Подобие и моделирование процессов конвективного теплообмена
Вследствие сложности процессов конвективного теплообмена при его изучении широко используются методы экспериментального исследования. В эксперименте получают синтезированные сведения о процессе конвективного теплообмена. Влияние отдельных факторов не всегда легко выделить. Эти трудности помогает преодолеть теория подобия. Основой теории подобия является математическая формулировка краевой задачи конвективного теплообмена.
Пусть поверхность твердого тела обтекается стационарным потоком несжимаемой жидкости. Скорость и температура жидкости вдали от тела постоянны и равны соответственно w0 и T0 (см. рис. 5.1). Размер тела l0 в направлении течения задан. По направлениям z тело неограниченно. Температура поверхности тела равна Тс. Для определенности примем, что Тс> T0. Полагаем, что физические свойства жидкости постоянны (учтем, как это делали в главе 2, только подъемную силу, возникающую в результате зависимости плотности от температуры). Рассматриваемый процесс конвективного теплообмена является стационарным. Поля скоростей, температур и давлений в жидкости двумерны и не зависят от координаты z.
Вводя, как обычно, избыточную температуру 
, уравнение теплоотдачи можно записать в виде
. (5.2)
Уравнение энергии (2.4) в нашем случае имеет вид
. (5.3)
Уравнение движения (2.10) в проекции на ось x представим в виде
. (5.4)
Соответственно уравнение неразрывности запишется как
. (5.5)
Граничные условия в данной задаче имеют вид:
вдали от тела 
на поверхности тела 
.
Все величины в уравнениях и условиях однозначности можно подразделить на три вида:
независимые переменные – это координаты x,y;
зависимые переменные – это 
зависимые переменные однозначно определяются независимыми переменными, если заданы величины, входящие в условия однозначности;
постоянные величины – это 
они задаются условиями однозначности и для конкретной задачи постоянны.
Таким образом, искомые зависимые переменные поле избыточных температур J, коэффициент теплоотдачи a, проекции скорости на оси координат wx, wy, поле давлений р зависят от большого числа величин. Они являются функциями независимых переменных и постоянных величин, входящих в условия однозначности, например,
, (5.6)
. (5.7)
Так как коэффициент теплоотдачи имеет смысл только на поверхности тела при у=0,то он не зависит от независимой переменной у.
Если бы удалось аналитически решить систему дифференциальных уравнений (5.2) – (5.5) при заданных краевых условиях, то был бы определен конкретный вид функций f1 и f2. Однако попытки аналитически решить систему дифференциальных уравнений (5.2) – (5.5) наталкиваются на серьезные трудности из-за нелинейности уравнения движения. Можно было бы попытаться найти вид функций f1 и f2 опытным путем. Однако не всегда легко проводить и опытное исследование. Для определения влияния на процесс теплообмена какой-либо одной величины остальные величины нужно сохранять неизменными в опыте. Это условие не всегда можно выполнить из-за большого количества переменных. Кроме того, при этом нужно быть уверенным, что результаты, получаемые с помощью какой-либо опытной установки (модели), можно перенести и на другие аналогичные процессы (образцы). Величины, содержащиеся в уравнениях (5.2) – (5.5) и условиях однозначности, можно сгруппировать в безразмерные комплексы. Число безразмерных комплексов будет меньше числа размерных величин. Для приведения уравнений (5.2) – (5.5) и условий однозначности к безразмерному виду выберем в качестве масштабов постоянные величины, входящие в условия однозначности: для длины lo, для скорости w0, для температуры Jс. Обозначим безразмерные величины:
тогда размерные величины можно записать в виде
Подставив эти размерные величины в уравнения (5.2) – (5.5) и граничные условия, получим: безразмерное уравнение теплоотдачи
(5.8)
безразмерное уравнение энергии
(5.9)
безразмерное уравнение движения в проекции на ось х
(5.10)
безразмерное уравнение сплошности
(5.11)
Приводя к безразмерному виду граничные условия, получим:
вдали от тела 
на поверхности тела 
Как видно, в отличие от размерных граничных условий, которые могут иметь различные числовые значения, безразмерные граничные условия имеют вполне конкретные числовые значения. Помимо безразмерных величин 
и безразмерных координат, составленных из однородных физических величин, в уравнения (5.8) – (5.11) входят также безразмерные комплексы, состоящие из разнородных физических величин
Этим безразмерным комплексам, называемым числами подобия, присвоены имена ученых, внесших значительный вклад в развитие гидродинамики и тепломассообмена. Первый из этих комплексов обозначают
(5.12)
и называют числом Нуссельта, или безразмерным коэффициентом теплоотдачи. В задачах конвективного теплообмена число Нуссельта является искомой величиной, так как в него входит искомая величина коэффициент теплоотдачи. Безразмерный комплекс
(5.13)
называют числом Пекле. Это число характеризует отношение теплоты, переносимой конвекцией, к теплоте, переносимой теплопроводностью, в направлении течения. Если число Pe>>1, то можно пренебречь переносом теплоты теплопроводностью. И наоборот, если число Pe<<1, то можно пренебречь переносом тепла конвекцией по сравнению с переносом тепла теплопроводностью. Безразмерный комплекс
(5.14)
называют числом Рейнольдса. Оно характеризует соотношение сил инерции и сил вязкого трения. Число Рейнольдса можно получить, если член уравнения движения, учитывающий инерционные силы, разделить на член, учитывающий в этом уравнении силы вязкого трения. Число Рейнольдса часто используют для характеристики режима течения жидкости: ламинарного или турбулентного. При числах Рейнольдса, меньших некоторого критического значения Reкр, инерционные силы уравновешены силами вязкого трения, имеет место упорядоченное ламинарное течение жидкости. При числах Рейнольдса, больших критического значения Reкр, инерционные силы разрушают упорядоченное течение, и возникает турбулентное течение жидкости. Безразмерный комплекс
(5.15)
называют числом Грасгофа. Оно характеризует отношение подъемной силы, возникающей в жидкости вследствие разности плотностей, к силе вязкого трения. Это число широко используют в задачах теплообмена при естественной конвекции жидкости. Безразмерный комплекс
(5.16)
называют числом Эйлера. Это число характеризует соотношение в потоке жидкости сил давления и сил инерции. В уравнении движения это число входит только под знаком производной. Следовательно, для рассматриваемого процесса существенно не абсолютное значение давления, а его изменение.
При неизменной математической формулировке задачи новые безразмерные комплексы могут быть получены путем соответствующего комбинирования старых комплексов. Однако при этом число переменных под знаком функции в зависимости определяемых комплексов от определяющих не должно измениться. Если разделить число Пекле на число Рейнольдса, то получим
. (5.17)
Безразмерный комплекс Pr представляет собой новую переменную, называемую числом Прандтля. Число Прандтля целиком составлено из физических параметров жидкости, а поэтому и само является физическим параметром. Все жидкости в зависимости от числа Прандтля можно подразделить на три типа. Жидкости, для которых Pr>1, это все капельные неметаллические жидкости. В случае теплообмена при течении таких жидкостей, толщина гидродинамического пограничного слоя больше толщины теплового пограничного слоя. Жидкости, для которых Pr»1, это все газообразные среды. Для них толщина гидродинамического пограничного слоя приблизительно равна толщине теплового пограничного слоя. Жидкости, для которых Pr<1, это все металлические жидкости. Для них толщина гидродинамического пограничного слоя меньше толщины теплового пограничного слоя.
Безразмерные величины 
являются теперь новыми переменными. Их можно подразделить на три группы:
независимые переменные – это безразмерные координаты X, Y;
зависимые переменные – это 
;
постоянные величины – это 
В результате этого соотношения (5.6) и (5.7) можно записать в виде
(5.18)
. (5.19)
Соотношения такого вида называют уравнениями подобия. В этих уравнениях безразмерные переменные можно разделить на два вида:
определяемые – это числа, в которые входят искомые зависимые переменные 
, следовательно, определяемыми являются 
определяющие – это числа, составленные из независимых переменных и постоянных величин, входящих в условия однозначности 
Числа подобия, составленные из заданных параметров (постоянных) математического описания процесса, называют также критериями подобия.
Сравнивая соотношения (5.6), (5.7) и (5.18), (5.19), можно отметить, что в последних число переменных под знаком функций существенно меньше. Это значительно упрощает обработку опытных данных по теплоотдаче и их анализ. Весьма часто инженерную практику интересуют не локальные значения коэффициента теплоотдачи, а осредненные для всей поверхности теплообмена значения коэффициента теплоотдачи. В этом случае из соотношения (5.19) имеем
(5.20)
Иногда при течении жидкости можно пренебречь теми или иными действующими силами по сравнению с другими. Например, при свободной (естественной) конвекции жидкости можно пренебречь силами инерции по сравнению с подъемными и вязкими силами. В этом случае теплоотдача не зависит от числа Рейнольдса и для осредненного по всей поверхности его значения имеем
. (5.21)
Для газообразных сред число Прандтля Pr»1, и соотношение (5.21) можно записать в виде
(5.22)
При вынужденном движении жидкости в каналах и трубах часто можно пренебречь подъемными силами по сравнению с вязкими и инерционными силами. Тогда для осредненного для всей смоченной поверхности канала или трубы безразмерного коэффициента теплоотдачи имеем
(5.23)
При течении в каналах и трубах газообразных сред при Pr»1 соотношение (5.23) можно записать в виде
(5.24)
Как видно, полученная система безразмерных дифференциальных уравнений (5.8) – (5.11) описывает бесконечное множество конкретных процессов конвективного теплообмена, характеризующихся одинаковым механизмом. В главе 3 мы познакомились с теплопроводностью. Дифферен-циальное уравнение стационарной теплопроводности 
описывает бесчисленное множество процессов, принадлежащих к одному и тому же классу. Общность этих процессов определяется одинаковым микроскопическим механизмом переноса тепловой энергии. Однако известны и другие дифференциальные уравнения, аналогичные по форме записи уравнению теплопроводности, например, уравнение электрического потенциала. Если для температуры и электрического потенциала ввести одинаковые обозначения, то оба уравнения по своему внешнему виду не будут отличаться друг от друга. Хотя по форме записи оба уравнения совпадают, физическое содержание входящих в них величин различно. Такие явления природы называются аналогичными. Дифференциальные уравнения отражают наиболее общие черты явлений и не учитывают частные особенности. Такими особенностями являются форма и размеры системы, в которой протекает конвективный теплообмен. К частным особенностям относятся также физические свойства жидкости и условия протекания процесса на границах системы. Поэтому частные особенности различных явлений одного и того же класса определяются условиями однозначности.
Проведенный анализ позволяет сформулировать общие условия подобия процессов конвективного теплообмена в виде трех правил:
1. Подобные процессы должны иметь одинаковую физическую природу и описываться одинаковыми по форме записи безразмерными дифференциальными уравнениями.
2. Безразмерные условия однозначности подобных процессов должны быть численно одинаковыми.
3. Одноименные определяющие безразмерные переменные подобных про-цессов должны иметь одинаковое числовое значение.
При вынужденном движении жидкости мы пренебрегали подъемными гравитационными силами. Очевидно, что это меняет механизм теплообмена и его математическое описание. Такие процессы не будут подобны процессам, в которых учитываются подъемные гравитационные силы. Из первого и второго условий подобия следует, что подобные процессы должны описываться тождественными безразмерными дифференциальными уравнениями и безразмерными граничными условиями. В безразмерной форме математическая формулировка подобных процессов одна и та же. Следовательно, подобные процессы описываются единой формулой, например в (5.23)
функция F6 будет одной и той же для всех подобных процессов. То же самое можно сказать и о других уравнениях подобия. С учетом третьего условия подобия, например в (5.23), для подобных процессов числа Re и Pr численно одинаковы. Но тогда для подобных процессов число Нуссельта 
будет одним и тем же. Однако входящий в него коэффициент теплоотдачи для подобных процессов будет разным.
Экспериментальные исследования конвективного теплообмена проводят, как правило, на моделях. При моделировании изучение процесса теплообмена на образце заменяется исследованием этого же процесса на модели. Условия моделирования, т.е. условия, которым должна удовлетворять модель и протекающий в ней процесс теплообмена, дают условия подобия. Если процесс в модели будет подобен процессу в образце, то результаты исследования на модели могут быть применены к образцу. Моделирование включает в себя две самостоятельные задачи. Во-первых, в модели необходимо осуществить процесс, подобный процессу в образце, и, во-вторых, выполнить на модели все необходимые измерения и наблюдения. Здесь мы рассматриваем первую задачу. Техника измерений излагается в специальной литературе [4].
Первое условие подобия требует, чтобы на модели и образце процессы имели одинаковую природу и описывались тождественными безразмерными дифференциальными уравнениями. Второе условие подобия требует, чтобы на модели и образце процессы имели численно одинаковые безразмерные краевые условия. В главе 3 отмечалось, что краевые условия или условия однозначности для стационарных задач включают в себя: геометрические условия, физические условия и граничные условия. Поэтому на модели необходимо осуществить геометрическое и физическое подобие с образцом, а также подобие граничных условий. Третье условие подобия требует, чтобы на модели и образце одноименные определяющие критерии имели одинаковые численные значения. При этом определяемые одноименные безразмерные переменные подобных процессов также будут иметь одинаковые численные значения. Например, при вынужденном движении жидкости необходимо осуществить равенство чисел (критериев) Рейнольдса на входе в образец и модель
Отсюда скорость жидкости на входе в модель должна быть равна
.
Положим, что в модели и образце протекает одна и та же жидкость 
. Пусть модель построена в масштабе 1/10, тогда 
Следовательно, 
Так как физические свойства жидкости зависят от температуры, что при выводе уравнений конвективного теплообмена не учитывалось, кроме плотности, то точное моделирование не всегда возможно. Поэтому используют методы приближенного моделирования. К ним относится, например, метод локального теплового моделирования. Он состоит в том, что подобие процессов осуществляют лишь в том месте, где исследуется теплоотдача. Например, теплоотдача пучка труб в потоке жидкости исследуется на одной трубе, а остальные служат только для придания модели формы, подобной образцу.
Опытные данные, полученные на модели, обрабатываются в числах подобия. Допустим, было получено в результате анализа, изложенного выше, что в экспериментально изучаемом процессе
По данным измерений подсчитываются значения Re и Pr и соответствующие им значения Nu. Зависимость между числами подобия обычно представляется в виде степенных функций, например
где c, n, m являются постоянными безразмерными числами, которые определяются либо графически путем построения в логарифмических координатах степенной функции, либо расчетным путем на ЭВМ. Такого рода степенные функции применимы лишь в тех пределах изменения аргумента, в которых они подтверждены опытом. Экстраполяция за эти пределы при использовании этих зависимостей может привести к грубейшей ошибке.
В числа подобия входит характерный размер l0. Теория подобия не определяет, какой размер должен быть принят в качестве определяющего. Если по условиям однозначности задано несколько размеров, за определяющий обычно принимают тот, который в большей степени отвечает сущности про-цесса. Авторы опытных зависимостей между числами подобия указывают, что они выбирали в качестве определяющего размера. Разумеется, при исполь-зовании зависимостей необходимо выбирать тот же определяющий размер.
В числа подобия входят физические параметры жидкости. Эти параметры зависят от температуры. Поэтому важна определяющая температура, по которой выбираются физические свойства жидкости. Обычно авторы опытных формул за определяющую принимают такую температуру, которая в технических расчетах задана или может быть вычислена. Разумеется, при использовании формулы определяющая температура выбирается точно так же.