Построение доверительных интервалов

1a) Если наблюдаемая случайная величина имеет нормальный закон распределения с неизвестным математическим ожиданием и неизвестной дисперсией , то доверительный интервал для математического ожидания имеет вид:

где – - квантиль распределения Стьюдента с
(n—1) степенью свободы, – доверительная вероятность, - выборочное среднее - выборочная дисперсия.

При больших (практически при ) распределение Стьюдента приближается (в смысле слабой сходимости) к стандартному нормальному закону распределения, поэтому в этом случае , где – -квантиль нормального распределения. Доверительный интервал для математического ожидания в этом случае будет строиться по закону:

,

Квантиль распределения нормального распределения определяется формулой:

Будем искать при помощи функции cdfnor.

 

После подстановки значений получим: (1)= ( -0.157761;0.325398)

 

1б) Доверительный интервал для дисперсии наблюдаемой случайной величины , распределенной по нормальному закону , при неизвестном математическом ожидании имеет вид:

где – соответствующие квантили распределения .

Хи-квадрат квантиль распределения определяем по формуле:

, где .

При

,

где — квантиль нормального распределения.

С использованием центральной предельной теоремы можно показать, что приближенным (асимптотическим) доверительным интервалом для дисперсии нормально распределенной случайной величины с неизвестным математическим ожиданием является интервал:

 

,

После подстановки значений получим: (22)= (8.751177; 13.438808)

 

2) Если наблюдаемая случайная величина имеет нормальный закон распределения с неизвестным математическим ожиданием и известной дисперсией , то доверительный интервал для математического ожидания имеет вид:

,

()= (-0.343151; 0.646209)

3) Доверительный интервал для дисперсии наблюдаемой случайной величины , распределенной по нормальному закону , при известном математическом ожидании имеет вид:

(2)= (9.852264 ; 12.325678)

 

Заметим, что настоящие характеристики попадают в найденные для них доверительные интервалы.

Критерий Пирсона

Пусть имеем выборку объёма n , полученную при n наблюдениях над случайной величиной X, закон распределения которой неизвестен. Требуется проверить гипотезу о том, что величина X имеет нормальный закон распределения, пользуясь критерием 2 Пирсона. Рассмотрим отдельно случаи неизвестных и известных параметров распределения.

Используем полученные в 2.1.1 интервалы группировки, объединяем некоторые из них так, чтобы в каждом из интервалов частота группировки была не менее 5.

Составим таблицу для получившихся интервалов группировки:

Номер интервала Интервал
[-9.599971; -7.8510942) 0.0063158 0.0036113 0.0028270
[-7.8510942; -6.1022174) 0.0231579 0.0132416 0.0106259
[-6.1022174; -4.3533406) 0.0589474 0.0337058 0.0300104
[-4.3533406; - 2.6044638) 0.1305263 0.0746344 0.0636846
[- 2.6044638;- 0.8555870) 0.1642105 0.0938949 0.1015442
[- 0.8555870; 0.8932898) 0.2021053 0.1155629 0.1216561
[0.8932898; 2.6421666) 0.1852632 0.1059327 0.1095143
[2.6421666; 4.3910434) 0.1347368 0.0770419 0.0740739
[4.3910434; 6.1399202 ] 0.0568421 0.0325021 0.0376459
[6.1399202; 7.8887969 ] 0.0378947 0.0216680 0.0143757
     


Здесь – границы интервалов группировки;

– частоты значений;

– относительные частоты;

– теоретические значения вероятности попадания в интервал;

(x) – функция Лапласа;

– выборочные значения вероятности попадания в интервал.

Найдём значения статистик для случаев известных и неизвестных параметров распределения:

– статистика для случая известных параметров. Здесь N – количество интервалов группировки.

– статистика для случая неизвестных параметров.

Полученные значения статистик:

 

Определим пороги для обоих случаев:

– порог. Здесь k – число неизвестных параметров распределения.

Таким образом,

– порог для случая известных параметров распределения,

– порог для случая неизвестных параметров распределения.

Получаем следующие пороги:

Сравним значения соответствующих статистик и порогов.

Значения статистик намного меньше, чем получившиеся пороги, следовательно, можно принять гипотезы о видах распределения, как с известными, так и с неизвестными параметрами.

 


 

Задание №2. Тут надо высчитать и записать

Имеем случайную величину X с плотностью вероятностей:

 

 

Рассчитаем аналитически числовые характеристики этой случайной величины.

Математическое ожидание X равно:

Подставим данные значения и получим, .

 

Найдем дисперсию.

Подставляем данные значения, получаем 17/81

Найдем функцию распределения:

 

 

Подставляя значения, получим:

Построим графики функции распределения и плотности вероятности.

График плотности вероятностей:

График функции распределения:

Гистограмма выборки

 

Найдём функцию, обратную к функции распределения: \\\ скинешь.


Таким образом, .

Допустим, что мы имеем случайную величина . Тогда можно смоделировать случайную величину X как функцию от случайной величины U, обратную функции распределения случайной величины X: . Пронаблюдав эту величину n раз, получим выборку объёма n.

Итак, мы имеем выборку объёма n , полученную при n наблюдениях за случайной величиной X. Требуется построить гистограмму распределения по этой выборке.

Воспользуемся алгоритмом из первого пункта.

Получаем:
xmin= 0.0310300 xmax= 4.862974

k=10 = 0.4831944

Номер интервала Интервал
[-0.9579396; -0.5791479) 0.025 0.0659993 0.068188
[-0.5791479; -0.2003562) 0.05 0.1319987 0.168478
[-0.2003562; 0.1784354) 0.08 0.2111979 0.336413
[0.1784354; 0.5572271) 0.16 0.4223958 0.4375486
[0.5572271; 0.9360188) 0.175 0.4619954 0.5042029
[0.9360188; 1.3148105) 0.175 0.4619954 0.4686463
[1.3148105; 1.6936021) 0.1375 0.3629964 0.3739484
[1.6936021; 2.0723938) 0.0925 0.2441976 0.2792505
[2.0723938; 2.4511855) 0.075 0.1979980 0.1845526
[2.4511855; 2.8299772] 0.03 0.0791992 0.0898547
     

 

Одновременно строим гистограмму выборки и график теоретической плотности вероятностей.