Розподіл домішки вздовж зливка при витягуванні кристалів із стопу
Математичний опис розподілу концентрації домішки у кристалі виводиться за поширеними в напівпровідниковій металургії припущеннями, вперше чітко сформульованими Пфаном:
а) процесами дифузійного перерозподілу компонентів у твердій фазі можна знехтувати, тобто передбачається, що коефіцієнт дифузії компонентів у твердій фазі Dт = 0;
б) перерозподіл компонентів і, відповідно, вирівнювання складу в рідкій фазі відбуваються миттєво, тобто ефективний коефіцієнт дифузії в рідкій фазі Dр = 
. Цю умову зазвичай називають умовою повного перемішування рідкої фази;
в) ефективний коефіцієнт розподілу k - стала величина. Це припущення справедливе для малих концентрацій домішки, коли значення ефективного коефіцієнту розподілу не залежить від концентрації домішки. Однак ефективний коефіцієнт розподілу залежить від умов проведення процесу (швидкість росту кристала і умови перемішування стопу), тому йдеться про сталість протягом процесу вирощування;
г) об’єм матеріалу, який кристалізується, не змінюється при топленні і затвердінні, густина рідкої і твердої фаз рівні, тобто dт= dр;.
д) немає обміну матеріалом між конденсованою (рідкою або твердою) і газовою фазами; в системі немає дисоціюючих і летких компонентів.
Для виведення рівняння розрахунку розподілу домішки вздовж зливку припускаємо, що за час dt об’єм закристалізованої твердої фази дорівнюватиме dVт.
Запишемо рівняння матеріального балансу:
dQт + dQ = 0, (1.10)
де dQт, dQ - зміна кількості атомів легуючої домішки відповідно в твердій і рідкій фазах у процесі кристалізації;
Qi = СiVi, где Сi – концентрація домішки;
Vi – об’єм відповідної фази.
Рівняння балансу об’ємів можна представити у вигляді
dVт + dV = 0, (1.11)
де dVт, dV - зміна об’ємів твердої і рідкої фаз у процесі кристалізації.
Враховуючи, що Qi = CiVi, а також (1.1) і (1.11), перепишемо рі-
вняння (1.10) у наступному вигляді:
– kСdV + CdV + VdC = 0. (1.12)
Уведемо величину g = 1 - 
, яка позначає частку закристалізованого стопу, де V - поточний, а V0 - початковий об’єм рідкої фази. Коли підживлення немає g = 
, де Vт - об’єм закристалізованої фази. Тоді 1-g = 
; dg =- 
. Підставимо ці вирази у (1.12) і, розділяючи змінні, отримаємо рівняння матеріального балансу:
= – 
. (1.13)
Враховуючи, що при g = 0 концентрація домішки в стопі С дорівнює її початковому значенню С0, після інтегрування (1.13) отримаємо наступний закон розподілу домішки вздовж зливку:
Ст = kС0 (1 – g)k – 1 . (1.14)
Вираз (1.14) називають рівнянням Галлівера. Криві, що ілюструють ці залежності при різних значеннях коефіцієнта розподілу, наведено на рис. 1.4.
а б
а – k0 < 1; б – k0 > 1
Рисунок 1.4 - Розподіл домішок з різними коефіцієнтами розподілу по
довжині кристалів, вирощених нормальною спрямованою кристалізацією
Якщо кристал вирощують із стопу з однаковим вмістом домішки і змінюються тільки умови вирощування, які змінюють коефіцієнт розподілу k (наприклад, швидкість кристалізації f або швидкість обертання кристала щодо тигля w), то площі під кривими, відповідними коефіцієнтам розподілу k1 і k2, мають бути однакові, оскільки площа під кривою визначає сумарну кількість домішки у стопі.
Рівняння Галлівера справедливе також для опису процесів легування кристалів при вирощуванні іншими методами спрямованої кристалізації, наприклад, методами Бріджмена і Кіропулоса.
Порядок виконання роботи
1.4.1 Побудувати залежність Ст = f(g) при різних швидкостях кристалізації, задаючи в розділі "Параметри" початкову концентрацію домішки у стопі С0=1015 см–3, рівноважне значення концентрації Ср=0, значення концентрації в підживленні Сп=0, параметр підживлення В=1, коефіцієнт випаровування a=0 (домішка нелетка), площа поверхні випаровування домішки F=10 см2, діаметр кристала Dкр=100 мм.
Рівноважний коефіцієнт розподілу k0 і коефіцієнт дифузії домішки D у рідкій фазі наведено в табл. А3 і А4 Додатку А.
Розрахувати значення k для різних значень швидкості кристалізації. Дані занести до табл. 1.1.
Таблиця 1.1 – Результати розрахунку завдання 1.4.1
| Швидкість кристалізації f, см/с | f1 | f2 | f3 |
| Ефективний коефіцієнт розподілу k |
1.4.2 Побудувати залежність Ст=f(g) при різних швидкостях обертання кристала щодо тигля, задаючи в розділі "Параметри" наступні величини: С0 =1015 см–3, Ср=0, Сп=0, В=1, a =0 (домішка нелетка), F = 10 см2, Dкр=100 мм. Рівноважний коефіцієнт розподілу k0 і коефіцієнт дифузії домішки D в рідкій фазі вибрати з табличних даних (табл. А3 і А4 Додатка А).
Розрахувати значення k і для різних значень швидкості обертання кристала щодо тигля. Дані занести до табл. 1.2.
Таблиця 1.2 – Результати розрахунку завдання 1.4.2
| Швидкість обертання кристала щодо тигляw, об/хв | w1 | w2 | w3 |
| Ефективний коефіцієнт розподілу k | |||
| Товщина дифузійного шару , см |
1.4.3 Розрахувати значення рівноважного коефіцієнта розподілу вказаної у завданні домішки в рамках моделі регулярних розчинів, використовуючи для розрахунків рівняння (1.9). Термодинамічні величини і параметри взаємодії компонентів в твердій і рідкій фазах наведено в табл. А1 і А2 Додатку А. Отримані значення коефіцієнта розподілу порівняти з даними табл. А3 Додатку А.
1.4.4 Побудувати залежність k від швидкості кристалізації (за даними табл. 1.1) і швидкості обертання (за даними табл. 1.2), а також залежність товщини дифузійного шару від швидкості обертання.
Зміст звіту
Звіт має містити:
- принципову схему установки для вирощування монокристалів методом Чохральського;
- графіки розподілу концентрації домішки у твердій фазі при різних швидкостях кристалізації;
- графіки розподілу концентрації домішки у твердій фазі при різних швидкостях обертання тигля;
- залежності ефективного коефіцієнта розподілу від швидкості кристалізації (за табл. 1.1) і швидкості обертання (за табл. 1.2);
- залежність товщини дифузійного шару від швидкості обертання (за даними табл. 1.2);
- висновки по роботі.
1.6 Контрольні запитання і завдання
1.6.1 Як вирощують кристали за методом Чохральського?
1.6.2Які технологічні прийоми застосовують для зменшення густини дислокацій, які утворюються на початкових етапах отримання кристалів методом витягування із стопу?
1.6.3Діаметр шийки монокристала кремнію дорівнює 3 мм. Утворення шийки сприяє вирощуванню бездислокаційних кристалів. Обчисліть максимальну довжину зливку кремнію, яку може витримати така шийка, якщо критична напруга утворення дислокацій кр=G/30, модуль зсуву G=4,05.1010 Па, діаметр кристала 100 мм.
1.6.4Чому вводять поняття ефективного коефіцієнта розподілу при вирощуванні кристалів із стопу?
1.6.5Поясніть розподіл домішки в твердій і рідкій фазах біля фронту кристалізації для k0>1 і k0<1. Чому дорівнює k при f®0 і f® ¥?
1.6.6Поясніть, що таке "товщина дифузійного шару". Від яких параметрів технологічного процесу вона залежить?
1.6.7Обчисліть товщину дифузійного шару при легуванні германію домішкою галію в наступних випадках: а) швидкість обертання кристала wкр =80 об/хв, швидкість обертання тигля wт=10 об/хв;
б) wкр = 5 об/хв, wт=0.
1.6.8Як зміниться розподіл домішки в твердій і рідкій фазах біля фронту кристалізації, якщо збільшити швидкість обертання кристала відносно тигля? Нарисуйте ці залежності для випадків k0>1 і k0 < 1.
1.6.9Назвіть основні допущення, які використовують при виведенні розподілу домішки при спрямованій кристалізації.
1.6.10Побудуйте розподіл домішки вздовж зливка для методу Чохральського при k0>1 і k0 < 1. Як зміниться цей розподіл, якщо збільшити: а) швидкість кристалізації, б) швидкість обертання кристала щодо тигля?
1.6.11У скільки разів зміниться концентрація домішки в початковій частині кристала германію, легованого галієм, якщо швидкість кристалізації збільшити з 0,5 до 2,5 мм/хв?
1.6.12Обчисліть концентрацію індію у стопі кремнію при вирощуванні монокристала методом Чохральського зі швидкістю кристалізації 1 мм/хв, якщо концентрація індію Ст у зливку при g=0,2 стано-
вить 2.1016 см–3, швидкість обертання кристала щодо тигля 60 об/хв.
1.6.13Визначте тип електропровідності і побудуйте залежність питомого опору по довжині зливку кремнію, вирощеного методом Чохральського, якщо у вихідному стопі містилися домішки бору С0В=4.1015 см–3 і миш’яку С0As=4.1015 см–3, швидкість кристалізації
0,5 мм/хв, швидкість обертання кристала щодо тигля 100 об/хв.
1.6.14Обчисліть, як зміниться концентрація олова в кристалі кремнію при g=0,5 від початку зливка при вирощуванні методом Чохральського, якщо швидкість кристалізації виросте від 0,5 до 5 мм/хв. Початкова концентрація домішки олова у стопі складає 10-6 частки за масою. Швидкості обертання: кристала 60 мм/хв, тигля 10 об/хв.
1.6.15Обчисліть значення рівноважного коефіцієнту розподілу індію і галію в германії при використанні моделі регулярних розчинів для твердої фази, і квазірегулярних - для рідкої фази.
Лабораторна робота №2