Дидактические цели. Ожидаемые результаты.
После завершения проекта учащиеся смогут:
· распознавать, обследовать и разрешать проблемные ситуации из области математики, привлекая знания из разных областей науки;
· самостоятельно, критически мыслить;
· прогнозировать результаты;
· практически применять полученные знания;
· формировать навыки работы в команде, навыки публичного выступления;
· расширять свои знания;
· развивать аналитическое мышление;
· приобрести навыки самостоятельной работы;
· работать творчески, конструировать, моделировать, проектировать и т.д.
· использовать определение и свойства пирамиды при решении геометрических задач.
Вопросы, направляющие проект
Основополагающий вопрос
· Как наука меняет мир?
Проблемные вопросы
· Пирамида – обычный многогранник? Есть ли у пирамид какие-нибудь тайны?
· Какова история пирамид?
· Какие формы у пирамид, построенных на земле?
· Какая связь между пирамидами и звездами?
· Какое место занимают пирамиды в жизни людей?
Учебные вопросы
· Определение пирамиды. Площадь поверхности пирамиды.
· Определение правильной пирамиды. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды.
· Свойства правильной пирамиды.
· Свойства пирамид, основание которых, вписанный или описанный многоугольник.
· Правильная усеченная пирамида. Ее элементы и площадь боковой поверхности.
Этапы проведения проекта
1. Подготовительный этап.
· Выбор темы. Постановка задач.
· Обсуждение основополагающих и учебных вопросов с учащимися.
· Формирование групп для работы над проектом.
· Обсуждение плана работы в каждой из созданных групп.
· Создание критериев оценивания и ознакомление с ними учащихся.
· Создание стартовой презентации учителя.
· Создание публикаций для родителей.
2. Основной этап.
· Самостоятельная работа в группах. Распределение обязанностей.
· Подбор учащимися материалов для выступлений по теме и для создания презентаций. Просмотр и обсуждение этих материалов с учителем.
· Подготовка презентаций и размещение их в сети.
3. Заключительный этап.
· Защита презентаций на уроке-конференции.
· Оценивание работ учащихся и подведение итогов, рефлексия.
Выполнение проекта
1 неделя:
· определение состава группы участников проекта, обсуждение основополагающего и проблемных вопросов, составление учебных вопросов, ознакомление учащихся с вводной презентацией учителя и критериями оценивания презентации, распределение обязанностей, поиск информации в разных источниках;
2 неделя:
· анализ информации, отбор материала для публикации и презентации, корректировка планов работы в группах, обсуждение задач прикладного характера, определение сроков выполнения работ учащихся; индивидуальные консультации учащихся по вопросам планирования и создания презентации;
3 неделя:
· демонстрация и защита работ, рефлексия участников проекта.
План оценивания
Самооценка и взаимооценка осуществляется во время защиты проектов с помощью бланков: а) лист оценивания презентации.
б) самооценка исследовательской работы учащегося.
в) лист оценивания буклета.
Проект освоения темы "Пирамиды вокруг нас"
Основная идея
Почти пять тысячелетий тому назад египетский фараон и его гениальный зодчий решили воздвигнуть сооружение, какого еще не видывал свет – колоссальную гору из камня, построенную по строгому математическому расчету, такую прочную, чтобы простояла до скончания веков.
Изучением пирамид занимались многие археологи, ученые, математики и каждый из них открывал новые свойства этих сооружений. По сей день существует еще много загадок, связанных с пирамидами. Разгадать их еще предстоит будущим поколениям ученых и исследователей. Все это вызвало у учащихся большой интерес и побудило их к более глубокому изучению свойств пирамид, как с математической точки зрения, так и с других точек зрения (исторической, географической, в повседневной жизни).
Цели
1. Познакомить учащихся с понятием пирамиды, ее элементами, видами пирамид.
2. Развить творческую активность учащихся, умение делать обобщения на основе данных, полученных в результате исследований.
3. Развить познавательную деятельность учащихся, которая, в свою очередь, способствует развитию разносторонней личности.
4. Воспитывать у учащихся стремление к самосовершенствованию, удовлетворению познавательных потребностей.
Рабочие группы и вопросы для исследования
Группа “Математики”
1. Изучить пирамиду как геометрическое тело.
2. Найти определения пирамиды, которые были сформулированы древними учеными.
3. Сравнить современные трактовки с древними.
Группа “Историки”
1. Найти материалы о первых пирамидах.
2. Изучить древние пирамиды с математической точки зрения.
3. Сформулировать вывод о значимости пирамид с исторической и математической точек зрения.
Группа “Исследователи мировой системы пирамид”
1. Установить наличие мест расположения пирамид на Земле.
2. Установить связи между местами расположения пирамид.
3. Сформулировать вывод о расположении пирамид на Земле.
Группа “Исследователи свойств пирамид”
1. Исследовать уникальные свойства пирамид.
2. Подготовить материал о практическом применении свойств пирамид.
Группа “Архитекторы”
1. Найти материал, подтверждающий применение свойств пирамид в архитектуре.
2. Подготовить эскиз здания с использованием свойств пирамид и отдельных ее элементов.
Группа “Эксперты”
Во время отчетов рабочих групп следить за их выводами и делать свои выводы, в конце урока дать оценку работе каждой группы.
Отчетные материалы
1. Создание презентации (слайды, рисунки).
2. Подготовка сообщений.
3. Создание эскиза здания.
Тип урока:усвоение новых знаний.
Методы и приемы работы:реализация проектно-исследовательской технологии.
Оборудование:
1. Учебник геометрии для 10-11х классов, авторы Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и другие;
2. Презентация;
3. Рисунки;
4. Энциклопедические словари;
5. Учебники геометрии прошлых лет.
Ход урока
Вступительное слово учителя: Уважаемые ребята! Наш урок проходит в рамках проектно-исследовательских технологий и посвящен уже знакомому нам и в тоже время загадочному геометрическому телу - пирамиде. Почти 5 тысячелетий тому назад была воздвигнута первая пирамида - колоссальная гора из камня, построенная по точному математическому расчету.
Изучением пирамид занимались многие археологи, историки, географы. Вот и мы займемся их изучением не просто из праздного любопытства. Дело в том, что тема “Пирамида” запланирована у нас по программе, и мы не имеем права обойти ее своим вниманием.
Пирамиды таят в себе много тайн и секретов, недаром Михай Эминеску сказал:
“А в немой дали застыли пирамиды фараонов, саркофаги древней были. Величавые как вечность, молчаливые как смерть”.
Эти слова послужат эпиграфом к нашему уроку. Сегодня мы постараемся с помощью ваших исследований раскрыть некоторые тайны пирамид. В подготовке к уроку участвовало 5 рабочих групп:
- математики;
- историки;
- исследователи мировой системы пирамид;
- исследователи свойств пирамид;
- архитекторы.
Каждая группа имела свои рабочие вопросы, и по ходу урока будет знакомить нас с материалами своего исследования. Есть у нас еще одна группа - группа экспертов, которая внимательно будет следить за работой на уроке и делать выводы по ходу урока, давать свою оценку работе других групп. Вас же я прошу внимательно слушать своих одноклассников и записывать ключевые моменты их исследований.
Итак, мы начинаем. Запишем в тетради число, “Классная работа”, тема урока “Пирамиды вокруг нас”.
Сегодня на уроке мы должны ответить на один вопрос: “Что представляет собой пирамида и почему она вызывает у нас такой большой интерес?”
Слово предоставляется группе математиков.
Первый ученик.Наша группа изучала пирамиду как геометрическое тело. Нашла определения пирамиды, которые были сформулированы древними учеными, и сравнила все формулировки, а также установила связь между размерами пирамид и многими математическими понятиями.
Итак, изучив материал в учебнике “Геометрия 10-11” авторов Атанасяна. Бутузова и др., мы узнали, что: Многогранник, составленный из п-угольника А1А2А3 … Аn и п треугольников РА1А2, РА2А3, …, РАnА1 – называется пирамидой. Многоугольник А1А2А3 … Аn – основание пирамиды, а треугольники РА1А2, РА2А3, …, РАnА1 – боковые грани пирамиды, Р – вершина пирамиды, отрезки РА1, РА2,…, РАn – боковые ребра.
Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой пирамиды.
Площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех ее граней.
Sполн = Sбок + Sосн,где Sбок – сумма площадей боковых граней.
Помимо произвольной пирамиды, существуют правильная пирамида, в основании которой правильный многоугольник и усеченная пирамида.
Второй ученик. Однако такое определение пирамиды существовало не всегда. Например, древнегреческий математик, автор дошедших до нас теоретических трактатов по математике Евклид, пирамиду определяет как телесную фигуру, ограниченную плоскостями, которые от одной плоскости сходятся к одной точке.
Но это определение подвергалось критике уже в древности. Так Герон предложил следующее определение пирамиды: “Это фигура, ограниченная треугольниками, сходящимися в одной точке и основанием которой служит многоугольник”.
Наша группа, сравнив эти определения, пришла к выводу о том, что в них нет четкой формулировки понятия “основание”.
Мы исследовали эти определения и нашли определение Адриена Мари Лежандра, который в 1794 году в своем труде “Элементы геометрии” пирамиду определяет так: “Пирамида – телесная фигура, образованная треугольниками, сходящимися в одной точке и заканчивающаяся на различных сторонах плоского основания”.
Нам кажется, что последнее определение дает четкое представление о пирамиде, так как в нем идет речь о том, что основание - плоское. В учебнике 19 века фигурировало еще одно определение пирамиды: “пирамида – телесный угол, пересеченный плоскостью”.
И в заключение своего сообщения мне хочется показать вам учебник элементарной геометрии автора Киселева, 1907 года издания, рекомендованный для средних учебных заведений. В этом учебнике приводится определение пирамиды и ее элементов (показать учебник и зачитать определение). Это определение перекликается с современным определением, изложенным в нашем учебнике геометрии.
Вывод экспертов.
Учитель: Арабский писатель XIII века сказал: “Все на свете боится времени, а время боится пирамид”. Эти слова, как нельзя, кстати. Дело в том, что пирамиды – это единственное из семи чудес света чудо, дожившее до нашего времени, до эпохи телевидения и компьютерных технологий. Обратимся к истории возникновения пирамид и предоставим слово нашим многоуважаемым историкам.
Первый ученик. Наша группа, готовясь к уроку, прочла много энциклопедий и исторических книг. Из них мы узнали о пирамидах. Чтение таких книг завораживает, ты как бы попадаешь в эту эпоху эпоху пирамид. Так в Большом энциклопедическом словаре написано, что пирамида - монументальное сооружение, имеющее геометрическую форму пирамиды (иногда ступенчатую или башнеобразную). Пирамидами называли гробницы древнеегипетских фараонов 3-го – 2-го тысячелетий до н. э., а так же постаменты храмов в Центральной и Южной Америке, связанные с космологическими культами (на экране слайд египетских пирамид).
Второй ученик. Египетские пирамиды - древнейшие из семи чудес света, незыблемо высятся на фоне желто-коричневых песков Ливийской пустыни. К изучению пирамид приступили сравнительно недавно. Два века назад французский ученый Жомар, сопровождавший армию Наполеона в Египет, составил первое научное описание и провел первые точные измерения пирамид. Самая высокая пирамида – пирамида Хеопса, или Большая пирамида. В древности ее высота достигала 148 метров. Сторона квадратного основания равна 233 метрам, а площадь основания превышает 54 000 квадратных метров. Общий объем всего сооружения – более 2 500 000 кубических метров. Сложена пирамида из 2 300 000 каменных глыб весом свыше 2-х тонн каждая. Глыбы со всех сторон гладко отшлифованы. Это значит, что строителям пришлось обработать около 14 000 000 поверхностей, так как каждый монолит имел 6 граней. Все поверхности отшлифованы с такой математической точностью, что, соединив их, между ними нельзя просунуть тонкое лезвие ножа.
Третий ученик. Пирамиды строили не только в Египте. Они вырастали и по другую сторону океана, в древних государствах Центральной Америки. К северу от Мехико ученые открыли обширный город Теотиукан, ошеломляющий пирамидами гигантских размеров. Самая большая – пирамида Солнца, периметр ее основания равен 1000 метров, а напротив нее возвышается пирамида Луны (на экране слайды с изображениями пирамид).
Четвертый ученик. О пирамидах можно рассказывать бесконечно. Наша группа прочла много книг, казалось бы, читаешь об одном и том же объекте, но появляются новые сведения. Систематизировав прочитанное, перед глазами вырисовывается картина, на которой изображено самое совершенное сооружение в мире.
Вывод экспертов.
Учитель: Изучение пирамид с двух представленных точек зрения не заканчивается. Проводятся новые исследования, обнаруживаются уникальные свойства и взаимосвязи. Слово предоставляется третьей группе – группе исследователей мировой системы пирамид.
Первый ученик. Наша группа занималась изучением и исследованием мировой системы пирамид. Как уже было отмечено, существуют не только египетские пирамиды, на Земле существует целая сеть пирамид. На фоне Гималайского хребта четко выделяется пирамидальное образование - гора Кайлас (слайд); существуют мексиканские пирамиды. Так вот, расположение г. Кайлас, египетских и мексиканских пирамид очень интересное, а именно (слайд) – если соединить г. Кайлас с мексиканскими пирамидами, то соединяющая их линия выходит на остров Пасхи. Если соединить г. Кайлас с египетскими пирамидами, то линия их соединения опять выходит на остров Пасхи. Очертилась ровно одна четвертая земного шара.
Второй ученик. Продолжая исследования, мы обнаружили, что если соединить мексиканские пирамиды и египетские, то мы увидим два равных треугольника. Если найти их площади, то их сумма равна одной четвертой площади земного шара.
Если рассмотреть расстояние “Кайлас - египетские пирамиды” и “остров Пасхи – мексиканские пирамиды”, то мы получим ровно одну четвертую длины линии “Кайлас – о. Пасхи”. В результате наших исследований мы пришли к выводу, что на Земле существует строгая пирамидально-географическая система пирамид.
Учитель: Спасибо ученикам 3-ей группы за их уникальные исследования. Дело в том, что мы чаще всего слышим о египетских пирамидах, а не о том, что существует строгая пирамидально-географическая система пирамид, внутри которой существуют такие уникальные связи. Но на этом уникальные свойства пирамид не иссякли. Их исследованиями занималась 4-я группа - группа исследователей свойств пирамид. Но прежде чем предоставить слово этой группе, давайте вернёмся к группе “математиков”, так как их исследования тесно переплетаются.
Ученик первой группы.Очень часто в своих исследованиях учёные используют свойства пирамид с пропорциями Золотого сечения.
В математическом энциклопедическом словаре даётся следующее определение Золотого сечения – это гармоническое деление, деление в крайнем и среднем отношении – деление отрезка АВ на две части таким образом, что большая его часть АС является средним пропорциональным между всем отрезком АВ и меньшей его частью СВ.
Алгебраическое нахождение Золотого сечения отрезка АВ = а сводится к решению уравнения а : х = х : (а – х), откуда х приблизительно равно 0,62а. Отношение х можно выразить дробями 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21…= 0,618, где 2, 3, 5, 8, 13, 21 – числа Фибоначчи.
Ученик первой группы.Геометрическое построение Золотого сечения отрезка АВ осуществляется так: в точке В восстанавливается перпендикуляр к АВ, на нём откладывают отрезок ВЕ = 1/2 АВ, соединяют А и Е, откладывают ДЕ = ВЕ и, наконец, АС = АД, тогда выполняется равенство АВ : СВ = 2 : 3.
Золотое сечение часто применяется в произведениях искусства, архитектуры, встречается в природе. Яркими примерами являются скульптура Аполлона Бельведерского, Парфенон. При строительстве Парфенона использовалось отношение высоты здания к его длине и это отношение равно 0,618. Окружающие нас предметы также дают примеры Золотого сечения, например, переплеты многих книг имеют отношение ширины и длины близкое к 0,618. Рассматривая расположение листьев на общем стебле растений, можно заметить, что между каждыми двумя парами листьев третья расположена в месте Золотого сечения (слайды). Каждый из нас “носит” Золотое сечение с собой “в руках” - это отношение фаланг пальцев.
Первый ученик четвёртой группы.То, о чём расскажем мы, некоторым может показаться странным и не вполне объяснимым. Когда наша группа готовилась к уроку, нами была прочитана масса научно-познавательной литературы, из которой мы узнали многое о пирамидах.
- При постройке египетских пирамид было установлено, что квадрат, построенный на высоте пирамиды, в точности равен площади каждого из боковых треугольников. Это подтверждается новейшими измерениями.
- Мы знаем, что отношение между длиной окружности и её диаметром, есть постоянная величина, хорошо известная современным математикам, школьникам – это число “Пи” = 3,1416… Но если сложить четыре стороны основания пирамиды Хеопса, мы получим 931,22 м. Разделив это число на удвоенную высоту пирамиды (2*148,208), мы получим 3,1416…, то есть число “Пи”.
Следовательно, пирамида Хеопса – единственный в своем роде памятник, который представляет собой материальное воплощение числа “Пи”, играющего важную роль в математике.
Еще удивительнее другое соотношение: если сторону основания пирамиды разделить на точную длину года – 365,2422 суток, то получается 10-миллионная доля земной полуоси с большой точностью.
Я полагаю, что всё выше изложенное позволяет более подробно изучить приближённые вычисления, которые, честно сказать, мы не очень любим и стараемся их избегать.
Второй ученик.Выше рассказывалось о Золотом сечении, так вот, пирамида с пропорциями Золотого сечения в зоне своей деятельности прямо или опосредованно исправляет структуру пространства, приближает его к состоянию гармонии. Всё, что находится, либо попадает в это пространство, начинает развиваться в направлении гармонии. С удвоением высоты пирамиды, её активное воздействие усиливается в 5 – 7 раз. Многие учёные исследовали уникальные свойства пирамиды с пропорциями Золотого сечения и были очень удивлены тем, что при морозе 40 градусов внутри пирамиды не замерзает обычная вода, но при резком встряхивании бутылки с такой водой она замерзает за 2 – 3 секунды. Если смотреть на пирамиду локатором в диапазоне волн 10 см, над ней виден ионный столб в несколько километров высотой. Аналогичную картину дают энергоблоки атомных станций.
Третий ученик.Мы много раз слышали о понятии библейского рая. Но его надо рассматривать не в географическом смысле, а в смысле структуры среды обитания, обитания в среде близкой к состоянию гармонии.
В 1997 году близ города Осташкова на берегу озера Селигер была построена пирамида высотой 22 метра. Исследования воды в озере показали, что она стала намного чище, чем была прежде. Недалеко от пирамиды аист свил гнездо, что говорит об улучшении экологической обстановки. Вдоль русла речек открылись новые родники, о которых не помнят даже старожилы. Аналогичные эксперименты проводились в области сельского хозяйства. В Днепропетровской и Запорожской областях были засеяны тысячи гектаров семенами подсолнечника, кормовой и сахарной свеклы, кукурузой, овощами, зерновыми, побывавшими в пирамиде с пропорциями Золотого сечения. Прибавка урожая составила от 30% до 50%. В условиях засухи растения прекрасно росли и развивались.
Всё выше изложенное говорит о том, что пирамиды, их свойства интересны не только с исторической и математической точек зрения, но они представляют интерес и в повседневной жизни. Пирамиды позволяют изучать необычные свойства предметов, условия их развития и многое другое.
Учитель: И в завершение нашего разговора о пирамидах послушаем представителей пятой группы – группы “архитекторов”.
Первый ученик. Сегодня на уроке мы узнали очень много о пирамидах. Какова история их возникновения, на сколько важны их свойства в математике.
Однако и с точки зрения архитектуры, и дизайнерского искусства пирамиды представляют большой интерес. Элементы пирамид применяют в строительстве. Сейчас это очень модно и придаёт зданию некоторый шик.
Ярким представителями в этой области являются:
- Торговый центр в Илинге (Лондон) – образец постмодернизма. Одна из его башен имеет форму пирамиды и придаёт зданию величавый вид;
- Здание книжной ярмарки во Франкфурте (Германия) – крыша здания украшена стеклянной пирамидой;
- Вход в Лувр (Париж) – это не обычная дверь, а пирамида, сделанная из стекла, имеющая высоту 21,65 метра.
(на экране демонстрируются слайды)
Второй ученик. (Защищает проект здания, подготовленный группой)
Вывод экспертной группы: Во время подготовки к уроку каждой группе пришлось выполнять свою работу, и все соединилось воедино лишь сейчас. Мне кажется, что каждый из нас получил на сегодняшнем уроке большой запас знаний не только из области математики, но и из области истории, географии, да и просто из окружающей действительности. Все приобретенные знания, я надеюсь, пригодятся нам и помогут стать более образованными и интересными собеседниками.
Тема «Многогранники. Призма и пирамида ».
Форма проведения: урок-семинар
Цель урока:
· Систематизировать и обобщить изученный материал по данной теме путём творческого применения знаний, продолжить выработку умений решать задачи.
· Развивать у ребят активность, умение работать с литературой, компьютером, ЦОРами, умение рассуждать, объяснять, делать выводы, творчески мыслить и действовать.
· Прививать интерес к учёбе, учить самостоятельно добывать знания.
Оборудование: модели фигур (многогранников), компьютер, мультимедийный проектор.
ИКТ поддержка: презентации, публикации, кроссворды, карточки, подготовленные учащимися.
Ход урока.