Урахуванням попиту, виробничих потужностей

Підприємства й обсягу його складських приміщень

 

Постановка задачі

Підприємство випускає деякий виріб, щомісячний попит на який у t-місяці d_t, виробничі потужності підприємства не дозволяють випускати більш a_t од. виробів на місяць, а складські приміщення розраховані на утримання до кінця t-го місяця в b_t (t = 0, 1, ...) одиниць готової продукції.

Загальні витрати C_t (x_t, i_t), пов'язані з виготовленням виробу, складаються з виробничих витрат C(x_t) і витрат h*i_t, пов'язаних із збереженням виробів, тобто C_t (x_t, i_t) = C(x_t) + h*i_t, де x_t - обсяг випуску виробу протягом місяця t, i_t - число виробів на складі на кінець місяця t, h -витрати, пов'язані зі збереженням на складі одиниці виробу.

 

Потрібно: розробити план випуску виробу на N місяців, при якому загальна сума витрат на виробництво і збереження запасів виробів буде мінімальною за умови повного і своєчасного задоволення попиту на цей виріб.

 

Рішення:

Складемо функціональні рівняння. Число етапів у задачі відповідає числу місяців, тобто дорівнює N.

Але за принципом Д.П. відлік етапів протилежний відліку місяців, тобто початку 1 етапу відповідає початок N-го місяця, початку 2-го етапу - початок N-1-го місяця і т.д., початку N-го етапу - початок 1-го місяця.

Тобто зв'язок між місяцем t і етапом k, буде t=N-k+1.

Якщо позначити j_k - рівень запасу на складі на початок k-го етапу, x_k(j_k) - обсяг випуску виробів на k-ому етапі при рівні запасу на початок етапу j_k, то рівень запасу на кінець k-го етапу стане i_k = j_k + x_k(j_k) - d_k, де d_k - попит на k-ому етапі.

Тоді значення цільової функції, дорівнює витратам на виробництво і збереження продукції за к - етапів при рівні запасів на початок k-го етапу в j_k од.

 

f_k(j_k) = min {c_k [x_k(j_k); j_k + x_k(j_k) - d_k] + f_k-1(j_k+x_k(j_k) - d_k)} (1.21)

x_k(j_k)

 

 

Перекладемо функціональне рівняння для різних етапів у реальний час. При k=N.

 

f_N(j₁) = min {c₁ [x₁(j₁); j₁ + x₁(j₁) - d₁] + f_N-1(j₁+x₁(j₁) - d₁)} (1.22)

x₁(j₁)

 

При k =1

 

f₁(j_N) = min {c_N [x_N(j_N); j_N + x_N(j_N) - d_N]} = С_N [b_N + d_N - j_N; b_N]=

x_N(j_N)

= C(b_N + d_N - j_N) + h . b_N. (1.23)

 

 

За умовою задачі до кінця N-го місяця на складі може зберігатися b_N = j_N + x_N(j_N) - d_N = x_N(j_N) = b_N + d_N - j_N.

 

Конкретизуємо задачу: Нехай N=3; попит d_t, обсяги випуску і збереження виробів a_t, b_t, константи: d_t = 3 + n₁

a_t = 5 + n₁; b_t = 4 + n₁; h = 1 + n₁; C(x_t) =

 

K = n₂; m = 2 + n₁, де n₁ - перша цифра номера, n₂ - друга цифра номера за списком. Граничні умови b₀ = b₃ = 0, тобто для
n₁ = n₂ = 0, k = 13 вирішимо задачу. У цьому випадку

 

Х
С(х)

 

Рішення почнемо з останнього місяця, тобто N=3

 

Тоді з (3) f₁(j₃) = C(3-j₃) 0<3-j₃<5 0<j₃<4 Þ 0<j₃<3

 

j3
f1(j3)

 

С(2)

f₂(j₂) = min {[c(x₂(j₂)+ j₂+ x₂(j₂)- d₁]+f₁(j₂+x₂(j₂)- 3)}

x(j₂)

0<j₂+x₂(j₂)-3<4 3<x₂+j₂<7; 3-j₂<x₂<7-j₂ Þ 0<j₂<3

j₂ = 0

3 <x₂<5

 

j₂ = 2 1 <x₂<4, тому що f₁(2+5-3) = f₁(4) не існує.

 

 

j₂ = 3 0 <x₂<3, тому що f₁(3+4-3) = f₁(4) не існує.

 

 

Одержали

 

j2
f2(j2)

 

Знайдемо f₃(j₁), де j₁-наявність запасів на складі на початок 1-го місяця. За умовою j₁ = 0. Тоді 0 <x₁-3<4 = 3<x₁<5.

 

 

Одержали, що min загальна сума витрат на виробництво і збереження виробів за три місяці дорівнює 47 г.о.

 

Знайдемо поетапний оптимальний план випуску і збереження виробу.

У 1-й місяць треба зробити 3 вироби, тобто x₁⁰ = 3, на складі до кінця 1-го місяця буде зберігатися 0 од., тобто i₁ = 0 оптимальні початкові умови для початку двохетапного процесу, j₂ = 0, тобто до початку процесу на складі 0 од. вир.

Тому оптимальний план на 2-й етап x₂⁰ = 3, тобто до початку 3-го місяця (1-го етапу) на складі немає запасів, тобто i₃⁰ = 0.

Тоді оптимальний випуск у 3-й місяць х₃⁰ = 3.

 

Висновок. Мінімальна сума витрат на виробництво і збереження продукції за три роки складає 47 г.о. при оптимальному плані випуску x₁⁰ = x₂⁰ = х₃⁰ = 3, при цьому склад порожній.

Детерміновані процеси

 

Якщо при оптимізації багатоетапного процесу результат будь-якого рішення визначався однозначно вибором цього рішення, то такий процес називається детермінованим.

 

Для детермінованого процесу N-етапного процесу стан системи Si (i = 1, ..., N) задається вектором. Перетворення вектора станів від етапу до етапу здійснюється впливом на нього вектора керування Ui, тобто Vi(Si; Ui). Послідовність перетворень, починаючи з N-го етапу і закінчуючи першим, можна записати

S_N-1 = V_N (S_N; U_N)

S_N-2 = V_N-1 (S_N-1; U_N-2) (1.24)

.....................................................

S_К = V₁ (S₁; U₁)

 

Якщо перші підставляти в наступні, то одержимо кінцевий стан S_k, виражений через початковий S_N:

S_k = V₁ (V₂(V₃(... V_N-1(V_N(S_N; U_N); U_N-1); U_N-2 ...) (1.25)

 

Послідовність векторів U_N, U_N-1, ..., U₁, що відповідають послідовним перетворенням (1.24), називається поведінкою або стратегією. Якщо перетворення обрані відповідно до якимось визначеного критерію, то такі перетворення називаються оптимальною стратегією або оптимальним поводженням.

 

Тоді задачу для N-етапного процесу можна записати
max W = q_i (Si; Ui) або, слідуючи принципу оптимальності

f_N(S_N) = max [q_N(S_N; U_N) + f_N-1(S_N-1)]

U_N

 

або f_N(S_N) = max {q_N(S_N; U_N) + f_N-1[V_N(S_N; U_N)]} (1.26)

U_N

 

f₁(S₁) = max q(S₁; U₁)

U₁

 

Зауваження. У всіх розглянутих задачах критерій W має властивість адитивності, тобто значення W, досягнуте за весь процес, є сумою його часних значень, отриманих на визначених етапах. У більшості задач Д.П. критерій адитивний. Якщо він не має цю властивість, то змінюють або самий критерій, або постановку задачі.