Измерения и обработка результатов

1. Снять маятник с кронштейна, поместить его горизонтально на металлическую призму так, чтобы расстояния а₁ и а₂ от точки опоры С до призм O₁ и O₂ не были равны между собой (рис.6), где l = a₁ + a₂ – расстояние между ребрами призм O₁ и O₂.

Примечание: если расстояния а₁и а₂окажутся равными, следует передвинуть груз P₁или P₂

2. Передвигая грузы вдоль стержня маятника, добиться положения равновесия маятника, после чего грузы Р₁ и Р₂ закрепить винтами. Очевидно, что точка С при данном положении грузов является центром тяжести маятника.

3. Измерить с помощью линейки расстояния а₁и а₂, занести их в журнал наблюдений .

4. Подвесив маятник на кронштейн за призму О₁, вывести его из положения равновесия и, включив секундомер, определить время n=40–50 полных колебаний.
Примечание: угол отклонения маятника не должен превышать 8–10^о.
Измеренное время t₁занести в таблицу. Вычислить период колебаний
Т₁ = t₁ / n маятника относительно оси О₁ и записать его значение в журнал наблюдений.

5. Снять маятник и, перевернув, подвесить его на кронштейн за призму О₂. Повторить действия по п. 4. Значения t₂ и Т₂ = t₂ / n записать в журнал наблюдений. По формуле (13) рассчитать ускорение свободного падения.

6. Снять маятник, передвинуть грузы Р₁ и Р₂ и, поместив его на горизонтальную призму, найти новое положение центра тяжести С. Измерить расстояния а₁ и а₂.

7. Повторить действия по пунктам 2 – 5 в соответствии с количеством опытов. Результаты занести в журнал наблюдений.

Журнал наблюдений

№ п/п	n, кол.	l, м	а₁, м	а₂, м	t₁, с	T₁, с	t₂, с	T₂, с	g, м/с²	< g>, м/с²

Контрольные вопросы

1. Какое движение называется свободным падением?

2. Приведите определение свободных и вынужденных колебаний.

3. Что называется амплитудой, фазой, периодом и частотой колебаний? Единицы их измерения?

4. Какие колебания называются гармоническими? Что называется гармоническим осциллятором?

5. Напишите уравнение свободных незатухающих гармонических колебаний.

6. Напишите дифференциальное уравнение одномерного линейного свободного гармонического осциллятора.

7. Что называется физическим маятником? Период его колебаний?

8. Сформулируйте теорему Штейнера.

9. Почему при выполнении работы надо брать малые амплитуды колебания?

Литература

1. Кортнев А.В., Рублев Ю.В., Куценко А.Н. Практикум по физике.- М.: Высш.школа, 1965.

2. Савельев И.В. Курс общей физики: В 3-х т. М.: Наука, 1982. Т.1.

3. Трофимова Т.И. Курс физики. М.: Высш. Школа, 1985.

4. Физический практикум: Механика и молекулярная физика / Под ред. Проф. В.И. Ивероновой.- М.: Наука, 1967.

5. Яворский Б.М., Детлаф А.А. Справочник по физике. М.: Наука, 1985.

Лабораторная работа № 4(8)

Определение моментов инерции твердых тел по периоду крутильных колебаний

Выполнил студент ____________, группа _________, дата _____________.

Допуск ______________

Выполнение __________

Зачет ________________

Цель работы: Научиться определять моменты инерции тел различной формы с помощью крутильных колебаний.

Приборы и материалы

№ п\п	Наименование прибора	Цена деления	Предел измерения (х_max)	Точность отсчета (х_пр)
	Прибор ТМ-98	-	-	-
	Испытуемое тело (гиря)	-	-	-
	Диск металлический	-	-	-
	Секундомер
	Линейка

Теоретические сведения

Основные понятия и законы

Гармонические колебания

В технике и в окружающем нас мире часто приходится сталкиваться с периодическими (или почти периодическими) процессами, которые повторяются через одинаковые промежутки времени. Такие процессы называют колебательными. Колебательные явления различной физической природы подчиняются общим закономерностям. Например, колебания тока в электрической цепи и колебания математического маятника могут описываться одинаковыми уравнениями. Общность колебательных закономерностей позволяет рассматривать колебательные процессы различной природы с единой точки зрения.

Механическими колебаниями называются периодические (или почти периодические) изменения физической величины, описывающей механическое движение (скорость, перемещение, кинетическая и потенциальная энергия и т. п.).

Механические колебания, как и колебательные процессы любой другой физической природы, могут быть свободными и вынужденными. Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы, после того, как система была выведена из состояния равновесия. Колебания груза на пружине или колебания маятника являются свободными колебаниями. Колебания, происходящие под действием внешних периодически изменяющихся сил, называются вынужденными. Простейшим видом колебательного процесса являются простые гармонические колебания.

Гармоническое колебание – явление периодического изменения какой-либо величины, при котором зависимость от аргумента имеет характер функции синуса или косинуса. Например, гармонически колеблется величина, изменяющаяся во времени следующим образом:

или

где х — значение изменяющейся величины, t — время, остальные параметры — постоянные: А — амплитуда колебаний, — циклическая частота колебаний, — полная фаза колебаний, — начальная фаза колебаний.

Момент инерции

Момент инерции – скалярная величина, характеризующая распределения масс в теле и являющаяся наряду с массой мерой инертности тела при непоступательном движении.

Единица измерения СИ: кг·м². Обозначение: I или J.

Момент инерции тела относительно оси вращения зависит от массы тела и от распределения этой массы. Чем больше масса тела и чем дальше она отстоит от воображаемой оси, тем большим моментом инерции обладает тело.

Момент инерции элементарной (точечной) массы m_i, отстоящей от оси на расстоянии r_i, равен:

Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси («осевой момент инерции») называется величина J_a, равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси:

где:

· m_i — масса i-й точки,

· r_i — расстояние от i-й точки до оси.

где:

— масса малого элемента объёма тела ,
— плотность,

· — расстояние от элемента до оси a.

Если тело однородно, то есть его плотность всюду одинакова, то

Моменты инерции однородных тел простейшей формы относительно некоторых осей вращения
Тело	Описание	Положение оси a	Момент инерции J_a
	Материальная точка массы m	На расстоянии r от точки, неподвижная
	Полый тонкостенный цилиндр или кольцо радиуса r и массы m	Ось цилиндра
	Сплошной цилиндр или диск радиуса r и массы m	Ось цилиндра
	Полый толстостенный цилиндр массы m с внешним радиусом r₂ и внутренним радиусом r₁	Ось цилиндра
	Прямой тонкий стержень длины l и массы m	Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его центр масс
	Прямой тонкий стержень длины l и массы m	Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его конец
	Тонкостенная сфера радиуса r и массы m	Ось проходит через центр сферы
	Шар радиуса r и массы m	Ось проходит через центр шара

Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит не только от массы, формы и размеров тела, но также от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Штейнера (теореме Гюйгенса-Штейнера), момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела J_c относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:

Если — момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела, то момент инерции относительно параллельной оси, расположенной на расстоянии от неё, равен

где — полная масса тела (рис. 1).

Рис. 1

Например, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, равен:

Момент силы

Момент силы, величина, характеризующая вращательный эффект силы при действии её на твёрдое тело; является одним из основных понятий механики. Различают Момент силы относительно центра (точки) и относительно оси.

Если имеется материальная точка О, к которой приложена сила , то момент силы относительно этой точки равен векторному произведению радиус-вектора , соединяющего точку О и точку приложения силы, на вектор силы :

., (Н•м).

Момент силы — аксиальный вектор1. Он направлен вдоль оси вращения.
Направление вектора момента силы определяется правилом буравчика, а величина его равна M (рис.2).

Рис. 2

Модуль момента силы:

M =F·l =F·r·sin ,

где: M — момент силы (Ньютон·метр), F — приложенная сила (Ньютон),
r — расстояние от центра вращения до места приложения силы (метр),
l = r•sin — плечо силы, т.е. длина перпендикуляра, опущенного из центра вращения на линию действия силы (метр), — угол, между вектором силы F и вектором положения r.

Момент силы относительно оси – величина алгебраическая, равная проекции на эту ось вектора М момента силы относительно любой точки О оси.

Пользуясь понятием момента силы можно по-новому сформулировать условия равновесия тела, закрепленного на оси. Это условие называется правилом моментов:

если на тело, закрепленное на оси, действует много сил, то для равновесия тела, закрепленного на оси, алгебраическая сумма моментов всех сил, действующих на тело, должна быть равна нулю:

М₁ + М₂ + … + М_n = 0.

Считают момент силы положительным, если эта сила, действуя в отдельности, вращала бы тело по часовой стрелке, и отрицательным в противоположном случае (при этом нужно заранее условиться, с какой стороны мы будем смотреть на тело). Например, согласно рис.3, силам F1 и F2 следует приписать положительный момент, а силе F3— отрицательный.

Рис. 3.

Моменты сил F₁ и F₂ положительны, момент силы F3 отрицателен.