Есептер шешудегі анализ бен синтез.

Математикалы есептер шешуде анализ бен синтез ке трде олданылады. Анализ – ізделіндіден берілгенге арай кше отырып талылау жолы. Синтез – берілгеннен бастап ізделіндіге кшу (ту) жолы. Бл екі методта бір-бірімен тыыз байланыста болады.

1) длелдеуге берілген есептерді шешудегі анализ бен синтез.

Мысалы,Шар шбрышты пирамиданы барлы бйір жатарын оларды биссектрисаларыны иылысу нктесінде жанайды. Дрыс пирамида екенін длелдедер.

Анализ. Пирамиданы дрыс екенін длелдеу шін оны табаны дрыс шбрыш екенін крсету ажет. (DАВС). Ал бйір жатары те бйірлі те шбрыштар болуы керек. Бірінші сйлемді длелдеу шін АС=AB=BC крсету керек, бл з кезінде DАВС=DАSВ=DВSС болуы ажетті. Бл атыстарды длелдеу шін шбрышты тедік белгілерін пайдаланамыз. (пирамиданы бйір абыралары). (Пирамиданы абыралары жне оан іргелес жатан екі брышы бойынша).

Шар бл бйір жатарды жанау шін DO₁SC=DO₂SC жне DO₂BS=DO₃BS. (шеберді бір нктесіне жргізілген жанаманы кесінділері).

O₁S=O₂S=O₃S, O₁C=O₂C, O₂B=O₃B (бір нктеден жргізілген жанамалар).

2) Анализ орындалуы. Егер келесі рбір сйлемні жеткіліктілігін таайындай алса, онда длелдеу орынды деуге болады.

Синтез. O_1,O₂ нктелері DАSВ жне DSВС –на сйкес биссектрисаларды иылысу нктелері.

(SDE) жазытыы берілген шармен белгілі бір дгелек бойынша иылысады. Дл осы сияты (СО₁О₂) жазытыы берілген шарды баса дгелек бойымен иылысады.

Мселе есептердегі анализбен синтезді олданылуы.

Мселе есеп тек математикалы фактілермен бірге баса да сюжеттен трады. Мтінді есеп ранда анализ арылы арифметикалы аппарат кмегімен есепті жоспарын руа келеміз. Ал есеп кбінесе синтетикалы методпен шешіледі.

3) Мселе есептер шешуде анализбен синтезді олдану.

Мселе есеп деп бл арада берілгендері тек математикалы мазмннан трмай сонымен бірге баса да сюжеттен тратын есептерді айтады. Мтінді есеп ранда анализ арылы арифметикалы аппарат кмегімен есепті шешу жоспарын рамыз. Ал есеп кбінесе синтетикалы методпен шешіледі.

Мысалы,йді лкен блмесіні ені 4м, зындыы ал кішкене блмені зындыы 4м, ені Бір блмені ауданы екіншісінен анша арты?

Анализ. Сраа жауап беру шін блмелерді аудандарыны жне оларды айырмасын табу керек. Блмелерді аудандары оны зындыы мен енін кбейткенге те.

Есепті жоспары: рбір блмені ауданын тауып лкенінен кішісін алу керек.

Синтез. 1-тсіл 1) лкен блмені ауданы андай?

2) Кіші блмені ауданы андай?

3) Бірінші блмені ауданы екіншісінен анша арты?

2-тсіл. лкен блме ауданы екіншісі бларды айырмасы

2-тсіл, синтетикалы діс тымды, бан кбейтуді лестірімділік заы олданылады.

Алгебраны есептері (тедеулер руа берілген есептер, тедеулер мен оларды ситемасы, тесіздіктер мен оларды системасы) тек анализ не тек синтез олданылып шешіледі. Тедеулер ранда алдымен белгісізден берілгенге ауысады, яни анализ олданылады. Тедеулер не тедеулер жйесі синтез дісі бойынша шешіледі.

Мысалы, Теплоход зен аысы бойынша 13 саатта анша км жзсе, ол зен аысына арсы 15 саатта сондай ашытыа жзді. Егер теплоходты меншікті жылдамдыы 70км/са болса, онда зен аысыны жылдамдыы андай?

Анализ. зен аысыны жылдамдыын табу шін теплоходты меншікті жылдамдыын (70 км/са) жне зен аысы не аыса арсы озалыс жылдамдыын білу жеткілікті. Егер зен аысыны жылдамдыы V км/са болса, онда теплоход зен аысы бойынша (70+V), аыса арсы (70-V) км/са жылдамдыпен жзеді. Жрілген жолды уаыта атысты тедеу ретінде рнектейміз, яни зен аысы жне аыса арсы жрілген жолдардаы араашытытарды тедестіреміз.

Синтез. 15(70-V)=13(70+V) Û15· 70 -15V=13·70+13VÛ екі жаын 28¹0 ге блу. 28V=(15-13)70Û28V=2·70 ÛV=5.

Математикалы анализді е лкен, е кіші мнін табуа берілген есептерде анализ, синтез олданылады.

3) Геометриялы салу есептерін шешкендегі анализбен синтез.

Конструктивтік есептерді немесе геометриялы салу есептерін шешу барысы анализ бен синтезге тіреледі. Бл есептер анализ, салу, длелдеу, зерттеу сияты кезедерден трады. Мндай есептер анализ жасаудан басталады. Бл шынында да анализ дісі - йткені ізделініп отыран элементтен басталып («ізделінді фигура салынды деп йаралы») берілгенге кшеді. Анализ жасау кезеінде есепті салу жоспары жасалады, одан со синтетикалы жолмен орындалады. Длелдеу кезеінде анализ бен синтез бірге олданылады. Зерттеу анализ дісіні аншалыты тиімді олданыланын байайды.

Мысалы, а тзуі жне оан атысты симметриялы А, А₁ нктелері жне В нктесі берілген. а тзуіне атысты аланда В нктесіне симметриялы В₁ нктесін бір сызышты кмегімен салу керек.

Анализ. Есеп шешілді, ізделінді нкте салынды деп йаралы, яни В₁=S_a(B). Есеп шарты бойынша А₁=S_a(A). В₁ – нктесін салу шін осы нкте иылысатын екі тзу салу керек. Бл тзулерді былайша тадап алуа болады: А₁В₁=S_a(AB), B₁=S_a(A₁B), A₁B₁ ÇAB₁=B₁.

Бл тзулерді салу шін АВ мен а тзулеріні иылысу нктесін (С₁-нктесі) жне А₁В мен а тзулеріні (С₂-нктесі) иылысу нктелерін салу керек. Енді А₁С₁ÇАС₁=B₁. Есепті салу жоспары жасалды. Барлы салу бір ана сызышпен орындалады.

Салу (синтез). Сызышты кмегімен А₁В жне АВ тузулерін салып С₁С₂ нктелерін табамыз, АС₂жне А₁С₁ тзулерін саламыз, бларды иылысу нктесі – В₁.

Длелдеу (синтез). А₁С₁=S_a(AC₁), AC₂= S_a(A₁C₂), AC₁Ç A₁C₂=B, B₁= А₁С₁Ç AC₂, сондытан B₁= S_a(В).

(а тзуіне симметриялы екі тзуді иылысу нктесі ретінде)

Зерттеу (анализ). АВ мен а тзуіні бір ана орта нктесі бар. АВ мен а-ны таы андай орналасуы бар? Блар бір жазытыта жатыр, сондытан олар бір орта нктесі не параллель болуы ммкін. Егер олар параллель болса, жоарыдаы салулар орындалмайды. АВççа жне АВ¹а. Есеп бір КÏА алып. К₁=S_a(K), берілген А₁= S_a(A), бдан со есеп К, К₁ жне В бірінші жадайа келеді.

Егер В нктесі а тзуінде жатса, онда есеп В= S_a(B).

Мысалы, Берілген а тзуі арылы берілген b тзуіне параллель жазыты жргізу керек.

Анализ. жазытыын салу шін аÎ жне bçç - бл жазыты а арылы тіп b-а параллель болуы керек. Яни (а,с) жне сççb.

Салу. Берілген а тзуіні бойынан " А нктесін аламыз. (А,В) жазытыында сççb, аÇс=А саламыз. (а,с) – салуа тиісті жазыты.

Длелдеу. сççb жне сÌ , сондытан ççb. Біра аÌс.
Зерттеу. Салу жмысы кеістікте екі а,в тзулерді кеістікте орналасуына байланысты ш жадай болуы ммкін.

1) а жне b тзулері (а-b) айас болуы ммкін. Бл жадайда есепті бір шешімі болады. андай болса да АÎа; сÇа=А жне сççb болатын жалыз ана с тзуі болады. Мндай тзулерді жиыны жазытыты біреу ана сÌ жне ççb асиетке ие болатынын анытайды.

2) аççb. А тзуі арылы тетін " жазыты есеп шартын анааттандырады.

3) аÇb=А. Есепті бір шешімі бар (а,в).

Мысалы, Табаныны зындыы а, биіктігі а те бйірлі шбрышты салу керек.

Анализ. Есеп шешілді, берілген а, а бойынша шбрыш салынды деп йаралы.

а – биіктігі АВС те бйірлі шбрышты те екі тікбрышты шбрыша бледі. Сондытан есеп берілген а жне катеттері бойынша АDB тік брышты шбрышты салуа келтіріледі.

Салу. Берілген а жне бойынша DADB-ны саламыз, ВD-ны D нктесінен DC=DB болатындай С нктесін табамыз, С - D-ты шінші тбесі, оны А мен осамыз.

DABС шыады.

Длелдеу. Салынан D- іздеп салуа тиісті шбрыш, ол есеп шартын анааттандырады. Біріншіден те бйірлі, АВ=АС, табаны ВС=а жне биіктігі AD=ha.

Зерттеу. Есеп ADB тікбрышты D-ты салуа (а, ) келеді, бл рашан ммкін, оны бір шешімі болады.

4.2. Есептер шешуді баса да жалпы дістері.

Жоарыда арастырылан пінкттердегі анализ бен синтез есептер шешуді барынша жалпы дісі болып табылады. Тменде арастырылатын дістерде жалпы дістер болып саналады.

а) Жеткілікті трде сынау дісі.

Есеп шартын анааттандыратын барлы логикалы ммкіндіктер жне оларды тадап алу. Егер есеп шартына сай логикалы ммкіндіктер шектеулі сандар болса, онда есеп шартына толы сай келетін дісті срыптап алу. Осы діспен кейбір сандар теориясыны есептері шешіледі.

Мысалы, Цифрларыны осындысы çç, зі çç-ге блінетін барлы трт табалы сандарды табыдар.

Шешуі. Ізделінетін сан fbcd=10³a+10²b+10c+d болсын. Есеп шартына сйеніп жйені жазуа болады.

Осы жйені екінші тедеуі ізделетін санны параллельге блінетінін білдіреді.

Бір-біріне осса 2(а-с)=11(k+1). Мндаы kÎ(-1;0;1) болады. Шынында да жйені екінші тедеуінде сол жаыны айырмасы 11-ден кіші, çç - деп лкен болмауы керек.

б) Екінші діс. – мліметтер дісі.

Есептер біртіндеп трлендіріледі. Трлендірулер тізбегіні соында ажетті жауапты алуа ммкіндік береді. Егер тедеуді шешу керек болса, онда берілген тедеуге эквивалентті тедеулер тізбегін рамыз, соы тедеу шешуге жеіл, сраан жауапты береді. Тедеулер жйесін, тесіздіктер жйесін, шешкенде де дл осылай істейді. Длелдеуге берілген есептерді шешкенде де тебе-те трлендірулер тізбегін жасап тсінікті тебе-тедікке келеміз.

Мысалы, х²-2ху+у²-2х+3>0.

Шешуі. х²-2ху+у²-2х+3=х²-2х(у+1)+(у+1)²-(у+1)²+2у²+3=(x-y-1)²+y²-2y+1+1=(x-y-1)²+(y-1)²+1>0.

Мліметтерді абылдауды негізіне геометриялы салу есептерін шешу жатады. Осы трдегі рбір есеп мынадый талаптардан трады: берілген фигура арылы, оны конструктивті элементтері арылы фигура салады, ол есеп шартын анааттандыруы керек. Салынуа тиісті есеп элементар салулара келеді. Мліметтер дісімен текстілі есептер арифметикалы тсілмен шешіледі. Бл арада да берілген есеп жай есепке келтіріледі.

в) Есептер шешуді шінші дісі: модельдеуге негізделеді.

Модельдеуге ртрлі математикалы объектілер пайдаланылады. Сан формулалар, сан таблицалары, ріпті формулалар, функциялар, алгебралы тедеулер, дифференциалды тедеулер мен оларды жйелері, тесіздіктер, тесіздіктер жйесі, атарлар, геометриялы фигуралар, р алуан граф, схемалар, Венн диаграммалары, т.б. Математикалы модельдеу кптеген текстілі есептер шешуде олданылады. Есеп шарты бойынша рылан тедеу – алгебралы (аналитикалы) модель болып табылады.

Берілген геометриялы есептегі фигураны сызбасы – ондаы берілгендер мен ізделетін айнымалылар да – геометриялы модель болады. Клемді геометриялы фигура – есепте берілген заттарды кескіндеу не оны олдану моделі болады.

Мысалы, Егер сыныптаы оушыа 2-ден конфет таратылса, онда 17 конфет артылады. Егер 3 конфеттен таратылса, онда 2 оушыа конфет жетпейді. Сыныпта неше оушы, неше конфет?

Бл есепті 2 сызыты тедеу ру арылы шешуге болады. Егер бан модуль рса, онда бл есепті бастауыш сынып оушылары шеше алады.

2 2 2 ... 2 22+17

...

3 3 3 ... 3

Модельден байалатындай: 2 конфет алан оушы 3 конфет алуы шін 17 конфетті жне 4 конфетті тарату керек. йткені 2 оушыа конфет жетпей алан. Яни осымша 21 конфет тарату керек. Демек, сыныпта 23 оушы. А, конфет 21 3=63.

Орта мекетеп математикасында графиктік модельдеу ерекше роль атарады: диаграммалар, функциялы графигі, тедеуді, тесіздікті, графикті геометриялы маынасы.

Мысалы, Екіншілер бригадасы бірі екіншісінен 2 еседен кбірек шабындыты шабу керек. Олар жарты кнде лкен шабындыта болды. Тстен кейін бригаданы жартысы лкен шабындыта алды да кешке дейін оны аырына дейін шауып бітірді. Бригаданы екінші жартысы тстен кейін кіші шабындыта болды. Олар толы шауып бітіре алмады. Шабылмай алан жерді келесі кні 1 шалышы шауып бітірді. Бригадада неше шалышы бар? Барлы шалышыларды бір кнде шабатын жер млшері бірдей.

Шешуі. Шалышылар саны – х; 0,5x

Есеп шарты диаграммада крсетілген.

0,5х+2=0,5 1,5x x 0,5x

x=8

г) Ізделетін шаманы мнін біртіндеп жуытап есептеу дісі.

Есептерді графиктік тсілмен шешуді брі жуы трде есептеледі. Жуытап шешу сандар методы (мысалы, квадрат тедеуді тбірлеріні шешімі формула бойынша табылады).

Геометрияда жуытап салу методы бар.

Мысалы, дгелекке те квадрат салу брышты те бліктерге блу, т.б. Практикалы мазмнды есептер кбінесе комбициялы методтармен шешіледі. Орта мектепте есептер шешуді негізгі масаттарыны бірі - р оушыны математикалы есептерді негізгі методтар мен есеп шешуді тсілдерін мегеруін амтамасыз ету.

4.3. есептер шешу кезінде малімні оушылара беретін жалпы нсаулары.

1) Есепті ойылысы жне оны мазмнын мегеру шін беретін сыныстар (1-этап).

2) Есеп шешу жоспарын ру (2-этап).

3) Есепті шешу жоспарын іске асыру (2-3 этап).

4) Есеп шешіміні дрыстыына талдау жасап тексеру (4-этап).

5) Жалпы нсаулардан дербес нсаулара.

6) Айтылан нсауларды есептер шешуге олдану.

Есептер шешуді йрену шін оларды шешу туралы тжірибе жинатау керек. Есептер шешу дадысын збетімен алыптастыратын оушылар те сирек кездеседі. Есептер шешу дадысына оушыларды йрету малімні міндеті. Егер малім йренуге тиістіні брін з міндетіне алып, оушыа те кп кмектессе, оушыны ойландыратын ешнрсе алмаса (яни оушы ойланып тжірибе жинатауа ажетті те аз материал алса), онда оушы есеп шыаруды йренбейді. Егер малімні есеп шыарушыа кмегі те аз болса да ол жадайда оушы есеп шыаруды йрене алмайды. Малім оушыа есепті алай шыару жнінде аыл-кеес беріп кмектесуі немесе оушы есепті дрыс шыара алатындай болуы шін оларды сратарына жауап беруі керек. Кейде малім есеп шыару шін зі сра ойып, оан зі жауап береді. Біріншіден оушылар бан еліктейді, есеп шыара бастайды. Оытуды мндай трі кп уаыт жмсауды ажетсінеді, рашан табыса жете бермейді.

Бл арада оушыны ойын тудыратын, ойлау ызметін дамытатындай творчестволы тсіл керек.

Мндай аыл-кеестер ртрлі есептер шешуге жарайтын жалпылы асиеті болуы керек. «Есептер шешу дегеніміз практикадан алыптасатын нер», дейді Д.Пойа.

Оушылара айтылатын аыл кеестермен сратарды шартты трде 4 топа блуге болады. Бл топтар бір-бірімен ата блінбеген, есептер шешу кезінде бларды арасында белгілі байланыс болады.

1) Есепті мазмнын мегеру шін ойылатын сратар мен аыл кеестер (1-этап).

Есепті берілгендері андай, нелер ізделеді, немен орытындыланады – бларды білмей трып есеп шешуге кіріспейді.

«Есепті шешуге асыпаыз» - бл есеп шешуге дайынды жасау керек деген сз, бл

а) есеппен таныс, мазмнын оы, есептегі жалпы жадайды еске сата;

б) берілгендер мен есепті срайтынын білідер. Длелдеу есебінде алашы шарт (олайлы жадаймен) пен орытындыны бл.

Мысалы, зындытары а,в болатын тік брышты шбрыш шін гипотенузаны табанын формуланы орытыдар.

Берілгендері шбрыш, оны а,в катеттері, срайтыны оны гипотенузасын табатын формула болып табылады.

в) Егер есеп геометриялы есеп болса, онда оны сызбасын сал, сызбада берілгендер мен ізделетін шамаларды белгіле.

г) Есеп шартында белгілеулер жо болса, оан олайлы белгілеулер ендір. Мысалы, шбрыш а,в,с. R, а+в-с=2r.

д) Есепті мазмнын тсіне бастаан кезде «Есепті шартын анааттандыра ма?» деген сраа жауап беру олайлы. Есепті маынасы бола ма, андай жай трлендіруден со е жеіл трге келе ме?

2) Есепті шешу жоспарын ру (2-этап).

Есепті шешу жолдарын ру – есеп шешудегі е негізгі адам. Дрыс рылан жоспар есепті дрыс шешіміне кепілдік береді. Жоспар ру крделі жне за процесс болуы ммкін. Соны оны шешімін табатындай «жаашыл» мегерту керек.

а) Осы есепке сас есеп сізге белгілі ме? Осы есепке маынасы жнінен жаын есеп сізге таныс па? Егер бл есептер сізге брыннан таныс болса, онда жоспар ру иына сопайды. Мысалы, шар радиусын оны іштей сызылан тік параллелепипедті диагоналы арылы рнекте деген есепке сас, шебер радиусын оан іштей сызылан тртбрыш диаметрімен рнекте десек, блар туыстас. Бл рашан табыла бермейді.

б) шешуге тиісті есептке келтірілетін есеп растыр – сіз бан брын жоспар рансыз.

в) шешуге тиісті есепке маыналас есеп сізге белгісіз, ендеше жоспар бірден рылмайды. «есепті басаша тжырымдаыз», мны математикалы мазмны згермейтін болсын.

Мысалы, "n шін n²-n рнегіні мні жп екенін длелдедер. Мны басаша тжырымдалы: «рнектікбейткіштерге жіктедер, е болмаанда бір кбейткіш 2-ге блінетін болсын». Бан математикалы ым не блінгіштік белгі олданылады. Есеп мазмнын математикаландыру – тедеулер руда кп олданылады.

г) Есепті шешу жоспарын ру барысында есеп шешуші – «Есепті берілгендері тгел олданылды ма?» деген сра ояды.

д) есепті шешу жоспарын ру барысында «Есепті берілгендерін немесе есепті срайтынын трлендіріп крііз». Ізделіндімен берілгендерді трлендіру жоспарды тезірек руа кмектеседі. Ізделіндіні трлендіріп берілгенге жаындатады жне керісінше р наты жадайда берілгендерді тебе-те трлендіріп біртіндеп нтижеге ізделіндіге жаындаймыз. Тедеу, тесіздік, не оларды жйесіні шешімін табу шін - зімен мндес тедеулер мен тесіздіктер арылы трленеді.

е) Жоарыда айтыландарды брін олдананда есеп жоспары рылмайтын жадайлар жиі кездеседі, онда «Есепті белгілі бір блігін шыарып крііз» яни, есепті шартыны белгілі блігін анааттандыратын одан рі алан шартты анааттандыратын тсіл іздеіз.

Мысалы, Берілген шбрыша іштей квадрат салу керек. Квадратты екі тбесі бір-бірден шбрышты екі абырасыны бойында, ал алан екі тбесі 3-абыраны бойында жатуы керек.

Е алдымен есеп шартыны бір блігін анааттандырып крелік. шбрыш ішіне квадрат саламыз. Квадратты екі тбесі шбрышты бір абырасыны бойында, ал шіншісі – баса абыраны бойында жататын болсын.

Мндай квадратты те кп етіп сызуа болады. Барлы квадраттар А тбесіне (центріне) гомотетиялы болады.

Демек, тртінші тбе А нктесінен жне салынан квадратты тбесінен тетін тзу жне ВС бойында жатуы керек. Есепті жоспары белгілі.

Аыл-кеес. «Есепті бір блігін шешіп крііз» бдан рі кеесімізді кеейтсек: «Есепті барынша жай есептерге сатадар». Мселе есепті шешуді р адамы – арифметикалы тсілмен шешіледі – са бліктерден трады. Кейбір геометриялы есептерге тедеулер жйесі рылады.

ж) кейде жоспар руа «андай дербес жадай шін осы есепті тез шешуге болады» деген сра кмектеседі. Дербес жадайды нтижесі крделі жадайа олданылады. Біртіндеп жалпылап есепті шешеді. Блайша пайымдау – толы индукция дісі болады.

Мысалы, Дрыс шбрышты ішінен алынан кез келген М нктесінен оны абыраларына дейінгі ашытытарды осындысы траты шама болатынын длелдедер.

Суретте индукция бойынша ойлау схемасы крсетілген. М шбрышты тбесінде боланда М-нен екі абырасыны ашытыы 0-ге те. Жалпы жадайды бірі – М нктесіні бір абыраны бойында жатуы. MN//АС жргіземіз. DMNB осымша те абыралы шбрыш аламыз, мндаы М – тбесі. Соы жадай – М нктесі DАВС-ні " ішкі нктесі. А^/С^///АС жргізсек, онда есеп алдыы жадайа келеді.

3) Есепті шешу жоспарын іске асыру жоспар – есеп шешіміні жалпы тйінін ашып крсетеді. Есеп шешіміні жоспарын іске асыруда есепті тйінін сипаттап жазатын барлы са-тйектерді арастырылады.

а) «»рбір адамыызды тексерііз

р адамны дрыстыын бан дейін белгілі математикалы фактілер мен сйлемдерге сйеніп тексеру керек.

б) Жоспарды іске асыруда «»терминдер мен символдарды оларды анытамаларымен ауыстыр деген аыл-кеес пайдалы.

Мысалы, «Параллелограмм» зіні «арама-арсы абыралар ос-остан» деген анытама мен ауысады.

в) Объектілер жадайында берілгендерді асиетін пайдаланыдар.

Мысалы, Параллелограммда арама-арсы брыштары те болатынын длелдедер.

Шеші кезінде параллельдігі мен тедігі олданылады.

4) Есеп шешіміні дрыстыын талдау жне тексеру.

Есепті жасы шыаратын оушыны зі есепті шешу жолын мият жазып, «есеп толы шыты» деп есептейді. Мны дрыстыы лі тексерілген жо, барынша тиімді вариент тадап алынан жо.

Б.М. Бродис 1) атесіз, 2) негізделген, 3) аяына дейін толы шыарылан есеп ана шыарылан есеп болып табылады. Сондытан есепті талдау, шешімді тексеру нтижесіні дрыстыы – есеп шешуді кезеі болуы керек.

Сонымен «Нтижесін тексер», «Шешу жолын тексер».

«Осы нтижені басаша жолмен алуа бола ма?»

«Есепті баса тсілмен шешідер».

Бір есепті ртрлі тсілмен шешіп тек бір нтиже алуды зор мні бар.

Бл аыл-кеесті кпшілігін Д. Пойа тжырымдады. Бл аыл-кеестер оны шешімін дрыс іздеуге уаыттан туа, есеп шешуді дрыс жне тиімді тсілін іздеу ытималдыы молайады.

5) жалпы аыл-кеестерден дербес кеестерге ауысу.

Есепті жалпы сратардан, жалпы аыл-кеестерден бастайды. Жалпы кеестерді оушыа сері аз болуы ммкін, мндай жадайда осымша мселелерді, барынша са сратарды гімелейміз. Оушыны математикалы дайындыыны дегейіне арай біріншіден дербес мселелерге кшеміз. Барынша са мселелер туралы сра ойып оушы аыл-ойыны есеп шешуге дрыс баытталуына сер ету керек.