Виведення розрахункової формули

Рисунок 1 – Нерівномірний рух

Введемо позначення:

О – О – площина порівняння (яка може бути розташована будь-де);

1, t, t+1 – вертикальні перерізи;

– кут нахилу дна водотоку до горизонту, , де i – уклон дна водотоку;

а – відмітка дна в першому перерізі відносно площини порівняння;

s – вісь; відстань від 1 до t перерізу;

z – відмітка вільної поверхні відносно площини порівняння у "t" перерізу;

h – глибина води в „t” перерізі;

– позначення вільної поверхні.

Якщо перерізи „t” та „t+1” знаходяться достатньо близько один від одного, то рівняння Бернуллі можливо використати в диференціальній формі

. (2.1)

Із рисунка 1 видно, що: . (2.2)

Продиференціюємо (2.2) за s : (2.3)

і (2.3) підставимо до (2.1), попередньо продиференціювавши за s :

. (2.4)

Позначимо: – питома енергія перерізу, а – гідравлічний уклон.

Остаточно отримаємо . (2.5)

2.2 Інтегрування рівняння (2.5)

Чарномський В.І. запропонував вважати відомими глибини на межах зон інтегрування: на початку зони інтегрування вона дорівнює нормальній глибині h₀ , а наприкінці неї – тій, що визначається умовами течії на греблі, – h_кін.

Кінцева глибина h_кін дорівнює сумі висоти греблі Р та напору на греблі Н, який визначається з формули витрати через водозлив:

,

де – коефіцієнт підтоплення, вважаємо, що водозлив не підтоплений (рис. 3) і = 1;

e – коефіцієнт стиску потоку з боків (тобто ширина потоку на греблі менша за ширину потоку перед греблею), залежить від конкретних умов і змінюється у межах 0,85 ... 0,95;

m – коефіцієнт водозливу, враховує втрати напору у межах споруди та стиснення потоку знизу. Залежить від типу водозливу, який використовують на греблі;

b – ширина водозливу (водозливного отвору).

У формулі водозливу невідомою величиною є напір на водозливі – Н:

.

Відомими є витрата Q, геометрична форма водотоку (якщо це трапецеїдальний канал, як у завданні, то відома ширина водотоку по дну b_в.б. , коефіцієнт укосу), уклон дна водотоку „i” та коефіцієнт шорсткості „n”. Усю зону за висотою зміни глибини водотоку поділяють на „k” інтервалів:

 

, (2.6)

де d – додаткова величина, яку вибирають такою, що дорівнює .

Це потрібно для того, щоб різниця між глибинами h₀ та (h₀+Dh) була незначною. Таким чином, є відомий ряд глибин починаючи з (k+1), таких значень: h₀+d; h₀+d+Dh; h₀+d+(Dh)×2; ¼ ; h₀+d+(Dh)×(k–1); h_к. Цей ряд для спрощення подальших розрахунків перепозначимо ; ; ¼ ; , . Для кожного значення h_j ( j = 1 ¼ k+1 ) підраховуємо:

, (2.7)

де w – площа поперечного перерізу.

 

Якщо відома форма поперечного перерізу водотоку, то площа поперечного перерізу є однозначно функцією глибини. Таким чином, для чисельного інтегрування рівняння (2.5) необхідно визначити гідравлічний уклон. Стосовно гідравлічного уклону зауважимо, що для нерівномірного руху невідомо, як його визначати. Тому, перше припущення – вважаємо, що в місці визначення існує рівномірний рух із всіма параметрами нерівномірного руху. Рівняння рівномірного руху:

, (2.8)

де К – модуль витрати, м³/с,

J – гідравлічний уклон, який також називають уклоном тертя й
позначають – .

Оскільки у випадку рівномірного руху глибина незмінна, тобто вільна поверхня паралельна дну каналу, замість гідравлічного уклону можна використовувати уклон дна каналу. Відповідно залежність (2.8) набуває вигляду:

. (2.9)

Зазначимо, що модуль витрати при відомому поперечному перерізі однозначно залежить від глибини потоку.

Розв’язати рівняння (2.5) можна двома шляхами. Перший – визначити гідравлічний уклон у перерізах з глибиною h_j , h_j+1 за залежністю (2.9)
(де j = 1, ¼ , k+1), позначивши i_f(i) та i_f(i+1) , та визначити середнє значення

. (2.10)

Другий – визначити середню глибину між сусідніми значеннями , а потім за залежністю (2.9), попередньо визначивши , визначити: . (2.11)

Значення середнього гідравлічного уклону, які визначаються за залежностями (2.10) або (2.11), не співпадають, критеріїв вибору тієї чи іншої залежності не існує. Тому вибір для розрахунку залежності (2.10) або (2.11) залежить від персональних уподобань.

Після визначення гідравлічного уклону рівняння (2.5) перетворюється в арифметичне лінійне рівняння, де невідоме – це відстань між перерізами з глибинами h_j та h_j+1 :

. (2.12)

Технічно підрахунки починають з глибин h_k+1 та h_k; h_k та h_k-1, h₂ та h₁. Якщо місцезнаходження (положення) греблі відомо, то положення кривої вільної поверхні може бути легко визначене.

2.3 Визначення допоміжних величин