Визначення бракаючих направляючих косинусів під час оброблення компонент тензора в новій системі координат

Тензор (2-го ранґу) – це змінна величина, яка визначається в будь-якій декартовій системі координат тривимірного простору 32=9 числами (компонентами)

які під час повороту систем координат перетворяться в Ai’k’ згідно із законом

Аik = аil · аkm · Аlm, (3.1.1)

де аi’l, аk’m – направляючі косинус переходу від старої до нової системи координат [1].

 

 

Наприклад: а23 – косинус кута a між 2-ою віссю і 3-ою віссю старої системи координат. Оскільки індекси косинусів аi’l (та аk’m) набувають по три значення, існують дев'ять різних комбінацій індексів. Отже, орієнтація нової системи координат відносно

старої задають дев'ятьма направляючими косинусами. Їх зручно зобразити у вигляді таблиці (табл. 3.1), в якій 1-й індекс косинуса належать до старої, а 2-й – до нової системи координат.

 

Таблиця 3.1 - Направляючі косинуси

  X Y Z
Х аxx аxy аxz
Y аyx аyy аyz
Z аzx аzy аzz

Якщо всі дев'ять направляючих косинусів відомо, то за формулою (3.1.1) можна знайти компоненти тензора в новій системі координат. Звичайно відомо тільки три направляючі косинуси, оскільки орієнтація нової системи координат відносно старої однозначно визначається трьома кутами. Тому виникає необхідність у визначенні інших шести направляючих косинусів.

3.1.1 Записуємо відомі (задані) направляючих косинусів у табл. 3.2

 

Таблиця 3.2 - Відомі (задані) направляючих косинусів

  X Y Z
Х 0,623 0,74 0,254
Y 0,38 -0,57 0,728
Z -0,683 0,357 0,636

 

У міру визначення інших направляючих косинусів їх значення потрібно занести до відповідних місць табл. 3.2

3.1.2 Знаходимо за рівнянням Ейлера для осі

Знак визначає квадрант простору, в якому розглядають систему координат. Оскільки умовами задачі квадрант не обумовлений, вибираємо знак довільно. Хай .

3.1.3 Знаходимо косинуси для осі , використовуючи рівняння Ейлера та умову ортогональності вісей і :

.

Підставляючи відомі косинуси, маємо

 

(3.1.2)

 

Розв’язуючи отриману систему рівнянь, знаходимо два варіанти наборів направляючих косинусів для осі :

 

1-й варіант 2-й варіант

 

Проводимо перевірку, підставляючи отримані значення косинусів до формул (3.1.2)

 

1-й варіант

2-й варіант

З результатів перевірки випливає, що обидва варіанти направляючих косинусів, отже, обидва варіанти орієнтації нової системи координат у просторі, можливі. Відповідно до п. 1.2 вибираємо варіант довільно. Хай це буде 1-й варіант.

3.1.4 Знаходимо косинуси вісі , використовуючи рівняння Ейлера для цієї осі та умову ортогональності осей і :

Після підставлення відомих косинусів одержуємо:

. (3.1.3)

Розв’язучи систему (3.1.3), знаходимо два варіанти наборів направляючих косинусів:

 

1-й варіант 2-й варіант

 

Проводимо перевірку, підставляючи значення косинусів обох варіантів до системи (3.1.3). Якщо обидва варіанти задовольняють системі (3.1.3), то вибираємо один з них довільно. Отримані значення косинусів заносимо до табл. 3.2.

Остаточну перевірку правильності визначення бракуючих направляючих косинусів проводимо, обчислюючи суми квадратів косинусів за рядками табл. 3.2. Вони мають дорівнювати 1 з точністю до 4-го знака після коми (щоб надалі компоненти тензора напруг у новій системі координат можна було знайти з похибкою 10%).