Правило 3. Від’ємність коефіцієнта при лінеаризації джерелового члена.
Часто джерелового член є функцією самої залежної змінної Т. Проте, формально ми можемо враховувати лише лінійну залежність, оскільки вирішення дискретних рівнянь здійснюватиметься за допомогою методів вирішення систем лінійних рівнянь. Середнє значення запишеться у вигляді:
. (4.6)
Наявність Тр в (4.6) відображає той факт, що при запису середнього значення S ми припускали, що значення Тр поширюється на весь контрольний об'єм, іншими словами, використовувався показаний на рис. 4.2а ступінчастий профіль (відзначимо, що можна використовувати ступінчастий профіль для S і кусочно-лінійний для члена dT/dx).
Дискретний аналог рівняння теплопровідності з лінеаризованим джереловим членом має такий же вигляд, як і (4.4), але з іншими виразами для коефіцієнтів:
, (4.7)
де
; 
;
; 
. (4.8)
З визначень коефіцієнтів видно, що коефіцієнт аР може стати негативним за рахунок SР.
Цього можна повністю уникнути, потребувавши, аби аР був позитивним. Правило 3 сформулюємо таким чином:
При лінеаризації джерелового члена у вигляді 
коефіцієнт SP завжди має бути негативним або дорівнювати нулю.
Правило 4. Сума сусідніх коефіцієнтів.
Для випадків, коли коефіцієнт SP дорівнює нулю, необхідно, аби
. (4.9)
Нелінійність. Дискретний аналог (4.7) є лінійним алгебраїчним рівнянням, і ми вирішуватимемо систему таких рівнянь. Проте, в теорії теплопровідності часто зустрічаються нелінійні задачі. Коефіцієнт теплопровідності може залежати від Т або джерело S може бути нелінійною функцією Т. Таким чином, самі коефіцієнти дискретного аналога залежатимуть від Т.
У таких випадках використовуватимемо ітерації. Цей процес включає наступні етапи:
1. Вибір початкового наближення або оцінка значень Т у всіх вузлових точках.
2. Розрахунок попередніх значень коефіцієнтів в дискретному аналогу на основі початкового профілю Т.
3. Рішення номінально лінійної системи алгебраїчних рівнянь, що дає нові значення Т.
4. Повернення до другого етапу і повторення процесу до тих пір, поки подальші наближення (ітерації) перестануть давати скільки-небудь істотні зміни в значеннях Т.
Лінеаризація джерелового члена. У тому випадку, коли джереловий член S залежить від Т можна цю залежність виразити в лінійній формі за допомогою рівняння (4.6). Це робиться з тієї причини, що, по-перше, номінально лінійна система допускає лише формально лінійну залежність, і, по-друге, введення лінійної залежності краще, ніж припущення про постійність S.
Якщо S є нелінійною функцією Т, то функцію потрібно лінеаризувати, тобто визначити значення SС і SP, які самі можуть залежати від Т. В процесі кожного ітераційного циклу Sc і SP перераховуються з врахуванням нових значень Т.
Приклад 1. Розглянемо лінеаризацію источникового члена при променистій тепловіддачі довкіллю:
.
Можна:
;
,
але такий спосіб часто приводить до ітераційного процесу, що розходиться.
Спосіб, що рекомендується:
;
;
.
Символ ТР* використовується для позначення ТР на нульовій ітерації.
Таким чином, джереловий член приведений до вигляду (4.6) з від’ємним коефіцієнтом Sp. Значення ТР* уточнюється методом ітерацій за приведеною вище схемою.
Граничні умови. Припустимо, що для одновимірного завдання ряд вузлових точок, показаних на рис.3, є вибраним. На кожен з двох кордонів доводиться по одній вузловій точці. Останні вузлові точки назвемо внутрішніми, довкола кожної з них розміщується контрольний об'єм.
2 1
I W P E
B
Рис. 4.3 Контрольний об'єм для внутрішніх і граничних точок:
1 – типовий контрольний об'єм;
2 – половинний контрольний об'єм.
Дискретний аналог, подібний до рівняння (6.4), можна записати для кожного такого контрольного об'єму. Якщо (6.4) розглядати як рівняння для визначення ТР, то маємо необхідні рівняння для всіх невідомих температур у внутрішніх вузлових точках. Саме через ці температури на межі здійснюється облік заданих граничних умов в схемі чисельного рішення.
Якщо задана температура на межі (тобто значення температури в точці В – ТB відоме), то не потрібні додаткові рівняння і труднощів не виникає. Коли температура на межі невідома, необхідне додаткове рівняння для визначення ТB. Це рівняння можна отримати, інтегруючи диференціальне рівняння (1) за половинним контрольним об'ємом, який, як показано на рис. 6.4, примикає до межі. В результаті маємо:
. (4.10)
(dx)i
qB
 |
B i I
x
Рис. 4.4 Половинний контрольний об'єм поблизу межі.
Подальше перетворення цього рівняння залежить від того, як задано тепловий потік qB на межі. Якщо задано саме значення qB (граничні умови II роду), рівняння для ТB записується таким чином:
, (4.11)
де 
;
(4.12)
Якщо тепловий потік визначено через коефіцієнт тепловіддачі і температуру довколишньої рідини Тж (граничні умови III роду):
. (4.13)
то коефіцієнти дискретного аналога (4.11) записуються таким чином:
;
; (4.14)
.
Так само можна отримати необхідне число рівнянь для невідомих температур.
Як вже вказувалось, другим етапом методу є вирішення отриманої системи рівнянь. Розглянемо метод вирішення цих рівнянь.