Практическая иллюстрация декомпозиции, сравнительных суждений и синтеза
Для иллюстрации изложенных выше идей вернемся к ЛПР, который должен из трех альтернативных решений выбрать наилучший вариант производственной программы.
В табл. 4.6 представлена еще раз матрица парных сравнений для второго уровня иерархии, которая содержит шесть критериев, воздействующих на общую цель.
Таблица 4.6
Выбор наилучшего варианта плана: матрица попарных сравнений для уровня 2
| Пара- метры | Произведение элементов строк | Вектор приоритетов | ||||||
| 2,492883 | ||||||||
| 1/2 | 1/2 | 1,955981 | ||||||
| 1/3 | 1/4 | 8,6625 | 1,4330091 | |||||
| 1/5 | 1/7 | 1/7 | 1/8 | 0,00196 | 0,353761 | |||
| 1/4 | 1/8 | 1/5 | 1/4 | 1/6 | 0,00027 | 0,254231 | ||
| 1/2 | 1/3 | 15,84 | 1,584744 | |||||
| Сумма | 2,78 | 5,515 | 8,67 | 28,25 | 6,795 | 8,074691 |
Вычислим на данном этапе расчетов вектор приоритетов, собственное значение 
, индекс согласованности и отношение согласованности. В результате вычисления сумм по строкам получим:
По первой строке: 1 × 2 × 3 × 5 × 4 × 2 = 240.
По второй строке: 0,5 × 1 × 4 × 7 × 8 × 0,5 = 56.
По третьей строке: 0,33 × 0,25 × 1 × 7 × 5 × 3 = 8,6625.
По четвертой строке: 0,2 × 0,14 × 0,14 × 1 × 4 × 0,125 = 0,00196.
По пятой строке: 0,25 × 0,125 × 0,2 × 0,25 × 1 × 0,17 = 0,00027.
По шестой строке: 0,5 × 2 × 0,33 × 8 × 6 × 1 = 15,84.
Рассчитанные числовые данные отражены в соответствующем столбце табл. 4.6.
Вычисление вектора приоритетов:
По первой строке: 
= 2,492883.
По второй строке: 
= 1,955981.
По третьей строке: 
= 1,433091
По четвертой строке: 
= 0,353761.
По пятой строке: 
По шестой строке: 
Полученные числовые данные отражены в табл. 4.6 в соответствующем столбце.
Расчет числовых оценок нормализованного вектора приоритетов по строкам осуществляется следующим образом.
По строке 1: 2,492883 : 8,074691 = 0,309.
По строке 2: 1,955981 : 8,074691 = 0,242.
По строке 3: 1,433091 : 8,074691 = 0,177.
По строке 4: 0,353761 : 8,074691 = 0,044.
По строке 5: 0,254231 : 8,074691 = 0,031.
По строке 6: 1,584744 : 8,074691 = 0,196.
В качестве примера приведем процедуру суммирования данных по столбцам на примере первого из них:
1 + 0,5 + 0,33 + 0,2 + 0,25 + 0,5 = 2,78.
Полученная расчетным путем информация отражена в табл. 4.7.
Таблица 4.7
Выбор наилучшего варианта плана: матрица попарных сравнений для уровня 2
| Критерии | Вектор приорите- тов | Оценка нормализованного вектора | ||||||
| 2,492883 | 0,309 | |||||||
| 1/2 | 1/2 | 1,955981 | 0,242 | |||||
| 1/3 | 1/4 | 1,433009 | 0,177 | |||||
| 1/5 | 1/7 | 1/7 | 1/8 | 0,353761 | 0,044 | |||
| 1/4 | 1/8 | 1/5 | 1/4 | 1/6 | 0,254231 | 0,031 | ||
| 1/2 | 1/3 | 1,584744 | 0,196 | |||||
| Сумма | 2,78 | 5,515 | 8,67 | 28,25 | 6,795 | - | - |
Определяем наибольшее значение матрицы суждений. Для этого сумму первого столбца умножаем на величину первой компоненты нормализованного вектора приоритетов, сумма второго столбца умножается на вторую компоненту нормализованного вектора приоритетов и т.д.
В результате расчетов получим:
По первой строке: 2,78 × 0,309 = 0,859.
По второй строке: 5,515 × 0,242 = 1,335.
По третьей строке: 8,67 × 0,177 = 1,535.
По четвертой строке: 28,25 × 0,044 = 1,243.
По пятой строке: 28 × 0,031 = 0,868.
По шестой строке: 6,795 × 0,196 = 1,332.
В этом случае наибольшее собственное значение матрицы суждений будет равно:
Определим численное значение индекса согласованности (ИС):
ИС = 
,
где n - число сравниваемых элементов.
В нашем случае получим ИС = (7,172 - 6) : 5 = 0,234.
Определим отношение согласованности (ОС) элементов матрицы. Для этого воспользуемся средними согласованиями для случайных матриц разного порядка.
| Размер матрицы | ||||||||||
Случайная согласованность (  )
| 0,58 | 0,9 | 1,12 | 1,24 | 1,32 | 1,41 | 1,45 | 1,49 |
В нашем случае отношение согласованности составит:
ОС = ИС : 
= 0,234 : 1,24 = 0,19 (т.е. 19%).
Величина ОС не должна быть более 20%. Если ОС выходит за эти пределы, то ЛПР, решающий задачу, должен заново исследовать содержательную ее сторону и соответствующие количественные оценки элементов и внести необходимые изменения в исходные данные.
В отношении матрицы попарных сравнений для уровня 3 вычислим векторы приоритетов, наибольшее собственное значение матрицы суждений, индекс согласованности (ИС) и отношение согласованности (ОС).
Результаты подобных расчетов в сводном виде приведены в табл. 4.8.
Из 6 приведенных выше критериев выбираем главные 3 и оцениваем их друг относительно друга, заполняем таблицу.
Таблица 4.8
Результаты расчетов по матрице попарных сравнений для уровня 3
| Критерий 1 | А | Б | В | Оценка нормализованного вектора | Критерий 2 | А | Б | В | Оценка нормализованного вектора |
| А | 1/3 | 1/5 | 0,104 | А | 1/4 | 1/5 | 0,082 | ||
| Б | 1/3 | 0,258 | Б | 1/7 | 0,184 | ||||
| В | 0,638 | В | 0,733 | ||||||
| Сумма: | 4,33 | 1,53 | Lmax = = 3,061 | Сумма: | 8,25 | 1,34 | Lmax = = 3,12 | ||
| ИС=0,03 | ИС=0,06 | ||||||||
| ОС=0,05 | ОС=103 | ||||||||
| Критерий 3 | А | Б | В | Оценка нормализованного вектора | Критерий 4 | А | Б | В | Оценка нормализованного вектора |
| А | 1/7 | 1/5 | 0,091 | А | 1/3 | 1/5 | 0,14 | ||
| Б | 0,671 | Б | 0,585 | ||||||
| В | 1/4 | 0,238 | В | 1/4 | 0,275 | ||||
| Сумма: | 1,39 | 5,5 | Lmax = = 3,16 | Сумма: | 1,58 | 5,5 | Lmax = = 3,217 | ||
| ИС=0,08 | ИС=0,11 | ||||||||
| ОС=0,14 | ОС=0,19 | ||||||||
| Критерий 5 | А | Б | В | Вектор приоритетов | Критерий 6 | А | Б | В | Вектор приоритетов |
| А | 1/4 | 1/3 | 1,114 | А | 1/3 | 1/4 | 0,108 | ||
| Б | 1/5 | 0,242 | Б | 1/5 | 0,211 | ||||
| В | 0,644 | В | 0,679 | ||||||
| Сумма | 6,25 | 1,53 | Lmax = = 3,201 | Сумма | 6,35 | 1,45 | Lmax = = 3,187 | ||
| ИС=0,1 | ИС=0,09 | ||||||||
| ОС=0,17 | ОС=0,16 |
Для понимания существа представленных в табл. 4.8 расчетных данных приведем систему последовательных вычислений по каждому из шести критериев.
Критерий 1. Объем валовой прибыли:
1. Вычисление оценки компонент собственного вектора по строкам:
; 
; 
.
2. Просуммируем оценки компонент собственного вектора:
0,404 + 0,997 + 2,466 = 3,867.
3. Определим оценки нормализованного вектора приоритетов по строкам:
0,404 : 3,867 = 0,104; 0,997 : 3,867 = 0,258.; 2,466 : 3,867 = 0,638.
4. Определим наибольшее собственное значение матрицы суждений (Lmax):
9 × 0,104 = 0,936; 4,33 × 0,258 = 1,117; 1,53 × 0,638 = 1,007.
Lmax = 0,936 + 1,117 + 1,007 = 3,061
5. Рассчитаем индекс согласованности (ИС): ИС = (3,031 - 3) : 2 = 0,03.
6. Рассчитаем отношение согласованности: ОС = 0,03 : 0,58 = 0,05.
Критерий 2. Объем выпуска (реализации) готовой продукции:
1. Вычисление оценки компонент собственного вектора по строкам:
; 
; 
.
2. Просуммируем оценки компонент собственного вектора:
0,368 + 0,824 + 3,271 = 4,463.
3. Определим оценки нормализованного вектора приоритетов по строкам:
0,368 : 4,463 = 0,082; 0,824 : 4,463 = 0,184; 3,271 : 4,463 = 0,733.
4. Определим наибольшее собственное значение матрицы суждений (Lmax):
10 × 0,082 = 0,82; 8,25 × 0,184 = 1,518; 1,34 × 0,733 = 0,982.
Lmax = 0,82 + 1,518 + 0,982 = 3,12.
5. Рассчитаем индекс согласованности (ИС):
ИС = (3,12 - 3) : 2 = 0,06.
6. Рассчитаем отношение согласованности (ОС): ОС = 0,06 : 0,58 = 0,103.
Критерий 3. Совокупная себестоимость, запланированной к выпуску продукции:
1. Вычисление оценки компонент собственного вектора по строкам:
; 
; 
2. Просуммируем оценки компонент собственного вектора:
0,412 + 3,037 + 1,077 = 4,526.
3. Определим оценки нормализованного вектора приоритетов по строкам:
0.412 : 4,526 = 0,091; 3,037 : 4,526 = 0,671; 1,077 : 4,526 = 0,238.
4. Определим наибольшее собственное значение матрицы суждений (Lmax):
13 × 0,091 = 1,183; 1,39 × 0,671 = 0,933; 5,5 × 0,238 = 1,309.
Lmax= 1,183 + 0,933 + 1,309 = 4,526.
5. Рассчитаем индекс согласованности (ИС): ИС = (4,526 - 3) : 2 = 0,08.
6. Рассчитаем отношение согласованности (ОС): 0,08 : 0,58 = 0,14.
Критерий 4. Объем средств, связанных в запасах готовой продукции на складе:
1. Вычисление оценки компонент собственного вектора по строкам:
; 
; 
.
2. Просуммируем оценки компонент собственного вектора:
0,548 + 2,289 + 1,077 = 3,914.
3. Определим оценки нормализованного вектора приоритетов по строкам:
0,548 : 3,914 = 0,14; 2,289 : 3,914 = 0,585; 1,077 : 3,914 = 0,275.
4. Определим наибольшее собственное значение матрицы суждений (Lmax):
9 × 0,14 = 1,26; 1,58 × 0,585 = 0,924; 5,5 × 0,275 = 1,513.
Lmax = 1,26 + 0,924 + 1,513 = 3,217.
5. Рассчитаем индекс согласованности (ИС): ИС = (3,217 - 3) : 2 = 0,11.
6. Рассчитаем отношение согласованности (ОС): ОС = 0,11: 0,58 = 0,19.
Критерий 5. Уровень использования производственной мощности предприятия:
1. Вычисление оценки компонент собственного вектора по строкам:
2. Просуммируем оценки компонент собственного вектора:
0,435 + 0,928 + 2,466 = 3,829.
3. Определим оценки нормализованного вектора приоритетов по строкам:
0,435 : 3,992 = 0,108; 0,843 : 3,992 = 0,211. 2,714 : 3,992 = 0,679.
4. Определим наибольшее собственное значение матрицы суждений (Lmax):
0,114 × 8 = 0,912; 6,25 × 0,242 = 1,513; 1,53 × 0,644 = 0,985.
Lmax= 0,912 + 1,513 + 0,985 = 3,201.
5. Рассчитаем индекс согласованности (ИС): ИС = (3,201 - 3) : 2 = 0,1.
6. Рассчитаем отношение согласованности (ОС): ОС = 0,1: 0,58 = 0,17.
Критерий 6. Доля осваиваемого целевого рынка:
1. Вычисление оценки компонент собственного вектора по строкам:
2. Просуммируем оценки компонент собственного вектора:
0,435 + 0,843 + 2,714= 3,992.
3. Определим оценки нормализованного вектора приоритетов по строкам:
0,435 : 3,992 = 0,108; 0,843 : 3,992 = 0,211; 2,714 : 3,992 = 0,679.
4. Определим наибольшее собственное значение матрицы суждений (Lmax):
8 × 0,108 = 0,864; 6,35 × 0,211 = 1,339; 1,45 × 0,679 = 0,984.
Lmax= 0,864 + 1,339 + 0,984 = 3,187.
5. Рассчитаем индекс согласованности (ИС): ИС = (3,187 - 3) : 2 = 0,09.
6. Рассчитаем отношение согласованности (ОС): ОС = 0,09 : 0,58 = 0,16.
Определяем численные значения глобальных приоритетов. Результаты расчетов приведем в табл. 4.9.
Таблица 4.9
Результаты расчетов глобальных приоритетов
| Номер критерия | Глобальный приоритет | |||||
| Численное значение вектора приоритета | ||||||
| 0,309 | 0,242 | 0,177 | 0,0044 | 0,031 | 0,196 | |
| 0,104 | 0,082 | 0,091 | 0,14 | 0,114 | 0,108 | 0,099 Альтернатива - А |
| 0,258 | 0,184 | 0,671 | 0,585 | 0,242 | 0,211 | 0,319 Альтернатива - Б |
| 0,637 | 0,733 | 0,238 | 0,275 | 0,644 | 0,679 | 0,554 Альтернатива-В |
Числовые данные в табл. 4.9 получены следующим образом.
Глобальный приоритет по альтернативе А составит:
0,104× 0,309+0,082× 0,242+0,091× 0,177+0,14× 0,044+0,114× 0,031=
0,108× 0,196 = 0,099.
Глобальный приоритет по альтернативе Б составит:
0,258×0,309+0,184× 0,242+0,671× 0,177+0,585× 0,044+0,242× 0,031+0,211× 0,196 = 0,319.
Глобальный приоритет по альтернативе В составит:
0,637× 0,309+0,733× 0,242+0,238× 0,177+0,275× 0,0044+ 0,644× 0,031+
+0,679× 0,196 = 0,554.
Как следует из представленных в табл.4.9 расчетов, самым лучшим вариантом сформированной производственной программы предприятия является вариант В, так как у него оказался самый наивысший глобальный приоритет (0,544).
Основные преимущества МАИ заключаются в следующем:
1) он совмещает в себе достоинства аналитических и экспертных методов;
2) обеспечивает реализацию наиболее эффективного способа оценки количественно неизмеримых, но вместе с тем важных факторов для принятия обоснованных решений;
3) не предусматривает введения ограничения на транзитивность (метод работает с несогласованными суждениями и не требует, чтобы предпочтения потребителей или ЛПР соответствовали аксиомам полезности);
4) позволяет сводить исследования сложных проблем к достаточно простой процедуре проведения последовательно попарных сравнений;
5) не предполагает прямого определения коэффициентов важности (весомостей) по показателям, используемым для оценки качества решения задачи;
6) несложен в реализации, а также не требует больших финансовых и временных ресурсов на проведение необходимых расчетов;
7) позволяет решать задачи с практически неограниченным количеством критериев;
8) достаточно легко поддается программированию и реализации на ЭВМ.
Возможные и экономически целесообразные области использования МАИ весьма разнообразны. Он вполне применим, к примеру, для решения следующего комплекса задач, связанных с обоснованием выбора:
- наиболее эффективного источника финансирования бизнес-проекта;
- наиболее удачного с экономической точки зрения места строительства коммерческой фирмы;
- эффективного способа доставки груза до торговой точки;
- перспективных рынков сбыта готовой продукции;
- конкурентоспособного товара;
- наиболее эффективного варианта расходования средств на рекламу;
- предпочтительного варианта размещения свободных денежных средств предприятия в определенные виды ценных бумаг (формирование оптимального портфеля ценных бумаг);
- наиболее эффективной системы сбытовой сети товара;
- экономически целесообразного способа амортизации производственных фондов предприятия и др.
Таблица 4.3
Шкала относительной важности сравниваемых элементов
| Интенсивность относительной важности | Определение | Объяснения |
| Равная важность | Равный вклад двух видов деятельности в цель | |
| Умеренное превосходство одного над другим | Опыт и суждения дают легкое превосходство одному виду деятельности над другим | |
| Существенное или сильное превосходство | Опыт и суждения дают сильное превосходство, что оно становится практически значительным | |
| Очень сильное превосходство | Очевидность одного вида деятельности над другим подтверждается наиболее сильно | |
| 2, 4, 6, 8,7 | Промежуточные решения между двумя суждениями | Применяются в компромиссном случае |
| Обратные величины приведенных выше чисел | Если при сравнении одного вида деятельности с другим получено одно из вышеуказанных чисел (например, 3), то при сравнении второго вида деятельности с первым получим обратную величину (т.е. 1/3) | - |