Предмет математичного моделювання.
Безліч задач, з якими доводиться мати справи в повсякденній практиці, є богато варіантні.
Серед множини варіантів, в умовах ринкових відносин, доводиться відшукувати найкраще в деякому сенсі рішення, при обмеженнях, накладених на природні, економічні та технологічні відносини. Прийняття рішень відіграє велику роль у всіх сферах людської діяльності. Для постановки задачі ухвалення рішення необхідно мати дві умови:
· Наявність вибору;
· Наявність принципу, на підставі якого здійснюється вибір варіанта рішення.
На ранніх етапах розвитку суспільства доступний обсяг інформації, що використовувався для прийняття рішення, був невеликий. Тому оптимальне в певному сенсі рішення приймалося на підставі інтуїції і досвіду керівників, що приймали рішення, або просто за принципом вольового вибіру. Вольовий вибір часто використовується і сьогодні як єдино можливий при відсутності формалізованих моделей. При такому підході не було і не може бути ніякої впевненості в тому, що знайдений варіант – найкращий. При сьогоденних масштабах виробництва деякі незначні помилки приводять до значних втрат. В зв’язку з цим, виникла потреба при аналізі економічних систем у використанні математичного аппарату та обчислювальної техніки.
Чому ж традиційні методи управління економікою не дають оптимальних рішень?
Головні причини:
- Неповний обсяг інформації. Господарник часто не помічає недоліків інформації та приймає не найкраще рішення, оскільки велика доля інформації має ймовірний характер або невизначений характер.
- Замість єдиного варіанта господарського рішення стало можливим оцінювати декілька варіантів.
- Недостатня кваліфікація керівників приводить до неможливості сприйняти у повному обсязі всю інформацію.
- З зростанням обсягу інформації про досліджуване явище для ухвалення оптимального рішення став використовуватися ряд прямих розрахунків.
Так відбулося, наприклад, створення календарних планів роботи промислових підприємств. Розрахунок дає обгрунтування прийнятому рішенню, дозволяє порівняти рішення за ефективністю. Для порівняння різних варіантів потрібна деяка ознака, що зветься критерієм ефективності. Варіант для якого прийнятий критерій приймає найкраще значення називають оптимальним, а задачу ухвалення найкращого рішення – задачею оптимізації.
Протягом останніх декількох десятиліть у розвинутих країнах широко застосовують систему підтримки прийняття рішень (СППР), які в даний час інтенсивно впроваджують в нашій країні. СППР, крім программного забезпечення містять у собі банк економіко-математичних методів і моделей. Щоб ефективно застосовувати СППР, треба володіти методами математичного моделювання, вміти будувати економіко-математичні моделі, знати методи оптимізації економічних процесів та явищ.
Моделювання – це потужний засіб наукового пізнання для вирішення практичних задач.
Модель – зображення, умовний образ об’єкта дослідження, сконструйований для спрощення цього дослідження. Східність моделі з оригіналом завжди неповна.
Виділяють фізичне та математичне моделювання.
В основу фізичного моделювання покладено експеримент.
Математичне моделювання економічних систем є предметом нашого курсу.
Економіко – математичне моделювання – це опис та дослідження економічних систем, процесів та явищ.
Практичні задачі ЕММ можуть бути условно поділені на три класи:
· Аналіз економічних систем;
· Економічне прогнозування;
· Прийняття управлінських рішень на всіх рівнях економічних систем.
2. Моделювання в економіці.
Для використання кількісних методів досліджень у будь-якій області завжди потрібно побудувати ту чи іншу модель явища. Безпопередня побудова моделі необхідна, як правило, при вивченні складних об’єктів та явищ, в яких результуюча дія причинно-наслідкових зв’язків неочевидна. В цих випадках використовують математичні моделі, які дають змогу установити вид функціонального зв’язку характеристик об’єктів моделювання з множиною параметрів, які не включені в модель.
Використання математичних моделей дозволяє, по-перше, виділити та описати найбільш важливі, суттєві зв’язки змінних та об’єктів.
По-друге, методи математики та статистики дають змогу одержати нові знання про об’єкт: оцінити форму та параметри залежностей таких його змінних, які найкраще відповідають наявним спостереженням. По-трете, використання мови математики дозволяє точно та компактно описувати положення теорії, формулювати її поняття та висновки.
Для дослідження різноманітних фізичних явищ спеціалісти використовують їх спрощені формалізовані описи, які називаються моделями. Побудова моделей дає змогу виявити та відібрати суттеві фактории, які визначають явище, та відкинути не суттєві фактории, які мало впливають на рішення поставленої проблеми. Формалізація основних характеристик функціонування фізичних об’єктів дає можливість оцінити наслідки зовнішнього впливу на них і одержані оцінки використовувати на практиці.
Оскільки люба модель може тільки наближено описувати властивості реального процессу або явища і, як наслідок, неповна, то виділяючи найбільш суттеві фактории, які визначають закономірності функціонування економічного об’єкту, вона абстрагується від інших факторів, які незважаючи на свою відносну малість, все ж таки у сукупності можуть спричиняти не тільки відхилення у поведінці об’єкта, але й саму його поведінку. Так попит на який - небудь товар визначається його ціною і доходом споживача. Насправді, на величину попиту впливає також ряд інших факторів: смаки і очикування споживача, ціни на інші товари, реклама, мода…. Звичайно припискають, що всі фактори, які явно не враховуються в математичній моделі, справляють на об’єкт відносно малий результуючий вплив. Склад врахованих в моделі факторів та її структура можуть бути уточнені в процесі удосконалення моделі.
Варто відзначити, що в залежності від цілей дослідження один і той же об’єкт може бути описаний різними математичними моделями. Неможливо сформулювати загальну модель об’єкта. Крім того, оскільки вид математичної моделі не витікає однозначно із постановки задачі, то доцільно розв’язувати одну і ту ж економічну задачу декілька раз, використовуючи різні моделі з різними системами обмежень. Якщо наукові висновки від моделі до моделі змінюються мало, то це свідчить про об’єктивність отриманих результатів досліджень.
При побудові математичної моделі можна виділити наступні характерні етапи:
1. Постановка конкретної задачі у термінах, в яких описуються досліджувані процеси.
2. Формалізація задачі – вибір математичної моделі з фіксованою формою всіх структурних рівнянь (специфікація моделі).
3. Перевірка та коригування моделі, визначення ступеня її адекватності реальним процесам.
4. Прогнозування на основі одержаної моделі.
5. Використання побудованої математичної моделі.
Основними вимогами, що визначають придатність математичної моделі до практичного застосування та її ефективність, є вимоги щодо достовірності, оперативності і контрольованості результатів.
Необхідно відрізняти математичну структуру моделі від її змістовної інтерпретації. Одна і та ж математична форма моделі може описувати різні економічні явища, давати не співпадаючі економічні інтерпретації при однакових результатах розрахунків.
Приклад 1. Необхідно визначити, яку суму коштів слід покласти у банк при заданій ставці проценту (20% річних), щоб через рік отримати 12000 у.о.?
Розв’язання. Нехай М0 – початкова сума, М1 – кінцева сума, r – процентна ставка.
Тоді 
.
Знайдемо М0:
у.о.
Приклад 2.Необхідно визначити, який був об’єм випуску продукції заводу, якщо в результаті переобладнання середня продуктивність праці збільшилась на 20%, і завод став випускати 12000 одиниць продукції.
Розв’язання.Нехай V0 – початковий випуск продукції, V1 – кінцевий випуск продукції, q – процент приросту продуктивності. Виходячи з визначення середньої продуктивності праці 
, де Т – нормативний період часу, маємо 
знайдемо шукану величину з останнього рівняння моделі
у.о.
Порівнюючи отримані моделі і результати, можна помітити, що математична форма моделі однакові але економічна інтерпретація моделі і результатів абсолютно різні.
3. Класификація економіко – математичних моделей.
Формальна класіфикація моделей.
| Ознака класифікації | Модель |
| 1. Цільове призначення | Прикладні, теоретико-аналітичні |
| 2. По типу зв’язків | Детерміновані, стохастичні |
| 3. По фактору часу | Статичні, динамічні |
| 4. По формі показників | Лінійні, нелінійні |
| 5. По співвідношенню екзогених та ендогених змінних | Відкриті, закриті |
| 6. По типу змінних | Дискретні, непреривні, смішані |
| 7. По ступеню деталізації | Агреговані (макромоделі), деталізовані (мікромоделі) |
| 8. По кількості зв’язків | Одношагові, многошагові |
| 9. По формі подання інформації | Матричні, сіткові |
| 10. По формі процеса | Аналітичні, графічні, логічні |
| 11. По типу математичного апарату | Балансові, статистичні, оптимізаційні, имітаційні, змішані |
В залежності від признаків системи, самі системи та іх моделі класіфікуються на:
1) динамічні та статичні;
2) стохастичні (ймовірнісні) та детерміновані (регулярні);
3) неперервні та дискретні;
4) лінійні та нелінійні.
По наявності зворотних зв’язків системи діляться на відкриті, закриті, комбіновані.
Відкриті:
Закриті:
Комбіновані:
Економічна система є частиною більш складної системи – соціально-економічної, та представляє собою ймовірностну, динамічну, адаптивную систему, охоплюючи процеси виробництва, обміну, розподілу та попиту матеріальних благ, а також представляти різні сфери послуг.
Як правило, вхідні потоки економічної системи – це матеріальні потоки виробничих та природних ресурсів, тобто Х. Вихідні потоки – це матеріальні потоки, обладнання, військова продукція, продукція накопичення, повернення та експорту, тобто Y.
Економічні системи – багатоступеневі , багаторівневі системи і люба невизначеність, випадковість в вхідних параметрах приводить до невизначеності та випадковості в вихідних параметрах підсистем та системи в цілому.
Структурна схема звичайної економічної системи
 |
4. Задачі планування та організації виробництва.
4.1. Задача про максимальну рентабельність підприємства.
Нехай: m – кількість ресурсів; n – кількість товарів; аij – кількість одиниць i- го ресурсу, які необхідні для виробництва одиниці j – го товару; bi – максимальна кількість одиниць i- го ресурсу, що можна використати у виробництві; сj – прибуток від реалізації одиниці j – го товару; хj – запланований рівень виробництва одиниць j – го товару.
Загальна кількість одиниць i- го ресурсу, що використовується у виробництві згідно з планом, дорівнює
аi1x1 + аij2x2 +аi3х3 +.........+ аinхn (i=1.2.3…..m) (1)
Оскільки вона не повинна перевищувати максимальної кількості одиниць i- го ресурсу, яку можна використати у виробництві, то
аi1x1 + аij2x2 +аi3х3+.........+ аinхn bi (i=1.2.3…..m) (2)
Очевидно, що хj0 (j=1.2.3…..n)
Прибуток, одержаний від виробництва хj одиниць j – го товару, дорівнює сj хj, а загальний прибуток визначаємо за формулою
Z= c1x1 + c2x2+ c3x3 + ……… + cnxn max (3)
З економічної точки зору задача полягає в тому, щоб загальний прибуток був максимальним.