МОДЕЛИРОВАНИЕ СЕЗОННЫХ И ЦИКЛИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ ВРЕМЕННОГО РЯДА

ЕН.Ф.04 Эконометрика

 

Лабораторная работа. Моделирование одномерных временных рядов

Методические указания

 

 

Направление подготовки дипломированного специалиста

080100 Экономика

 

 

Специальность 080105 Финансы и кредит

 

Уфа 2010

УДК 311

ББК 60.6

М 54

 

Рекомендовано к изданию методической комиссией экономического факультета (протокол № 4 от «19» февраля 2010 г.)

 

Составитель: к.э.н., доцент Салимова Г.А.

 

 

Рецензент: к.э.н., доцент кафедры аудита и налогообложения Нурдавлятова Э.Ф.

 

 

Ответственный за выпуск: заведующий кафедрой статистики и информационных систем в экономике д.э.н., профессор Рафикова Н.Т.

 

 

г. Уфа, ФГОУ ВПО «Башкирский государственный аграрный университет», кафедра статистики и информационных систем в экономике

Введение

 

Методические указания к практическим и лабораторным занятиям по эконометрике содержат пример решения задачи по моделированию одномерных временных рядов (попутно даются основные теоретические выкладки), задания для работы студентов.

Цель работы: овладеть навыками моделирования сезонных и циклических колебаний одномерных временных рядов, закрепить основные определения и понятия.

 

МОДЕЛИРОВАНИЕ СЕЗОННЫХ И ЦИКЛИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ ВРЕМЕННОГО РЯДА

 

Процесс построения модели включает в себя следующие шаги.

Шаг 1. Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.

Шаг 2. Расчет значений сезонной компоненты S.

Шаг 3. Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выравненных данных (Т + Е) в аддитивной или (Т×Е) в мультипликативной модели.

Шаг 4. Аналитическое выравнивание уровней (Т + Е) или (Т×Е) и расчет значений Т с использованием полученного уравнения тренда.

Шаг 5. Расчет полученных по модели значений (Т + S) или (Т×S).

Шаг 6. Расчет абсолютных и/или относительных ошибок.

 

В качестве примера построения системы уравнений рассмотрим данные по Российской Федерации: построим аддитивную и мультипликативную модели временного ряда, характеризующего внешнеторговый оборот РФ, а именно – экспорт товаров.

Таблица 1 Исходные данные для построения моделей временного ряда

Годы
Квартал,
Экспорт товаров РФ, млрд. долл. 31,1 31,7 34,9 38,2 37,3 43,2 48,5 54,3 50,2 59,6 64,8 69,0

Итак, как было сказано выше, построение аддитивной и мультипликативной моделей временного ряда предполагает нахождение трендовой (Т), сезонной (S) и случайной (Е) компонент. Аддитивная модель: Y=T+S+E, мультипликативная модель: Y=T×S×E. По исходным табличным данным построим график ряда, чтобы определить наличие компонент T, S, E.

 

Рисунок 1 Временной ряд экспорта товаров РФ

 

График фактических значений временного ряда показывает, что ряд содержит сезонные колебания периодичностью 4. Уровни ряда в 4-й квартал каждого года больше, чем в остальные.

 

Построим аддитивную модель ряда:

 

Шаг 1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Для этого составим вспомогательную таблицу 2.

Таблица 2 Расчет оценок сезонной компоненты в аддитивной модели

Номер квартала, Уровни ряда, Итого за четыре квартала Скользящая средняя за 4 квартала Центрированная скользящая средняя Оценка сезонной компоненты
31,1 31,7 34,9 38,2 37,3 43,2 48,5 54,3 50,2 59,6 64,8 69,0 - 135,9 142,1 153,6 167,2 183,3 196,2 212,6 228,9 243,6 - - 33,975 35,525 38,400 41,800 45,825 49,050 53,150 57,225 60,900 - - - 34,750 36,963 40,100 43,813 47,438 51,100 55,188 59,063 - - - - 0,150 1,237 -2,800 -0,613 1,062 3,200 -4,988 0,537 - -

 

1. просуммируем уровни ряда последовательно за каждые четыре квартала со сдвигом на один момент времени (графа 3);

2. разделим полученные суммы на 4 и найдем скользящие средние (графа 4). Полученные таким образом выравненные значения уже не содержат сезонной компоненты (их количество будет меньше количества уровней исходного временного ряда на 3 единицы);

3. приведем эти значения в соответствие с фактическими моментами времени, для этого найдем средние значения их двух последовательных скользящих средних – центрированные скользящие средние (графа 5) (их количество будет меньше количества уровней исходного временного ряда на 4 единицы).

 

Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда и центрированными скользящими средними (графа 6 таблицы 2). Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты S (таблица 3).

Таблица 3 Расчет значений сезонной компоненты в аддитивной модели

Показатель Год Номер квартала
  - -2,800 -4,988 - -0,613 0,537 0,150 1,062 - 1,237 3,200 -
Итого за i-й квартал (за все годы) х -7,788 -0,076 1,212 4,437
Средняя оценка сезонной компоненты для i-ого квартала, х -3,894 -0,038 0,606 2,219
Скорректированная сезонная компонента, х -3,618 0,239 0,883 2,496

Найдем средние за каждый квартал (по все годам) оценки сезонной компоненты . В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по все кварталам должна быть равна нулю.

Имеем для данной модели: -3,894 – 0,038 + 0,606 + 2,219 = -1,107.

Определим корректирующий коэффициент:

.

Рассчитаем скорректированные значения сезонной компоненты как разность между ее средней оценкой и корректирующим коэффициентом :

, где

Проверим условие равенства нулю суммы значений сезонной компоненты:

-3,618 + 0,239 + 0,883 + 2,496 = 0.

Таким образом, получены следующие значения сезонной компоненты:

1 квартал:

2 квартал:

3 квартал:

4 квартал:

Занесем полученные значения в таблицу 4 для соответствующих кварталов каждого года (графа 3).

Шаг 3. Вычтем значение сезонной компоненты из каждого уровня исходного временного ряда, чтобы устранить ее влияние. Получим: T + E = Y – S (графа 4 таблицы 4). Эти значения рассчитываются для каждого момента времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.

 

Таблица 4 Расчет выравненных значений Т и ошибок Е в аддитивной модели

Т + Е = Т Т + S Е = - (T + S)
31,1 31,7 34,9 38,2 37,3 43,2 48,5 54,3 50,2 59,6 64,8 69,0 -3,618 0,239 0,883 2,496 -3,618 0,239 0,883 2,496 -3,618 0,239 0,883 2,496 34,718 31,461 34,017 35,704 40,918 42,961 47,617 51,804 53,818 59,361 63,917 66,504 28,690 32,001 35,312 38,623 41,934 45,245 48,556 51,867 55,178 58,489 61,800 65,111 25,072 32,240 36,195 41,119 38,316 45,484 49,439 54,363 51,560 58,728 62,683 67,607 6,028 -0,540 -1,295 -2,919 -1,016 -2,284 -0,939 -0,063 -1,360 0,872 2,117 1,393 36,334 0,292 1,677 8,521 1,032 5,217 0,882 0,004 1,850 0,760 4,482 1,940 249,64 231,04 144,00 75,69 92,16 13,69 2,56 54,76 10,89 161,29 320,41 488,41

Шаг 4. Определим компоненту Т данной модели. Для этого проведем выравнивание ряда (Т + Е) с помощью линейного тренда.

 

Таблица 5 Расчет линейного тренда уровней временного ряда

№ п/п
34,718 34,718 28,690
31,461 62,922 32,001
34,017 102,051 35,312
35,704 142,816 38,623
40,918 204,590 41,934
42,961 257,766 45,245
47,617 333,319 48,556
51,804 414,432 51,867
53,818 484,362 55,178
59,361 593,610 58,489
63,917 703,087 61,800
66,504 798,048 65,111
Итого 562,800 4131,721 562,806

 

Для оценки параметров и необходимо составить систему нормальных уравнений:

.

Система нормальных уравнений составит:

Решаем ее:

Итак, линейный тренд имеет вид: .

Найдем уровни Т для каждого момента времени (графа 5 таблицы 4).

 

Шаг 5. Найдем значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели. Для этого прибавим к уровням Т значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов (графа 6 таблицы 4).

Шаг 6. Рассчитаем ошибку (случайную компоненту Е) модели. Численные значения абсолютных ошибок приведены в таблице 4 (графа 7).

 

Таким образом, мы рассчитали количественные значения трендовой, сезонной и случайной компонент уровней временного ряда за каждый квартал за три года по аддитивной модели. Так, например, расчеты за четвертый квартал 2008 г. (12-й уровень ряда) показывают, что если бы ряд содержал только трендовую составляющую (тенденцию уровней – ежеквартальное увеличение экспорта на 3,311 млрд. долл), то экспорт составил бы 65,111 млрд. долл. Прибавляя сезонную компоненту, равную за четвертый квартал 2,496 млрд. долл, мы получаем уровень ряда 65,111 + 2,496 = 67,607 млрд. долл. Однако из-за воздействия случайной составляющей (о причинах которой мы можем предполагать), равной 1,393, фактический экспорт товаров в четвертом квартале 2005 г. составил 67,607 + 1,393 = 69,0 млрд. долл.

 

Для оценки качества построения модели можно использовать сумму квадратов абсолютных ошибок. Для данной построенной аддитивной модели сумма квадратов абсолютных ошибок равна = 62,991. По отношению к общей сумме квадратов отклонений уровней ряда от его среднего уровня, равной , эта величина составляет: или 96,6% - аддитивная модель объясняет 96,6% общей вариации уровней временного ряда экспорта товаров Российской Федерации за 2006 – 2008 гг.

На основе построенной модели сделаем точечный прогноз ожидаемого экспорта товаров Российской Федерации в течение первого квартала 2009 года. Прогнозное значение уровня временного ряда в аддитивной модели есть сумма трендового значения и соответствующего значения сезонной компоненты

Для расчета трендовых значений воспользуемся уравнением тренда, рассчитанным нами на шаге 4:

: рассчитываем (первый квартал четвертого в ряду года будет стоять под номером 13 – продолжение ряда)

.

Значение сезонной компоненты за первый квартал равно

Прогнозное значение составит:

Экспорт товаров Российской Федерации в первом квартале 2009 года составит 64,804 млрд. долл. Заметим, что фактически экспорт товаров за первые два месяца 2009 г. (по данным Росстата) составил 43,0 млрд. долл (в январе – 20,9, в феврале – 22,1) – мы практически точно дали прогноз данному показателю.

 

Построим мультипликативную модель ряда:

Шаг 1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней (таблица 6 – та же методика расчета, что и для аддитивной модели табл. 2).

Таблица 6 Расчет оценок сезонной компоненты в мультипликативной модели

Номер квартала, Уровни ряда, Итого за четыре квартала Скользящая средняя за 4 квартала Центрированная скользящая средняя Оценка сезонной компоненты
31,1 31,7 34,9 38,2 37,3 43,2 48,5 54,3 50,2 59,6 64,8 69,0 - 135,9 142,1 153,6 167,2 183,3 196,2 212,6 228,9 243,6 - - 33,975 35,525 38,400 41,800 45,825 49,050 53,150 57,225 60,900 - - - 34,750 36,963 40,100 43,813 47,438 51,100 55,188 59,063 - - - - 1,004 1,033 0,930 0,986 1,022 1,063 0,910 1,009 - -

 

Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты как частное от деления фактических уровней ряда на центрированные скользящие средние (графа 6 таблица 6). Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты S (таблица 6). Для этого найдем средние за каждый квартал оценки сезонной компоненты . Взаимопогашаемость сезонных воздействий в мультипликативной модели выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по все кварталам должна быть равна числе периодов в цикле, т.е. 4 (4 квартала в цикле – в году).

Таблица 7 Расчет сезонной компоненты в мультипликативной модели

Показатель Год Номер квартала
  - 0,930 0,910 - 0,986 1,009 1,004 1,022 - 1,033 1,063 -
Итого за i-й квартал (за все годы) х 1,840 1,995 2,026 2,096
Средняя оценка сезонной компоненты для i-ого квартала,   х 0,920 0,998 1,013 1,048
Скорректированная сезонная компонента,   х 0,925 1,003 1,018 1,054

Имеем: 0,920 + 0,998 + 1,013 + 1,048 = 3,979.

Рассчитаем корректирующий коэффициент:

Определим скорректированные значения сезонной компоненты, умножив ее средние оценки на корректирующий коэффициент : , где

Проверим условие равенства четырем суммы значений сезонной компоненты:

0,925 + 1,003 + 1,018 + 1,054 = 4.

Получим следующие значения сезонной компоненты:

1 квартал:

2 квартал:

3 квартал:

4 квартал:

Занесем полученные значения в таблицу 8 для соответствующих кварталов каждого года (графа 3).

 

Шаг 3. Разделим каждый уровень исходного ряда на соответствующие значения сезонной компоненты. Получим T × E = Y / S (графа 4 таблицы 8). Эти значения рассчитываются для каждого момента времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.

 

Таблица 8 Расчет выравненных значений Т и ошибок Е в мультипликативной модели

Т × Е = Т Т × S Е = : (T×S) Е = - (T×S)
31,1 31,7 34,9 38,2 37,3 43,2 48,5 54,3 50,2 59,6 64,8 69,0 0,925 1,003 1,018 1,054 0,925 1,003 1,018 1,054 0,925 1,003 1,018 1,054 33,622 31,605 34,283 36,243 40,324 43,071 47,642 51,518 54,270 59,422 63,654 65,465 28,626 31,923 35,220 38,517 41,814 45,111 48,408 51,705 55,002 58,299 61,596 64,893 26,479 32,019 35,854 40,597 38,678 45,246 49,279 54,497 50,877 58,474 62,705 68,397 1,175 0,990 0,973 0,941 0,964 0,955 0,984 0,996 0,987 1,019 1,033 1,009 4,621 -0,319 -0,954 -2,397 -1,378 -2,046 -0,779 -0,197 -0,677 1,126 2,095 0,603 21,354 0,102 0,910 5,746 1,899 4,186 0,607 0,039 0,458 1,268 4,389 0,364 249,64 231,04 144,00 75,69 92,16 13,69 2,56 54,76 10,89 161,29 320,41 488,41

 

Шаг 4. Определим компоненту Т в мультипликативной модели. Для этого проведем выравнивание ряда (Т × Е) с помощью линейного тренда.

 

Таблица 9 Расчет линейного тренда уровней временного ряда

№ п/п
33,622 33,622 28,626
31,605 63,210 31,923
34,283 102,849 35,220
36,243 144,972 38,517
40,324 201,620 41,814
43,071 258,426 45,111
47,642 333,494 48,408
51,518 412,144 51,705
54,270 488,430 55,002
59,422 594,220 58,299
63,654 700,194 61,596
65,465 785,580 64,893
Итого 561,119 4118,761 561,114

 

Для оценки параметров и необходимо составить систему нормальных уравнений:

.

 

Система нормальных уравнений составит:

Решаем ее:

Итак, линейный тренд имеет вид: .

Найдем уровни Т для каждого момента времени (графа 5 таблицы 8).

 

 

Шаг 5. Найдем уровни ряда по мультипликативной модели, умножив уровни Т на значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов (графа 6 таблицы 8).

 

Шаг 6. Расчет ошибки в мультипликативной модели проводится по формуле Е = : (T × S). Численные значения ошибки приведем в графе 7 таблицы 8.

 

Итак, мы рассчитали количественные значения трендовой, сезонной и случайной компонент уровней временного ряда за каждый квартал за три года по мультипликативной модели. Выводы можно сделать аналогично построенной ранее аддитивной модели.

Чтобы сравнить мультипликативную модель ряда с построенной ранее аддитивной моделью, используем сумму квадратов абсолютных ошибок. Абсолютные ошибки в мультипликативной модели определяются по формуле: Е = - (T×S). В данной модели сумма квадратов абсолютных ошибок составляет 41,322. Общая сумма квадратов отклонений фактических уровней ряда от среднего значения . Доля объясненной дисперсии уровней ряда динамики равна: или 97,8% - мультипликативная модель объясняет 97,8% общей вариации уровней временного ряда экспорта товаров Российской Федерации за 2006 – 2008 гг.

Таким образом, мультипликативная модель лучше описывает данный временной ряд, чем аддитивная.

Чтобы на основе построенной мультипликативной модели дать прогноз экспорта товаров, сделаем точечный прогноз ожидаемого экспорта товаров Российской Федерации в течение первого квартала 2009 года. Прогнозное значение уровня временного ряда в мультипликативной модели есть произведение трендового значения и соответствующего значения сезонной компоненты

Для расчета трендовых значений воспользуемся уравнением тренда, рассчитанным нами на шаге 4: , первый квартал 2009 г. будет стоять под номером 13 в ряду, поэтому

Значение сезонной компоненты за первый квартал равно

Прогнозное значение составит:

Экспорт товаров Российской Федерации в первом квартале 2009 года составит 63,076 млрд. долл (меньше, чем рассчитанный по аддитивной модели).

Варианты заданий для самостоятельной работы студентов

 

Задание: Используя данные своего варианта и разобранный пример, построить аддитивную и мультипликативную модели временного ряда (вариант определяет преподаватель), сделать прогноз на первый квартал следующего года (после таблицы дается фактический уровень для первого квартала следующего года – для которого Вы делаете прогноз – для проверки правильности Ваших расчетов).

 

Вариант 1. Исходные данные для построения моделей временного ряда

Годы
Квартал, t
Производство яиц в РФ, млрд. шт. yt 7,74 9,26 8,68 7,07 7,52 9,09 9,08 7,46 7,85 9,33 9,15 7,73

Фактический уровень ряда за 1-ый квартал 2004 г. = 7,72 млрд. шт.

 

Вариант 2. Исходные данные для построения моделей временного ряда

Годы
Квартал, t
Производство яиц в РФ, млрд. шт. yt 7,72 9,68 9,69 8,08 8,30 10,10 9,63 8,24 8,34 10,14 9,73 8,23

Фактический уровень ряда за 1-ый квартал 2007 г. = 8,18 млрд. шт.

 

Вариант 3. Исходные данные для построения моделей временного ряда

Годы
Квартал, t
Производство яиц в РФ, млрд. шт. yt 8,34 10,14 9,73 8,23 8,17 9,80 9,53 8,23 8,26 10,12 9,88 8,56

Фактический уровень ряда за 1-ый квартал 2009 г. = 8,61 млрд. шт.

 

 

Вариант 4. Исходные данные для построения моделей временного ряда

Годы
Квартал, t
Производство молока в РФ, млн. тонн yt 6,09 11,25 10,67 5,25 5,85 10,78 10,35 5,30 5,86 10,65 10,33 5,43

Фактический уровень ряда за 1-ый квартал 2004 г. = 5,89 млн. тонн.

 

Вариант 5. Исходные данные для построения моделей временного ряда

Годы
Квартал, t
Производство молока в РФ, млн. тонн yt 5,89 10,78 10,43 5,82 6,19 10,88 10,37 6,07 6,31 10,63 10,33 6,02

Фактический уровень ряда за 1-ый квартал 2007 г. = 6,11 млн. тонн.

 

Вариант 6. Исходные данные для построения моделей временного ряда

Годы
Квартал, t
Производство молока в РФ, млн. тонн yt 6,31 10,63 10,33 6,02 6,16 10,11 9,87 5,80 5,85 9,73 9,56 5,86

Фактический уровень ряда за 1-ый квартал 2009 г. = 5,87 млн. тонн.

 

Вариант 7. Исходные данные для построения моделей временного ряда

Годы
Квартал, t
Производство мяса в РФ, млн. тонн yt 1,55 1,40 1,60 2,96 1,43 1,26 1,40 2,73 1,44 1,31 1,48 2,78

Фактический уровень ряда за 1-ый квартал 2004 г. = 1,45 млн. тонн.

 

Вариант 8. Исходные данные для построения моделей временного ряда

Годы
Квартал, t
Производство мяса в РФ, млн. тонн yt 1,45 1,29 1,48 2,79 1,51 1,38 1,52 2,90 1,62 1,45 1,58 3,02

Фактический уровень ряда за 1-ый квартал 2007 г. = 1,64 млн. тонн.

 

Вариант 9. Исходные данные для построения моделей временного ряда

Годы
Квартал, t
Производство мяса в РФ, млн. тонн yt 1,62 1,45 1,58 3,02 1,64 1,49 1,63 2,97 1,59 1,47 1,64 2,91

Фактический уровень ряда за 1-ый квартал 2009 г. = 1,63 млн. тонн.

 

 

Вариант 10. Исходные данные для построения моделей временного ряда

Годы
Квартал, t
Перевозки грузов ж/д транспортом в РФ, млн. тонн yt

Фактический уровень ряда за 1-ый квартал 2005 г. = 248 млн. тонн.

 

Вариант 11. Исходные данные для построения моделей временного ряда

Годы
Квартал, t
Перевозки грузов ж/д транспортом в РФ, млн. тонн yt

Фактический уровень ряда за 1-ый квартал 2007 г. = 289 млн. тонн.

 

Вариант 12. Исходные данные для построения моделей временного ряда

Годы
Квартал, t
Перевозки грузов ж/д транспортом в РФ, млн. тонн yt

Фактический уровень ряда за 1-ый квартал 2009 г. = 304 млн. тонн.

Вариант 13. Исходные данные для построения моделей временного ряда

Годы
Квартал, t
Ввод в действие жилых домов, млн. кв. м. yt 4,1 5,5 5,9 16,5 4,1 5,7 5,9 14,6 4,0 5,7 6,6 15,4

Фактический уровень ряда за 1-ый квартал 2005 г. = 4,8 млн. кв. м.

 

Вариант 14. Исходные данные для построения моделей временного ряда

Годы
Квартал, t
Ввод в действие жилых домов, млн. кв. м. yt 4,8 6,4 7,3 15,3 5,6 7,1 7,6 16,1 6,0 7,2 8,5 19,3

Фактический уровень ряда за 1-ый квартал 2008 г. = 6,7 млн. кв. м.

 

 

Вариант 15. Исходные данные для построения моделей временного ряда

Годы
Квартал, t
Ввод в действие жилых домов, млн. кв. м. yt 5,6 7,1 7,6 16,1 6,0 7,2 8,5 19,3 6,7 7,7 8,9 20,3

Фактический уровень ряда за 1-ый квартал 2009 г. = 6,3 млн. кв. м.

 

Вариант 16. Исходные данные для построения моделей временного ряда

Годы
Квартал, t
Экспорт товаров РФ, млрд. долл. yt 15,3 17,1 18,9 24,3 23,9 25,5 26,6 29,1 25,6 26,2 25,6 24,6

Фактический уровень ряда за 1-ый квартал 2005 г. = 21,9 млрд. долл.

 

Вариант 17. Исходные данные для построения моделей временного ряда

Годы
Квартал, t
Экспорт товаров РФ, млрд. долл. yt 25,6 26,2 25,6 24,6 21,9 26,3 28,9 30,2 31,1 31,7 34,9 38,2

Фактический уровень ряда за 1-ый квартал 2007 г. = 37,3 млрд. долл.

Вариант 18. Исходные данные для построения моделей временного ряда

Годы
Квартал, t
Численность населения в РФ с денежными доходами ниже прожиточного минимума, млн. чел. yt 49,8 43,4 38,6 33,2 45,1 39,1 35,4 30,9 37,2 33,2 31,2 23,1

Фактический уровень ряда за 1-ый квартал 2007 г. = 31,6 млрд. долл.

 

 

Библиографический список

1. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики. Учебник для вузов. – М.: ЮНИТИ, 1998. – 1022 с.

2. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика в задачах и упражнениях: Учебник для вузов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. – 270 с.

3. Афанасьев В.Н., Юзбашев М.М., Гуляева Т.И. Эконометрика: Учебник / В.Н.Афанасьев, М.М.Юзбашев, Т.И.Гуляева; под ред. В.Н.Афанасьева. – М.: Финансы и статистика, 2005. – 256 с.

4. Доугерти К. Введение в эконометрику: Учебник / Пер. с англ. – М.: ИНФРА-М, 2004. – 432 с.

5. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс: Учеб. – М.: Дело, 2004. – 576 с.

6. Практикум по эконометрике: Учеб. пособие / И.И. Елисеева, С.В. Курышева, Н.М. Гордеенко и др.; Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2002. – 192 с.

7. Эконометрика: Учебник / И.И.Елисеева, С.В.Курышева, Т.В.Костеева и др.; Под ред. И.И.Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2005. – 576 с.