ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Постановка задачи. На практике в результате экспериментальных исследований часто получают набор значений некоторой величины у, при фиксированных значениях второй величины x. Аналитическая зависимость между значениями х и у чаще всего неизвестна, что не позволяет, например, вычислить значение величины у в промежуточных точках, отличных от полученных экспериментально. Для нахождения значений в этих промежуточных точках строят приближённую функцию . Значения функции в имеющихся точках х либо совпадают, либо приближены к экспериментально наблюдаемым значениям у в этих точках. Построение функции называется интерполированием. Т. о. график функции должен проходить через все экспериментально полученные точки (х_i, y_i).

К интерполированию прибегают и в тех случаях, когда аналитический вид некоторой функции известен, но получение её значений в нужных точках требует громоздких вычислений. Чтобы этого избежать, функцию также заменяют приближённой функцией .

В качестве приближенной функции часто используется алгебраический многочлен (полином), вида:

Объясняется это тем, что сравнительно просто автоматизировать вычисления коэффициентов многочлена, просто его интегрировать и дифференцировать. Наряду с многочленами для аппроксимации используют элементарные функции и ряды Фурье.

Интерполяционный многочлен Лагранжа.Интерполяционный многочлен Лагранжа степени n, принимающий в точках отрезка [a; b] значения , где имеет вид:

или:

Погрешность интерполяции определяется разностью .

Таким образом, значение функции у в точке х, отличной от заданных х_i, может быть вычислено по формуле:

Эту функцию называют функцией Лагранжа.

Интерполяционный многочлен Ньютона.Интерполирование по формуле Лагранжа имеет следующие недостаток: в этой формуле каждое слагаемое представляет собой многочлен n-ой степени. Следовательно, при увеличении числа точек х_i и, соответственно, y_i увеличивается степень многочлена Лагранжа, и т.к. каждое его слагаемое зависит от всех значений аргумента х, то вычисление полинома Лагранжа необходимо производить заново. Указанного недостатка нет при вычислении полинома Ньютона.

Введём понятие разделённых разностей.

Разделёнными разностями 1-го порядка называются значения:

- называется конечными разностями 1-го порядка.

Разделёнными разностями 2-го и более высоких порядков называют:

- конечная разность 2-ого порядка и т.д.

С учётом введённых обозначений интерполяционный многочлен Ньютона имеет вид:

Погрешность:

Т.к. любой i-ый член полинома Ньютона зависит только от первых i-ых точек х_i-ых и от значения функции в них добавление новых точек вызывает лишь добавление новых слагаемых без изменения первоначальных.

Аппроксимация функций методом наименьших квадратов.Аппроксимация является частным случаем интерполирования и применяется для определения аналитического вида функции заданной таблично. Задача аппроксимации сводится к определению свободного параметра (параметров) функции заданного вида, который обеспечит наилучшее приближение функции заданной таблично модельной аналитической функцией.

Метод наименьших квадратов.

Пусть таблично задана функция . Определить аппроксимационный многочлен вида

(1) (1)

Для определения коэффициентов (где i=1,2…m) используют аппроксимацию методом наименьших квадратов. Функционал находится по формуле , где n – количество пар значений аргумента x_i и функции y_i. Т.к. S должен быть минимален, то первые частные производные от S по всем коэффициентам полинома должны равняться нулю.

Вычислим их и приравняем к нулю:

(1)

После преобразования система слегка упростится:

(2) (2)

Если полином первой степени, то 2 уравнения, если шестой степени, то 7 уравнений. Введём следующие обозначения:

С учётом этих обозначений система (2) перепишется следующим образом:

(3)

Решив эту систему одним из известных методов определится ряд значений , с помощью которого и строится многочлен (1).

Среднеквадратичное отклонение вычисляется по формуле:

ЗАДАНИЯ

1. Разработать схемы алгоритмов интерполирования функций по методам Лагранжа, Ньютона, наименьших квадратов.

2. Произвести интерполирование и аппроксимацию табличных функций, приведенных в табл. 3 (в соответствии со своим вариантом), на отрезке [a_,b] с шагом h средствами MS Excel и MathCad. Средствами Delphi создать приложение, решающее аналогичную задачу.

3. По результатам выполнения п.2 построить графики функций.

4. Произвести сравнительный анализ полученных результатов.

Таблица 3

Вариант	Значение аргумента x	Значение функции y	Пределы изменения аргумента [a; b]	Шаг интерполи-рования h
	-1.06 -0.837 -0.684 -0.315 -0.117 -0.0 0.115 0.5	1.22 0.854 0.513 0.271 0.217 0.198 0.218 0.277	[-0.8; 0.4]	0.2
	-2.15 -1.83 -1.62 -1.45 -1.01 -0.72 -0.48 0.0	-2.23 -2.65 -3.1 -3.54 -4.26 -4.38 -4.52 -4.27	[-1.95; 0.1]	0.3
	-0.21 -0.143 -0.099 -0.032 0.114 0.182 0.257 0.38	-12.64 -11.05 -10.25 -9.32 -9.25 -10.0 -11.48 -14.4	[-0.2; 0.28]	0.08
	0.215 0.441 0.638 0.865 1.05 1.30 1.55 1.82	5.82 4.63 4.10 3.34 3.0 3.29 4.32 5.72	[0.4; 1.6]	0.2
	-1.0 -0.96 -0.86 -0.79 0.22 0.50 0.93 1.10	-1.00 -0.151 0.894 0.986 0.895 0.50 -0.306 -0.51	[-0.98; 1.02]	0.35
	0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25	0.1915 0.2734 0.3413 0.3944 0.4332 0.4599 0.4773 0.4878	[0.625; 2.126]	0.25
	1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8	-0.24 -0.24 -0.16 0.0 0.24 0.56 0.96 1.44	[1.5; 2.7]	0.2
	0.43 0.48 0.55 0.62 0.70 0.75 0.78 0.81	1.64 1.73 1.88 2.03 2.23 2.36 2.41 2.78	[0.5; 0.6]	0.02
			[68; 72]	0.5
	-2.0 3.0 4.5 12.0 15.0 18.5 20.0 23.0	-17.0 -3.0 1.2 1.8 3.0 4.5 7.0 9.1	[9.8, 11]	0.2
	-2.3 0.0 1.1 4.8 7.3 9.2 11.4 13.0	-12.5 8.6 13.4 15.1 21.4 24.2 28.3 32.1	[1.5, 3]	0.5
	2.34 5.16 7.03 8.42 9.61 10.12 11.35 12.12	15.16 25.03 32.18 37.11 44.82 51.62 50.13 73.16	[3; 6]	0.5

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Аппроксимация и интерполирование функций. Постановка задачи.

2. В чем особенность аппроксимации?

3. Опишите особенности метода наименьших квадратов в случае линейной и квадратичной зависимости.

4. Какой из методов полиномиальной зависимости даёт более точный результат в вашем варианте лабораторной работы?

5. Интерполяционный многочлен Лагранжа, его преимущества и недостатки.

6. Интерполяционный многочлен Ньютона, его разновидности.

7. Оценка погрешностей методов Лагранжа и Ньютона.