют единственное решение. Если считать каждое уравнение системы (24) уравнением плоскости, то геометрический аналог рассматриваемой системы уравнений - совокупность трех пересекающихся в одной точке плоскостей ₁, ₂, ₃, причем точка пересечения плоскостей определяется решением (x₁, x₂, x₃). Линии пересечения пар плоскостей проходят через одну точку: X= (x₁, x₂, x₃).

Пусть уравнение плоскости имеет вид:

(28)

Известно, что вектор нормали к плоскости (28) определяется записью:

(29)

Тогда плоскостям ₁, ₂, ₃ соответствуют векторы нормалей:

, , (30)

Б. Если , то применение формул Крамера невозможно, и дальнейшее исследование системы уравнений (24) требует рассмотрения ряда случаев.

Случай 1. Две (только две) строки матрицы системы А пропорциональны (потому имеем ). Пусть это будут строки 1 и 2, и пусть коэффициент пропорциональности равен . Это значит, что плоскости ₁, ₂ параллельны, т.е. векторы нормалей этих плоскостей и параллельны, т.е. коллинеарны: = . В этом случае третья плоскость ₃ пересекает плоскости ₁, ₂ по прямым l₁, l₂ , которые не пересекаются. Это значит, что система (24) решений не имеет. Это же следует из равенств (26): ни одно их них не может быть выполнено ни при каких значениях (x₁, x₂, x₃), т.к. ни один из определителей d₁, d₂, d₃ не равен нулю. Это значит, что система несовместна.

Случай 2. Все три строки матрицы системы А пропорциональны (потому имеем ). Это значит, что плоскости ₁, ₂ и ₃ параллельны, т.е. векторы нормалей этих плоскостей , и параллельны. В этом случае плоскости не пересекаются, т.е. не имеют общих точек. Это значит, что система (24) решений не имеет. Это же следует из равенств (26): ни одно их них не может быть выполнено ни при каких значениях (x₁, x₂, x₃), т.к. ни один из определителей d₁, d₂, d₃ не равен нулю. Это значит, что система несовместна.

Замечание: в случаях 1 и 2 возможна ситуация, когда одновременно с равенством выпол-няются равенства d₁=0, d₂=0 и d₃=0, причем последние равны нулю из-за равенства всех трех столбцов матрицы А . В таком случае параллельности соответствующих плоскостей остаются и точек, общих сразу для трех плоскостей, нет. Система уравнений (23) и в этом случае несовместна, хотя все равенства (26) выполняются для любых наборов чисел (x₁, x₂, x₃).

Случай 3. Две (только две) строки расширенной матрицы пропорциональны (потому имеем ). Пусть пропорциональны 2-я и 3-я строки. Это значит, что плоскости ₂, ₃ совпадают, а плоскость ₁ пересекает плоскости ₂, ₃ по прямой l_1-2, все точки которой являются общими для всех трех плоскостей. Решений (из геометрических соображений) должно быть бесчисленное множество.

На самом деле мы совпавшие плоскости не будем различать, т.к в рассматриваемом случае 3-е уравнение можно считать следствием 2-го и отбросить его. Далее необходимо рассматривать решение системы двух уравнений с тремя неизвестными:

(31)

Т.к. строки системы уравнений (31) не пропорциональны (принято в рассматриваемом случае), то хотя бы один определитель системы (31):

.

не равен нулю. Примем, что не равен нулю определитель:

, (32)

и запишем систему уравнений (31) в виде:

(33)

Далее, используя формулы Крамера (9) для случая , присваивая произвольные значения переменной x₃, будем вычислять соответствующие значения x₁, x₂. Получаемые таким образом тройки чисел (x₁, x₂, x₃), будут принадлежать упоминаемой ранее линии l_1-2 пересечения плоскостей ₁, ₂. Следовательно исходная система (24) имеет бесчисленное множество решений и потому неопределенна.

Случай 4. Все три строки расширенной матрицы пропорциональны (потому имеем ). Это значит, что плоскости ₁, ₂ и ₃ совпадают и все точки одной из плоскостей принадлежат двум другим плоскостям.

На самом деле мы совпавшие плоскости не будем различать, т.к в рассматриваемом случае 2-е и 3-е уравнения можно считать следствием 1-го и отбросить их. Далее необходимо рассматривать решение одного уравнения с тремя неизвестными:

(34)

Далее, присваивая произвольные значения переменным x₂, x₃, будем вычислять соответствующее значение x₁. Получаемые таким образом тройки чисел (x₁, x₂, x₃), будут принадлежать каждой из плоскостей ₁, ₂, ₃. Следовательно исходная система (24) имеет бесчисленное множество решений и потому неопределенна.

Представляет интерес рассмотреть частный случай системы уравнений с тремя неизвестными:

(35)

когда все свободные члены b_{i ,} системы уравнений (24) равны нулю – одно-родная система уравнений.

В этом случае каждое уравнение системы уравнений (35) соответствует плоскости, содержащей начало координат О (0, 0, 0). Это значит, что система уравнений (35) всегда имеет решение, т.к. плоскости ₁, ₂, ₃ имеют общую точку О.

Если , то решение (0, 0, 0) – единственно. Геометрически это отвечает случаю, когда среди плоскостей ₁, ₂, ₃ нет параллельных (представление об этом случае дают координатные плоскости системы координат OXYZ, где линии пересечения пар плоскос-тей – это оси координат OX, OY, OZ).

Если , то две или все три плоскости ₁, ₂, ₃ совпадают. Тогда решение системы уравнений (33) – это либо множество точек линии пересечения (прямой) двух несовпавших плоскостей, либо все множество точек, принадлежащих одной плоскости (всем совпавшим плоскостям ₁, ₂, ₃).

Рассмотрим отдельно случай, когда совпадают плоскости ₂ и ₃, т.е. 3-е уравнение можно считать следствием 2-го и отбросить его. Оставшиеся уравнения запишем в виде:

(36)

причем в этой записи считаем, что не равен нулю определитель:

, (37)

Далее, используя формулы Крамера (9) для случая , присваивая произвольные значения переменной x₃, будем вычислять соответствующие значения x₁, x₂:

, , (38)

или:

, , (39)

 

Учитывая, что неизвестные x₁, x₂, x₃ участвуют в уравнениях равноправно, получим для их вычисления симметричные выражения. Для этого рассмотрим вспомагательный определитель:

,

и его алгебраические дополнения:

, , . (40)

Используя (40), получим симметричные выражения для неизвестные x₁, x₂, x₃:

, , , (41)

где t может принимать произвольные значения. Если параметр t определить как время, и принять, что при значении t = 0 некоторая точка находилась в начале координат O (0, 0, 0), то, двигаясь со скоростью v=(p, q, d), в момент времени t движущаяся точка будет находиться в точке X(x₁, x₂, x₃).

Пример 21. Вычислим определитель: .

Решение: Используя определение определителя 3-го порядка и учитывая его свойства, вычислим определитель несколькими способами:

Способ 1. В соответствии с определением определителя 3-го порядка:

.

Способ 2. Воспользуемся Свойством 9, и вычислим данный определитель 3-го порядка разложением по 1-й строке:

.

Способ 3. Воспользуемся Св. 9, и вычислим данный определитель разложением по 2-й строке, но предварительно (см. Св.8) упростим его:

.

Действия: 1) из 2-го столбца вычли 3-й; 2) из 2-й строки вычли 3-ю; 3) к 1-му столбцу прибавили 3-й: в результате во второй строке все нули, кроме одной 1; 4) по Св.9 записали разложение по 2-й строке; 5) вычислили один определитель 2-го порядка.

Вывод: вычисление определителя 3-го порядка Способом 3 значительно упрощает вычислительные трудности при счете вручную.

Ответ: 1.

Пример 22. Заданы три плоскости: ; , . Опреде-лим, имеют ли они одну общую точку или несколько.

Решение: Для решения задачи:

1) составим определитель: из коэффициентов при неизвестных x, y, z;

2) вычислим определитель одним из способов, приведенных в примере 22: результат вычислений определителя .

Вывод: заданные плоскости имеют только одну общую точку.

Ответ: Плоскости пересекаются в одной точке.

Решите примеры:

Пример 23. Вычислите определитель: .

Пример 24. Вычислите определитель: .

Пример 25. Вычислите определитель: .

Пример 26. Вычислите определитель: , где = .

Вопросы для самопроверки:

1. Может ли определитель 3-го порядка не быть числом?

2. Изменится ли определитель 3-го порядка, если в нем строки заменить столб-цами и наоборот (проверьте!)?

3. Изменится ли определитель 3-го порядка, если в нем строки (или столбцы) поменять местами (проверьте!)?

4. Изменится ли определитель 3-го порядка, если в нем из одной строки вычесть другую строку (проверьте!)?

5. Изменится ли определитель 3-го порядка, если в нем из одного столбца вычесть другой столбец (проверьте!)?

6. Изменится ли определитель 3-го порядка, если в нем строку умножить на число 2 (проверьте!)?

7. Существует ли определитель для матрицы: ?