Количество перевезенных пассажиров, тыс. чел

Выполнить прогноз количества перевезенных пассажиров и сделать выводы. Оценить качество построенной модели.

& Рекомендуемая литература: [12–14].

ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА (МОДЕЛЬ «ЗАТРАТЫ–ВЫПУСК»)

8.1. Методика решения задачи

Эффективное функционирование экономики предполагает наличие баланса между отдельными отраслями. Каждая отрасль при этом выступает двояко: с одной стороны, как производитель некоторой продукции, а с другой – как потребитель продуктов, вырабатываемых другими отраслями. Для наглядного выражения взаимной связи между отраслями используют таблицы определенного вида, которые называют таблицами межотраслевого баланса.

Рассмотрим наиболее простой вариант модели межотраслевого баланса (модель Леонтьева, или модель «затраты–выпуск»).

Алгебраическая теория анализа «затраты–выпуск» сводится к системе линейных уравнений, в которых параметрами являются коэффициенты затрат на производство продукции.

Пусть весь производственный сектор народного хозяйства разбит на n чистых отраслей. Чистая отрасль (это условное понятие) – некоторая часть народного хозяйства, более или менее цельная (например, энергетика, машиностроение, сельское хозяйство и т. п.).

Пусть x_ij – количество продукции i-й отрасли, расходуемое в j-й отрасли; X_i – объем производства i-й отрасли за данный промежуток времени, так называемый валовой выпуск продукции i; y_i – объем потребления продукции i-й отрасли в непроизводственной сфере, объем конечного потребления; z_j – условно чистая продукция, которая включает оплату труда, чистый доход и амортизацию.

Единицы измерения всех указанных величин могут быть или натуральными (кубометры, тонны, штуки и т. п.), или стоимостными. В зависимости от этого различают натуральный и стоимостный межотраслевые балансы. Мы будем рассматривать стоимостный баланс.

В табл. 8.1 отражена принципиальная схема межотраслевого баланса в стоимостном выражении.

Таблица 8.1

Межотраслевой баланс

Производящие отрасли	Потребляющие отрасли	Конечный продукт	Валовой продукт
		…..	n
…. N	X₁₁ X₂₁ …. X_n1	X₁₂ X₂₂ …. X_n2	…. …. …. ….	X_1n X_2n …. X_nn	y₁ y₂ …. y_n	X₁ X₂ …. X_n
Условно чистая продукция	Z₁	Z₁	….	Z₁		–
Валовой продукт	X₁	X₂	….	X_n	–

Во-первых, рассматривая схему баланса по столбцам, можно сделать очевидный вывод, что итог материальных затрат любой потребляющей отрасли и ее условно чистой продукции равен валовой продукции этой отрасли. Данный вывод можно записать в виде соотношения

(8.1)

Величина условно чистой продукции Z равна сумме амортизации, оплаты труда и чистого дохода j-й отрасли. Соотношение (8.1) охватывает систему из n уравнений, отражающих стоимостный состав продукции всех отраслей материальной сферы.

Во-вторых, рассматривая схему МОБ по строкам для каждой производящей отрасли, можно видеть, что валовая продукция той или иной отрасли равна сумме материальных затрат потребляющих ее продукцию отраслей и конечной продукции данной отрасли:

(8.2)

Формула (8.2) описывает систему из n уравнений, которые называются уравнениями распределения продукции отраслей материального производства по направлениям использования.

Балансовый характер таблицы выражается в том, что:

;

Основу экономико-математической модели МОБ составляет матрица коэффициентов прямых материальных затрат А = (а_ij).

Коэффициент прямых материальных затрат а_ij показывает, какое количество продукции i-й отрасли необходимо, если учитывать только прямые затраты для производства единицы продукции j-й отрасли:

, i, j = 1, 2, …, n. (8. 3)

Формула (8.3) предполагает следующие допущения.

Первое состоит в том, что сложившуюся технологию производства считаем неизменной. Таким образом, матрица А = (а_ij) постоянна.

Второе состоит в постулировании свойства линейности существующих технологий, т. е. для выпуска j-й отраслью любого объема продукции X_j,-, необходимо затратить продукцию отрасли i в количестве а_ijX_j,-, т. е. материальные издержки пропорциональны объему производимой продукции:

. (8.4)

Подставляя выражение (8.4) в балансовое соотношение (8.2), получаем

. (8.5)

В матричной форме соотношение (8.5) записывается следующим образом:

. (8.6)

С помощью этой модели можно выполнять три вида плановых расчетов.

• Задав в модели величины валовой продукции каждой отрасли X,-, можно определить объемы конечной продукции каждой отрасли Y:

. (8.7)

• Задав величины конечной продукции всех отраслей Y_i, можно определить величины валовой продукции каждой отрасли X_i:

. (8.8)

• Для ряда отраслей задав величины валовой продукции, а для всех остальных – объемы конечной продукции, можно найти величины конечной продукции первых отраслей и объемы валовой продукции вторых.

В формулах (8.7) и (8.8) Е обозначает единичную матрицу n-го порядка, а (E–A)^–1 – матрицу, обратную матрице (Е–А). Если определитель матрицы (Е–А) не равен нулю, т. е. эта матрица невырожденная, то обратная к ней матрица существует. Обозначим эту обратную матрицу через В = (Е – А)^–1, тогда систему уравнений в матричной форме (3.8) можно записать в виде

. (8.9)

Элементы матрицы В называются коэффициентами полных материальных затрат. Они показывают, сколько всего нужно произвести продукции n-й отрасли для выпуска в сферу конечного использования единицы продукции j-й отрасли. Норма больше единицы.

Пример решения МОБ. Даны коэффициенты прямых затрат a_ij и конечный продукт У_i,- для трехотраслевой экономической системы:

; .

Требуется:

1) рассчитать все параметры межотраслевого баланса;

2) заполнить схему межотраслевого баланса.

Для решения задачи можно воспользоваться формулой (8.5), которая считается основным математическим соотношением межотраслевого баланса. Для этого составляется и решается соответствующая система линейных уравнений для нахождения объемов валовой продукции по отраслям. После этого вычисляются по приведенным формулам все остальные параметры.

Средства EXCEL позволяют организовать вычислительную процедуру более эффективно, решая задачу в матричной форме на основе формулы (8.9). Решение будем осуществлять в окне EXCEL, представленном табл. 8.2. Вначале в ячейки В2:D4 внесем матрицу коэффициентов прямых материальных затрат. Далее рассчитаем величины Е–А.

Таблица 8.2

Матрица

A	B	C	D	E	F	G
А Е–А	0,3 0,2 0,3 0,7 – 0,2 – 0,3	0,1 0,5 0,1 –0,1 0,5 –0,1	0,4 0,2 –0,4 0,8	–	–	–
В	2,0408 0,8163 0,8673	0,6122 2,2448 0,5102	1,0204 0,4081 1,6836	–	Y
Х	775,5102 510,2041 729,5918	–	–	–	–	–
X_ij	232,6531 155,102 232,6531	51,02041 255.102 51,02041	291,8367 145,9183	–	–	–

Выделим диапазон B10:D12 для размещения обратной матрицы В = = (Е – А)^–1 и введем формулу для вычислений MOБP(B6:D8). Затем следует нажать клавиши SHIFT+CTRL+ENTER. Все элементы матрицы коэффициентов полных затрат В неотрицательны, следовательно, матрица А продуктивна.

В ячейки G10:G12 запишем элементы вектора конечного продукта Y. Выделим диапазон В15:В17 для размещения вектора валового выпуска X, вычисляемого по формуле X = (Е – А)^–1 Y. Затем вводим формулу для вычислений МУМНОЖ (B10:D12,G10:G12). Далее следует нажать клавиши SHIFT+CTRL+ENTER.

Межотраслевые поставки Х_ijвычисляем по формуле .

Заполняем схему МОБ (табл. 8.3).

Таблица 8.3