Вирішення лінійних алгебраїчних рівнянь

 

Вирішення дискретного аналога для одновимірного випадку можна отримати за допомогою стандартного методу виключення Гауса. Для рівнянь такого простого вигляду процес виключення перетворюється на дуже зручний алгоритм. Його називають методом прогону або алгоритмом трьохдіагональної матриці (ТДМА). Ця назва є результатом того, що коли матриця коефіцієнтів цих рівнянь записана, всі ненульові значення групуються уздовж трьох діагоналей матриці.

Для зручності запису алгоритму введемо деякі позначення. Привласнимо вузловим точкам, змальованим на рис. 4.3, номери 1, 2, 3,…, N. Номери 1 і N відносяться до точок на кордоні. Дискретний аналог можна записати в наступному вигляді:

 

, (4.15)

 

де i = 1, 2, 3,…, N.

Таким чином, температура Ti пов'язана з сусідніми значеннями Ti+1 і Ti-1. Запис рівнянь для вузлових точок на межі дає

 

с1 = 0; bN= 0 (4.16)

 

отже, температури T0 і TN+1 не матимуть сенсу.

Записані умови означають, що Т1 відома залежно від Т2. Рівняння для i=2 є співвідношенням між Т1, Т2 і Т3. Але оскільки Т1 може бути виражена через Т2, це співвідношення наводиться до співвідношення між Т2 і Т3. Іншими словами, Т2 можна виразити через Т3. Процес підстановки можна продовжувати до тих пір, поки значення Тn не буде виражено через Тn+1 . Але оскільки Тn+1 не існує, ми насправді на даному етапі набудемо чисельного значення Тn . Це дозволяє почати процес зворотної підстановки, в якому Тn-1 виходить з Тn ; Тn-2 з Тn-1., Т2 з Т3 і Т1 з Т2.

Це і складає суть методу прогону.

Припустимо, що при прямій підстановці маємо залежність:

 

. (4.17)

 

після того, як отримано

 

. (4.18)

 

Підставляючи (4.18) в (4.15), отримуємо наступне співвідношення:

 

, (4.19)

 

яке можна привести до вигляду (4.17). Інакше кажучи, коефіцієнти Qi і Pi запишемо у вигляді:

 
 


(4.20)

 

Ці рекурентні співвідношення визначають Рi і Qi через Pi-1 і Qi-1. На початку рекурентного процесу P1 і Q1 визначаються в наступному вигляді:

 

; . (4.21)

 

(це витікає з підстановки с1 = 0 в (4.20)).

На іншому кінці послідовності Qi і Pi маємо bN = 0. Це дає PN = 0 і з (17) отримуємо:

 

TN = QN. (4.22)

 

З цього моменту здійснюється зворотна підстановка за допомогою рівняння (4.17).

 

Короткий опис алгоритму.

 

1. Розраховуємо P1 і Q1 з рівнянь (4.21).

2. Використовуючи рекурентні співвідношення (4.20), отримуємо Pi і Qi для i = 2, 3,…, N.

3. Вважаємо TN = QN .

4. Використовуючи рівняння (4.17) для i = N-1, N-2., 3, 2, 1 отримуємо TN-1, TN-2., T3, T2, T1.

 

Лабораторна робота №3

Рішення стаціонарної задачі нагріву стержня методом контрольного об’єму

Мета роботи: Набуття досвіду математичного моделювання стаціонарного температурного поля чисельним методом.

Завдання по роботі:

1. Скласти алгоритм розрахунку відповідно до індивідуального завдання.

2. Написати програму для ПК.

3. Виконати відробіток програми.

4. Виконати чисельні розрахунки для ряду вихідних даних і провести їх аналіз.

5. Скласти звіт по роботі.

Вихідні данні вибираються студентом, виходячи з номеру залікової книжки і приведені в табл. 4.1, 4.2

Таблиця 4.1. Геометричні розміри тіла і закон зміни інтенсивності qб

 

Перша цифра шифру   x1.103, м x2.103, м x.103, м d.103, м Вигляд залежності qб k.104, 1/м
3,8 q0× exp(-kx)
4,0 ÷
4,2 ÷
4,5 ÷
5,0 ÷
5,6 q0× (1-kx)
6,0 ÷
6,6 ÷
6,8 ÷
8,0 ÷

 


Таблиця 4.2. Умови нагріву тіла

 

Остання цифра шифру   qт, кВт/м2 qо, кВт/м2 a1, Вт/(м2×К) a2, Вт/(м2×К) e1 e2 ГУ I   ГУ IІ  
0,6 T=const   q=const  
0,7 T=const   q=const  
0,55 q=const   T=const  
0,7 q=const   T=const  
0,8 q=0   III роду  
0,5 q=0   III роду  
0,9 III роду   q=0  
0,75 III роду   q=0  
0,6 q=const   III роду  
0,85 q=const   III роду  

 

       
 
   
ГУ II
 

 

 


Рис. 4.5 – Схема нагріву