Основні положення методу елементарних теплових балансів

 

Задачі теплопровідності вирішуються як аналітичними, так і чисельними методами із залученням методів рішення на ПК.

Для вирішення лінійних крайових задач теплопровідності тонких тіл використовують аналітичні методи. Вживання в практиці розрахунку температур лінійних рішень зумовлює використання постійних теплофізичних характеристик матеріалу. Результати розрахункових температур можуть бути адекватні дійсним значенням при нагріві до невисоких температур. При високотемпературних режимах усереднювання теплофізичних властивостей тіл може внести істотну помилку. Для вирішення задач в нелінійній постановці потужним і гнучким засобом є чисельні методи, з яких широко поширені метод кінцевих різниць і метод елементарних теплових балансів.

Суть методу елементарних теплових балансів (у математиці подібні прийоми отримали назву ”Метод сіток“) полягає в наступному: досліджуване тіло розбивається на ряд геометричних елементарних форм, в межах яких закон зміни фізичної величини (у нашому випадку такою величиною є температура), що вивчається, може бути, з відомою мірою точності, прийнятий лінійним.

За елементарну геометричну форму при використанні прямокутної системи координат доцільно прийняти паралелепіпед із сторонами х, у, z. При користуванні іншими системами координат такими формами можуть бути елементарний циліндровий шар з радіусами R, R+R і заввишки z, або елементарний кульовий шар з радіусами R, R+R, . Кожному розрахунковому об'єму привласнюють порядковий номер. Приймається, що термічні властивості таких об'ємів зосереджені в центральних вузлових точках. Передача теплоти між вузловими точками здійснюється через умовні стержні, що проводять теплоту.

У нестаціонарному стані в кожній вузловій точці не лише відбувається підведення і відведення теплоти, але і змінюється внутрішня енергія. Початковий розподіл температури є заданим, тобто відома величина температури для всіх розрахункових точок в момент = 0. Відомі також значення фізичних констант (характеристик) і граничні умови. Завданням є визначення температури у всіх розрахункових точках у все подальші моменти часу. Для цього як відправний пункт використовуємо не диференціальне рівняння теплопровідності, а гіпотези Фур'є, Ньютона і закони променистого теплообміну. Такий прийом, разом із спрощенням математичних викладень, вносить фізичну ясність у всі дані задачі.

Розрахункові формули для знаходження температур у вибраних точках в подальші моменти часу отримаємо, застосовуючи вказані закони до складання теплових балансів груп елементарних об'ємів, на які розбито дане тіло. При цьому можуть зустрітися найрізноманітніші варіанти розташування розрахункових об'ємів. Вони можуть знаходитися в межах одного середовища (усередині тіла), можуть лежати на кордоні двох середовищ з різними теплофізичними властивостями, на кордоні ”тіло-рідина“ і так далі Для кожного такого варіанту, об'єднуючого один або декілька об'ємів, складається своє розрахункове рівняння.

При виведенні розрахункових формул за визначенням температури приймається, що величина середнього за час теплового потоку через яку-небудь поверхню вважається пропорційною не середньому в часі температурному градієнту, а його початковому (в межах інтервалу часу ) значенню. Міра погрішності розрахунку залежатиме від . Збільшення може значно скоротити об'єм обчислювальної роботи, а тому надзвичайно принадно. Проте, якщо прийняти великим, то погрішність, що викликається прийнятим допущенням постійності теплового потоку, може стати вельми значною. Аби цього не сталося, визначають максимально допустиме значення величини з умови, аби всі коефіцієнти полінома

t₊ = A₁t + A₂t_x-x + A₃t_x+x + A₄t_y-y + A₅t_y+y + A₆t_z-z + A₇t_z+z

були позитивні.

Коефіцієнти А1 .. А7 є одночленами і по характеру величин, що входять в них, можуть мати лише позитивне значення. Коефіцієнт А₁, визначуваний виразом:

 

А₁ = 1- _i (3.1)

 

зменшується із збільшенням і може, залежно від його величини, набувати будь-яких значень в межах від +1 до – . Максимально допустимою величиною , буде така, при якій коефіцієнт А₁ перетворюється на нуль. Це значення слід приймати як розрахункове значення інтервалу на часі, при якому забезпечується стійкість рахунку.

Наприклад, для одновимірної задачі нагрівання пластини максимально допустима величина розраховується за формулою:

 

(3.2)

 

Розглянемо складання розрахункових рівнянь для задачі нагрівання одновимірної пластини

 

 

Для шару i = 1 задано граничні умови ІІ роду:

Q_прих = q × ,

 

Q¹_витр= ,

t3

t2

t₁ Q²_витр= Vⁱ × p × c × t = Vⁱ × p × c × t^і₊ –Vⁱ × p × c × t,

t4

t5

,

V = F × d/n

 

Рівняння балансу: Q_прих = Q¹_витр+ Q²_витр

q = + Vⁱ × p × c × t₊ –Vⁱ r × c × t

 

Розрахункове рівняння:

 

t = t . (3.3)

 

де l – коефіцієнт теплопровідності, Вт/(м*К);

С – теплоємність, кДж/(кг*К);

r – щільність, кг/м³;

t_tⁱ – значення температури в шуканій точці в початковий момент часу;

tⁱ_t+t – значення температури в шуканій точці в подальший момент часу;

t_t^i-1 – температура в початковий момент часу в попередній точці;

t_tⁱ⁺¹ – температура в початковий момент часу в подальшій точці;

n – кількість шарів, на які розбито пластину.

Якщо на верхній (або нижній) поверхні задано теплообмін по закону Ньютона-Ріхмана або Стефана-Больцмана, то розрахункове рівняння записується аналогічно, тільки замість q підставляється вираз для відповідного закону.

Запишемо баланс енергії для будь-якого внутрішнього об'єму i:

Q_прих = ,

Q¹_расх= ,

Q = ,

 

Тоді розрахункове рівняння для групи внутрішніх об'ємів запишеться:

 

t₊ = tⁱ + . (3.4)

 

Аналогічним чином складаються розрахункові рівняння для всіх інших груп об'ємів. Оскільки передача теплоти через всі внутрішні об'єми підкоряється одним і тим же законам, то для цієї групи об'ємів i = 2.. . n-1 записують одне узагальнене рівняння. Для шару i = n записують рівняння відповідно до умов теплообміну на цій поверхні.

Баланс енергії для граничного об'єму i=n (умови теплової ізоляції, тобто q_n=0) запишеться таким чином

 

Q_прих= ,

 

Q

 

=

 

Розрахункове рівняння для цього об'єму:

 

t (3.5)

 

Лабораторна робота №2

Моделювання одновимірних нестаціонарних температурних полів в плоских стінках теплоенергетичного устаткування на ПК
Мета роботи: Набуття досвіду математичного моделювання нестаціонарних температурних полів методом елементарних теплових балансів.

Завдання по роботі:

Скласти алгоритм розрахунку відповідно до індивідуального завдання.

Розробити блок-схему.

Написати програму для ПК.

Виконати відробіток програми.

Виконати чисельні розрахунки для ряду вихідних даних і провести їх аналіз.

Скласти звіт по роботі.