Сложение параллельных сил плоскости. Уравнения равновесия.

Система параллельных сил (рис.25) приведем к произвольному центру О, получим в этом центре силу R*, равную главному вектору, и пару сил с момента М.

Направили ось У параллельно силам, тогда проекции главного вектора на координатные оси

Rx= Fx=O; Ry=Fy= ±Piy

Так как Rx=O, то главный вектор направлен по оси У. Отсюда можно сделать вывод, что главный вектор системы параллельных сил параллелен силам, его модуль равен алгебраической сумме проекции сил на ось, параллельную силам, а его направление определяется знаком этой суммы.

Момент пары сил равен главному моменту параллельных сил относительно центра приведения: М=М₀= М₁₀+М₂₀+….М_n0

или

М=М_i0

 

Для системы параллельных сил плоскости имеем два условия равновесия.

М=0 и R*=0.

Два условия равновесия системы параллельных сил на плоскости можно выразить в виде двух уравнений:

или

при этом прямая АВ не должна быть параллельна силам.

 

Сложение параллельных сил в пространстве.

Для сложения параллельных сил P₁,P₂….P_n приложенных в точках A_1,A_2….A_n выберем произвольный центр приведения О.

После приведения системы cил к этому центру получим силу, при­ложенную в центре приведения и равную главному вектору заданных сил R*, и пару сил с моментом М, равным главному моменту Мо всех сил относительно центра приведения О.

Проведем через, центр приведения О три взаимно перпендикулярные оси х, у, z, направив ось z параллельно рассматриваемым силам (рис. 26).

Вычислим проекции главного вектора на оси координат

Рис 25

 

Так как проекции всех сил на оси Х и У равны нулю, то главный вектор R* направлен по оси Z.

Вычислим проекции главного момента М₀ относительно начала координат на оси x,y,z как главные моменты сил относительно этих осей:

 

Так как заданные силы параллельны оси z, то M_z=0 и главный момент M₀ рассматриваемой системы сил лежит в плоскости _xO_y, т.е. направлен перпендикулярно главному вектору R^*.

Модуль главного момента:

 

Для системы параллельных сил в пространстве имеются два условия равновесия сил:

M₀=0; R*=0

Если взаимно уравновешивающиеся силы параллельны оси z, то

т.е.

M_x=M_ix=0 и M_y=M_iy=0

 

а так же

Таким образом, для системы сил, параллельных оси z, имеем три уравнения равновесия

M_ix=0 M_iy=0 Z_i=0

 

Равновесие рычага.

Рычагом называется твердое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной оси под действием сил, лежащих в одной плоскости, перпендикулярной к этой оси (рис 27)

Равновесие рычага будет только в том случае, если сумма моментов всех сил приложенных к нему сил относительно неподвижной точки рычага равна нулю.

Условие равновесия:

P₂h₂-P₁h₁=0

Способность тела сопротивляться всякому, хотя бы и малому, нарушению его равновесия называется статической устойчивостью. Из условия равновесия сил, действующих на рычаг, получим условие устойчивости тел при опрокидывании. Положим, что к прямоугольному параллелепипеду весом G на высоте d приложена горизонтальная сила, которая может не только сдвинуть тело, но и опрокинуть его вращением вокруг ребра А. Считая, что сила Р недостаточно велика, чтобы сдвинуть тело, рассмотрим ее опрокидывающее действие (рис 28)

Обозначим через расстояние до точки А, изображающей на чертеже ось вращения рычага, до линии действия силы G, которая препятствует опрокидыванию. Составим сумму момент задаваемых сил и G относительно опорной точки А:

Ga-Pd=0

откуда

Ga=Pd

Назовем абсолютные величины моментов сил G и Р относительно точки А соответственно Задерживающим и опрокидывающим моментами:

M_уд.=Ga M_опр.=Pd

Тогда на границе устойчивости получим:

M_уд.=M_опр.

Устойчивость при опрокидывании в технике при­нято определять соотношением величины удерживающего момента к величине опрокидывающего момента:

Это отношение называется коэффициентом устойчивости.

Очевидно, что в случае предельной устойчивости коэффициент устойчивости равен единице, а в случае устойчивого состояния К >1.