Эйлер трлендіруі (Эйлер брыштары).Кез-келген осьті бойымен бру матрицасы.

лшемі бру матрицасын евклидті кеістікте орынды анытайтын ш лшемді векторды трлендіру матрицасы ретінде анытауа боолады, ол векторды координаттарын брылан (байланысан) сана жйесінен абсолютті сана жйесіне ауыстырады. 1-суретте екі о ті брышты координаттар жйесі крсетілген. Бл жйелерді бастары беттескен жне нктесінде орналасан.

 

1-сурет. Абсолютті жне байланысан координаттар жйелері

ш лшемді кеістікте жйесі бекітілген жне абсолютті деп абылданан, ал координаттар жйесі абсолютті жйесімен салыстыранда айналады. Физикалы трде жйесі байланысан координаттар жйесі ретінде арастырылады. Бл дегеніміз, ол атты денемен ата бекітілген (мысалы, шатын аппараттармен немесе манипуляторды буынымен) жне онымен бірге озалады. жне жне жйелеріні остеріні баыттарымен сйкес баытталан бірлік векторлар болсын. Кеістікті андайда бір нктесін крсетілген жйелерді кез-келгенімен салыстыранда координаттарымен сипаттауа болады. Талылау арапайымдау болу шін, нктесі сана жйесімен бекітілген жне озалмайды деп санайы. Сонда нктесі жне жйелерінде келесі сйкес координаттара ие болады

жне , (1.1)

мндаы жне векторлары сол бір нкте, нктесіні орнын р трлі сана жйелерімен салыстыранда сипаттайды. Векторды немесе матрицаны белгілеуіне осымша жоарыда тран индексі, транспонирования операциясын крсетеді.

Бізді масатымыз, жйесі брыланнан со координаттарын жйесіндегі координаттарына трлендіретін лшемі матрицасын анытау, яный

(1.2)

Байайтынымыз, физикалы трде нктесі координаттар жйесімен бірге брылады.

Векторлады компоненттеріні анытамасынан алатынымыз

(1.3)

 

Мндаы жне , жне остеріні бойына сйкес векторыны рашыларын крсетеді, немесе векторыны осы остерге проекциялары. Сонымен, скалярлы кбейтуді анытамасын жне (1.3) тедігін пайдалана отырып, алатынымыз

(1.4)

Немесе матрицалы трде

(1.5)

Осы рнекті ескере отырып (1.2) тедігідегі мына трді абылдайды

. (1.6)

Сол сияты, координаттарын координаттарынан алуа болады:

(1.7)

(1.8)

екенін байайы. Ары арай, (1.2) шыатыны

(1.9)

Сонда (1.7) жне (1.9) формулаларынан жне атынасынан шыатыны

(1.10)

Байайтынымыз, мндаы лшемі бірлік матрицасы. Бдан шыатыны,

(1.11)

Одан

. (1.12)

(1.2) жне (1.7) формулаларымен аныталатын трлендірулер отртогональді трлендірудеп аталады, ал скалярлы кбейтінділерге кіретін векторлар бірлік векторлар боландытан, оны ортонормальді трлендіру деп те атайды.

матрицасы сонымен атар баыттаушы косинустар арылы рнектелуі ммкін. Мысалы, мндаы - жне остеріні арасындаы брыш. Баса символдар арылы белгіленген матрицасы келесі трде жазылады

немесе (1.13)

(1.14)

или (1.13)

 

(1.14)

-ді (1.13) рнегіндегі баан-векторлар координаттар жйесіні бірлік базалы векторларыны координаттар жйесіне проекцияларын крсетеді. Екінші жаынан, вектор атарлар координаттар жйесіні бірлік базалы вектоларыны координаттар жйесіндегі компоненттерін крсетеді.

жйесіні жйесімен салыстырандаы негізгі остеріне атысты брылу матрицаларын арастыруды мні лкен. Егерде жйесіні кеістіктегі орны осы жйені осіні бойымен брышына брылуынан згеретін болса, онда жйесіндегі, жйесіндегі згермейтін координаттары бар нктесіні координаттары згереді. Осыан сйкес келетін трлендіру матрицасы осі бойымен брышына бру матрицасыдеп аталады. Жоарыда алынан нтижелерге сйеніп, матрицасы шін тмендегі тедікті аламыз

(1.15)

сонымен атар боладытан

(1.16)

2-сурет. Айналып тран координаттар жйесі.

Сол сияты, осімен жне осімен брышына братын, ш лшемді (лшемі ) бру матрицалары сйкес келесі трлерге ие болады (2-сурет):

(1.17)

(1.18)

, жне матрицалары элементарлы бру матрицалары деп аталады. Кез-келген баса крделі бру матрицаларын, элементарлы бру матрицаларын пайдалану арылы алуа болады.

Эйлер трлендіруі (Эйлер брыштары)

 

 

 

3-сурет. Эйлер брыштары.

жне координаттар жйелерін беттестіру шін бруларын операцияларын жасайы (3-сурет).

1. координаттар жйесін осіні бойымен брышына (денені здік брылу брышы) брайы, сонда координаттар жйесін аламыз жне

2. координаттар жйесін осі бойымен брышына (нутация брышы) брайы, сонда координаттар жйесін аламыз жне

3. координаттар жйесін осі бойымен брышына (прецессия брышы) брайы, сонда координаттар жйесін аламыз жне

Сонда орытынды матрицаны нтижесін келесі трде жазамыз

(1.19)