Определение скорости при координатном способе задания движения точки

КИНЕМАТИКА

Методическое пособие к выполнению самостоятельных практических работ

по дисциплине «Теоретическая механика»

Березники 2008

Составитель: С.М. Вдовин

УДК 531.5

ББК 22.21

В25

Рецензент: канд. техн. наук, доцент кафедры технологии и механизации производств БФ ПГТУ С.Э. Шаклеина

Кинематика: метод. пособие / С.М. Вдовин.– Перм. гос. техн. ун-т. Березники, 2008. – 67с.

Представлены базовые теоретические сведения по кинематике точки и твердого тела, рассмотрены основные задачи. Данное пособие предназначено для самостоятельной подготовки студентов технических вузов всех специальностей дневного, вечернего и заочного отделений к практическим занятиям по разделу кинематика, дисциплины «Теоретическая механика».

УДК 531.5

Ó «Пермский государственный

технический университет», 2008

Содержание

1. Введение в кинематику................................................................................ 4

2. Кинематика точки........................................................................................ 4

2.1. Скорость точки..................................................................................... 5

2.2. Определение скорости при координатном способе задания движения точки 6

2.3. Определение скорости при естественном способе задания движения точки 7

2.4. Ускорение точки.................................................................................... 7

2.5. Определение ускорения точки при координатном способе задания движения точки...................................................................................................................... 8

2.6. Касательное и нормальное ускорение точки....................................... 9

2.7. Касательное и нормальное ускорения при координатном способе задания движения точки........................................................................................................... 10

2.8. Частные случаи движения точки........................................................ 11

Практическая работа 1.............................................................................. 12

3. Кинематика абсолютно твердого тела..................................................... 17

3.1. Поступательное движение.................................................................. 17

3.2. Вращательное движение тела............................................................. 18

3.3. Скорости и ускорения точек тела при вращательном движении..... 22

3.4. Плоскопараллельное движение твердого тела.................................. 24

3.5. Определение скоростей точек тела плоской фигуры........................ 26

3.5.1. Метод полюса............................................................................... 26

3.5.2. Метод мгновенного центра скоростей (МЦС)............................. 27

3.5.2.1. Понятие о центроидах............................................................... 28

3.5.2.2. Частные случаи МЦС................................................................ 28

3.6. Определение ускорений точек тела плоской фигуры........................ 29

3.6.1. Метод полюса............................................................................... 29

3.6.2. Метод мгновенного центра ускорений (МЦУ)............................ 30

Практическая работа 2.............................................................................. 32

Практическая работа 3.............................................................................. 48

3.7. Сложное движение точки.................................................................... 52

3.7.1. Абсолютное, относительное и переносное движение точки....... 52

3.7.2. Теорема сложения скоростей....................................................... 52

3.7.3. Теорема о сложении ускорений................................................... 54

Практическая работа 4.............................................................................. 58

Приложение................................................................................................... 65

Список используемой литературы............................................................... 66

Введение в кинематику

Кинематика – раздел теоретической механики, в котором изучаются пространственно-временные свойства движения различных объектов с геометрической точки зрения, с целью расчета траекторий, скоростей и ускорений отдельных точек (изолированных), так и входящих в состав абсолютно твердого тела. Владение данными умениями полезно при разработке реальных механических систем, выявлении структуры их виртуальных перемещений, составлении уравнений динамики.

Движение представляет собой изменение положения тела с течением времени в пространстве относительно других материальных тел. Для определения данного положения движущейся точки (тела) в различные моменты времени вводят систему отсчета, жестко связанную с некоторым телом. Система отчета представляет собой систему трех координатных осей, в которой перемещается исследуемый объект.

Изучение кинематики рассматривается с движения простейшего объекта – точки.

Кинематика точки

Движение точки можно задать одним из следующих способов:

1. Векторный способ задания движения точки.

Рассматривается движение точки М в некоторой системе отчета Охуz. Положение этой точки в любой момент времени определяют радиус-вектором , проведенным из начала координат точки О к точке М (рис.1).

Рис.1.

При движении точки М вектор

изменяется с течением времени по модулю и направлению, следовательно

(1)

где – векторная функция, изменяется с течением времени.

Равенство (1) определяет закон движения точки в векторной форме, позволяет найти ее положение в любой момент времени.

При проектировании радиус-вектора на декартовы координаты и введении единичных векторов координатных осей имеем

, (2)

где х, у, z – декартовы координаты точки М.

Вектор согласно равенства (1) может быть задан модулем и углами с осями или проекциями на оси других систем координат.

2. Координатный способ задания движения точки.

Рассматривается движение точки М в некоторой системе отсчета. Положение этой точки в любой момент времени определяют декартовыми координатами х, у, z.

. (3)

Уравнение (3) называется уравнением движения точки в прямоугольных декартовых координатах.

При движении точки в одной плоскости Оху уравнение движения примет вид

. (4)

При прямолинейном движении точки, вдоль оси Ох уравнение движения примет вид

. (5)

Равенство (5) выражает прямолинейный закон движения точки.

Выражения (3) и (4) представляют уравнения траектории точки в параметрической форме, зависящие от параметра времени t.

Траектория представляет собой непрерывную линию, которую описывает материальная точка по отношению к данной системе отсчета. Для выявления уравнения траектории точки требуется исключить параметр времени из заданных уравнений.

3. Естественный способ задания движения точки.

В некоторой системе декартовых координат Оxyz, задается движение точки М (рис.2), при этом известны:

· траектория АВ, по которой движется точка М;

· начальное положение точки на траектории – точка О₁, указание положительного и отрицательного отсчета направлений движения;

Рис.2.

закон движения точки М вдоль траектории в зависимости от времени S=О₁М=f(t):

S=f(t). (6)

Уравнение (6) выражает закон движения точки М по траектории.

Скорость точки

Скорость точки – одна из основных кинематических характеристик, является векторной величиной и характеризует быстроту изменения положения точки.

Пусть в некоторый момент времени t движущаяся точка находится в положении М и определяется радиусом-вектором , а в момент t₁ приходит в положение М₁, определяется вектором (рис.3).

За промежуток времени точка М, совершит перемещение по кривой ММ₁, определяющееся вектором .

Вектор называется вектором перемещения точки за промежуток времени .

Рис.3.

Средней скоростью перемещения точки М по модулю и направлению называется вектор, равный отношению вектора перемещения точки

к соответствующему промежутку времени

. (7)

Вектор совпадает с направлением вектора .

Скорость точки в данный момент времени называется вектор численно равный пределу отношения вектора перемещения точки к промежутку времени , при .

или . (8)

Следовательно, вектор скорости в данный момент времени есть первая производная по времени от радиуса-вектора движущейся точки .

Вектор скорости в данный момент времени направлен по касательной к траектории точки в сторону ее движения (рис.3).

Определение скорости при координатном способе задания движения точки

На основании выражений (8) и (2)

. (9)

В свою очередь вектор скорости, в заданный момент времени, также можно представить через проекции скоростей на единичные вектора координатных осей,

. (10)

Рис.4.

Сравнивая уравнения (9) и (10), получаем

, , . (11)

Таким образом, проекции скорости точки на координатные оси представляют собой первые производные от соответствующих координат движущейся точки по времени.

Зная проекции вектора скорости на оси координат, определим модуль скорости и косинусы углов с осями координат (рис.4)

, (12)

. (13)