Типы систем массового обслуживания
По числу обслуживающих каналов различают одноканальные и многоканальные СМО.
Находящиеся в СМО заявки могут либо ожидать обслуживания, либо находиться под обслуживанием. Часть заявок, ожидающих обслуживания, образует очередь.
В зависимости от целочисленного значения m используются следующие названия в классификации типов СМО:
1) m = 0 – без очереди;
2) m > 0 – с очередью.
Если число мест в очереди m является конечным, то в СМО могут происходить отказы в предоставлении обслуживания некоторым заявкам. В связи с этим СМО указанного типа называются системами с отказами. Отклоняются от обслуживания те заявки, в момент прихода которых все места в очереди случайно оказались занятыми, или, если m = 0, все каналы оказались занятыми. Считается, что заявка, получившая отказ в обслуживании, навсегда теряется для СМО. Таким образом, пропускная способность СМО этого типа всегда меньше 100 %.
Если m не ограничено, что иногда условно записывают как m = 
, то соответствующая СМО называется системой с ожиданием. В СМО данного типа пришедшая заявка при отсутствии возможности немедленного обслуживания ожидает обслуживания, какой бы длинной ни были очередь и продолжительность времени ожидания.
4.2. Примеры решения задач систем массового обслуживания
Требуется решить задачи 1–3. Исходные данные приведены в табл. 4.2–4.4.
Некоторые обозначения, применяемые в теории массового обслуживания, для формул:
n – число каналов в СМО;
– интенсивность входящего потока заявок Пвх;
v – интенсивность выходящего потока заявок Пвых;
– интенсивность потока обслуживания Поб;
– показатель нагрузки системы (трафик);
m – максимальное число мест в очереди, ограничивающее длину очереди заявок;
i – число источников заявок;
pк – вероятность k-го состояния системы;
pо – вероятность простаивания всей системы, т. е. вероятность того, что все каналы свободны;
pсист – вероятность принятия заявки в систему;
pотк – вероятность отказа заявке в принятии ее в систему;
роб – вероятность того, что заявка будет обслужена;
А – абсолютная пропускная способность системы;
Q – относительная пропускная способность системы;
оч – среднее число заявок в очереди;
об – среднее число заявок под обслуживанием;
сист – среднее число заявок в системе;
оч – среднее время ожидания заявки в очереди;
об – среднее время обслуживания заявки, относящееся только к обслуженным заявкам;
сис – среднее время пребывания заявки в системе;
ож – среднее время, ограничивающее ожидание заявки в очереди;
– среднее число занятых каналов.
Абсолютная пропускная способность СМО А – среднее число заявок, которое может обслужить система за единицу времени.
Относительная пропускная способность СМО Q – отношение среднего числа заявок, обслуживаемых системой в единицу времени, к среднему числу поступающих за это время заявок.
При решении задач массового обслуживания необходимо придерживаться нижеприведенной последовательности:
1) определение типа СМО по табл. 4.1;
2) выбор формул в соответствии с типом СМО;
3) решение задачи;
4) формулирование выводов по задаче.
Вариант выбирается следующим образом: две последние цифры зачетной книжки студента делятся с остатком на количество вариантов, представленных в таблицах. К остатку от деления прибавляется единица. Полученное число явится номером варианта для информации соответствующего вида.
Задача 1. На сортировочную станцию прибывают составы с интенсивностью 0,9 состава в час. Среднее время обслуживания одного состава 0,7 часа. Определить показатели эффективности работы сортировочной станции: интенсивность потока обслуживаний, среднее число заявок в очереди, интенсивность нагрузки канала (трафик), вероятность, что канал свободен, вероятность, что канал занят, среднее число заявок в системе, среднее время пребывания заявки в очереди, среднее время пребывания заявки в системе (табл. 4.2).
Таблица 4.2