Нечеткие логические операции

Вначале кратко напомнить основные положения обычной (булевой) логики. Рассмотрим два утверждения A и B, каждое из которых может быть истинным или ложным, т.е. принимать значения "1" или "0". Для этих двух утверждений всего существует различных логических операций, из которых содержательно интерпретируются лишь пять: И ( ), ИЛИ ( ), исключающее ИЛИ ( ), импликация ( ) и эквивалентность ( ). Таблицы истинности для этих операций приведены в табл. 5.

Таблица 5 - Таблицы истинности булевой логики

A	B

Предположим, что логическое утверждение может принимать не два значения истинности, а три, например: "истинно", "ложно" и "неопределенно". В этом случае мы будем иметь дело не с двухзначной, а трехзначной логикой. Общее количество бинарных операций, а, следовательно, и таблиц истинности, в трехзначной логике равно . Нечеткая логика является разновидностью многозначной логики, в которой значения истинности задаются лингвистическими переменными или термами лингвистической переменной "истинность". Правила выполнения нечетких логических операций получают из булевых логических операций с помощью принципа обобщения.

Определение 45.Обозначим нечеткие логические переменные через и , а функции принадлежности, задающие истинностные значения этих переменных через и , . Нечеткие логические операции И ( ), ИЛИ ( ),
НЕ ( ) и импликация ( ) выполняются по таким правилам:

;

;

;

.

В многозначной логике логические операции могут быть заданы таблицами истинности. В нечеткой логике количество возможных значений истинности может быть бесконечным, следовательно в общем виде табличное представление логических операций невозможно. Однако, в табличной форме можно представить нечеткие логические операции для ограниченного количества истинностных значений, например, для терм-множества {"истинно", "очень истинно", "не истинно", "более-менее ложно", "ложно"}. Для трехзначной логики с нечеткими значениями истинности T - ; "истинно", F - ; "ложно" и T+F - "неизвестно" Л Заде предложил такие лингвистические таблицы истинности:

T	T	F	T	T
T	F	F	F	T
T	T+F	F	T+F	T
F	T	T	F	T
F	F	T	F	F
F	T+F	T	F	T+F
T+F	T	T+F	T+F	T
T+F	F	T+F	F	T+F
T+F	T+F	T+F	T+F	T+F

Применяя правила выполнения нечетких логических операций из определения 45 можно расширить таблицы истинности для большего количества термов. Как это сделать рассмотрим на следующем примере.

Пример 10. Заданы следующие нечеткие истинностные значения:

;

;

.

Применяя правило из определения 45, найдем нечеткую истинность выражения "почти истинно ИЛИ истинно":

.

Сравним полученное нечеткое множество с нечетким множеством "более-менее истинно". Они почти равны, значит:

.

В результате выполнения логических операций часто получается нечеткое множество, которое не эквивалентно ни одному из ранее введенных нечетких значений истинности. В этом случае необходимо среди нечетких значений истинности найти такое, которое соответствует результату выполнения нечеткой логической операции в максимальной степени. Другими словами, необходимо провести так называемую лингвистическую аппроксимацию, которая может рассматриваться как аналог аппроксимации эмпирического статистическими распределения стандартными функциями распределения случайных величин. В качестве примера приведем предложенные Балдвином лингвистические таблицы истинности для показанных на рис. 15 нечетких значений истинности:

ложно	ложно	ложно	ложно
истинно	ложно	ложно	истинно
истинно	истинно	истинно	истинно
неопределенно	ложно	ложно	неопределенно
неопределенно	истинно	неопределенно	истинно
неопределенно	неопределенно	неопределенно	неопределенно
истинно	очень истинно	истинно	очень истинно
истинно	более-менее истинно	более-менее истинно	истинно

Нечеткая продукция.

Нечеткие продукции

В простейшем случае нечеткая продукция имеет следующий вид:

ЕСЛИ x это A, ТО y это B,

где A и B - значения лингвистических переменных, задаваемые функциями принадлежности. Левая часть продукции называется условием (или предпосылкой), а правая - следствием (или заключением). Продукцию часто в сокращенном виде записывают как A->B.

В более общем случае нечеткая продукция принимает такую форму:

ЕСЛИ x₁ это A₁ И ... И x_N это A_N, ТО y это B,

Для вычисления значения коэффициента принадлежности сложного коньюнктивного условия продукции используются 2 способа:

• логическое произведение
  mu_И(x)=min{mu_Ai(x_i)}, i=1,2, ... ,N;
• алгебраическое произведение
  mu_И(x)=prod[i=1,N](mu_Ai(x_i)).

Приписывание значения коэффициента принадлежности сложному условию продукции будем называть агрегированием условия.

Для вычисления коэффициента принадлежности продукции в целом также используется два способа:

• логическое произведение
  mu_A->B(x)=min{mu_A(x),mu_B(y)};
• алгебраическое произведение
  mu_A->B(x)=mu_A(x)*mu_B(y).

Такой расчет значения функции принадлежности называется агрегированием на уровне продукции.