III.Объяснение нового материала

II. Работа с классом

Склеить из бумаги (желательно цветной) кольцо, разобрать внутреннюю и внешнюю поверхности. Разрезать кольцо по середине, убедившись, что получилось два кольца.

Учитель. Что такое “Лента Мебиуса”? Она относится к числу “математических неожиданностей”. В 1858 г. Лейпцигский профессор Август Фердинанд Мебиус, астроном и геометр, послал в Парижскую академию наук работу, включающую сведения об этом листе. Семь лет он дожидался рассмотрения своей работы, и, не дождавшись, опубликовал ее результаты.

Одновременно с Мебиусом изобрел этот лист Иоганн Бенедикт Листинг, профессор Геттингенского университета. Свою работу он опубликовал на три года раньше, чем Мебиус – в 1862г. Открыть свой “лист” Мебиусу помогла служанка, сшившая неправильно концы ленты.

Возьмем бумажную ленту, повернем один ее конец на пол-оборота (на 180 градусов), а потом склеим его с другим концом. Получим ленту Мебиуса.

Чем знаменита “Лента Мебиуса”?

Она имеет только одну сторону (возьмем карандаш и начнем закрашивать ленту в каком-нибудь направлении. Вскоре вернемся в то место, откуда начали. А теперь поглядите внимательно: закрашенной оказалась вся лента целиком! А ведь вы ее не переворачивали, чтобы закрасить с другой стороны. Да и не смогли бы перевернуть, даже если бы очень захотели. Потому как поверхность ленты Мебиуса – односторонняя.)

Что следует из свойств: что поверхность односторонняя? Свойство односторонности листа Мебиуса было использовано в технике: если ременной передачи ремень сделать в виде листа Мебиуса, то его поверхность будет изнашиваться в двое медленнее, чем у обычного кольца. Это дает ощутимую экономию. Чудесные свойства тут же породили множество многочисленных фантастических рассказов. В одном из них, описывался случай в Нью-Йоркском метро, когда потерялся во времени поезд, отправившийся в путь по пути, замкнутом в ленту Мебиуса. Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мебиуса и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Физики утверждают также, что все оптические законы основаны на свойствах ленты Мебиуса, в частности отражение в зеркале – это своеобразный перенос во времени, краткосрочный, длящийся сотые доли секунды, ведь мы видим перед собой зеркального своего двойника. А еще, из свойств, следуют удивительные превращения ленты, если разрезать ее вдоль. С начало разрежем по середине. “Ну вот, - подумали вы, - сейчас получиться два отдельных кольца”. Но что это? Вместо двух колец получается одно! Причем оно больше и тоньше другого.

Если разрезать ленту на расстояние 1/3 ее ширины от края, то получиться два кольца. Но! Одно большое и сцепленное с ним маленькое.

Если же разрезать еще и маленькое кольцо вдоль, посередине, то у вас окажется весьма “затейливое” переплетение двух колец – одинаковых по размеру, но разных по ширине.

Что получится, если перед склеиванием ленты перекрутить ее два раза (т.е. на 360градусов)? Такая поверхность будет уже двусторонней. И чтобы закрасить все кольцо целиком, вам придется непременно перевернуть ленту на другую сторону.

Свойства этой поверхности не менее удивительны. Ведь если разрезать ее вдоль по середине, то вы получите два одинаковых кольца, но опять же сцепленных между с собой.

Разрезав каждое из них еще раз вдоль посередине, вы обнаружите уже четыре кольца, соединенных друг с другом. Можно теперь рвать кольца по очереди – и всякий раз оставшиеся будут по-прежнему сцеплены вместе.

IV. Итог:

– Простая полоска бумаги, но перекрученная всего лишь раз и склеенная затем в кольцо, сразу же превращается в загадочную ленту Мебиуса и приобретает удивительные свойства. Такие свойства поверхностей и пространств изучает специальный раздел математике – Топология. Это название ей дал Иоганн Листинг. Наука эта на столько сложная, что ее в школе не проходят. Только в институтах ( и то не во всех!). Но кто знает, вдруг вы станете со временем знаменитыми топологами и совершите не одно замечательное открытие. И быть может, какую-нибудь замысловатую поверхность назовут вашим именем.

V. Домашние задание. Некоторые из вас задумывались: а что получиться, если ленту перекрутить на три оборота и склеить.

1. Самостоятельно:

Взять не бумажную ленту, а полосу любой ткани.
Повернуть один из концов полоски на три оборота, т.е. на 540 градусов.
Сшить оба конца.
Теперь возьмите ножницы и аккуратно разрежьте полоску по середине. Посмотрите, что получается.

2. Биография Мебиуса, Листинга.

3. Любой исторический материал по этой теме.

– Можно, конечно, провести еще немало опытов с перекручиванием ленты на 4 оборота, на 5, на 6 и с последующим разрезанием кольца вдоль посередине, и на расстояние 1/3 ширины от края, и в 1/4…. Но усложнение эксперимента часто не приводит к более эффектным результатам. Недаром говорят: “Просто, как все гениально”. Видимо, верно и обратное утверждение: “Гениально, как все простое”.