В)3-ші ретті анытауыш

Матрица жне матицалара амалдар олдану.

Анытама. m жаты n тік жолдан рылан кестені mxn лшемді матрица деп атайды.

Матрицаны райтын сандар матрица элементтері деп аталады. детте матрица латын алфавитіні бас ріптерімен, ал элементтері сйкес кіші ріптермен белгіленеді:

 

 

ысаша жазылуы:

 

 

Матрица элементіні бірінші индексі жаты жол нмірі, ал екінші индексі тік жол (баана) нмірін крсетеді. Мысалы, элементі екінші жаты жол мен шінші тік жол иылысында орналасан.

Бір ана жаты жолдан ралан матрицаны жол-матрица, ал бір ана тік жолдан ралан матрицаны баана-матрицадепатайды:

 

- жол-матрица;

- баана матрица.

Жол матрица мен баана матрицаны кейде вектор деп те айтады..

Жаты жолдар саны мен тік жолдар саны те болатын матрица квадрат матрица деп аталады,

 

.

 

Квадрат матрицаны элементтері диагоналды элементтердеп аталады да, матрицаны негізгі диагоналінрайды. Ал элементтері осымша диагоналды элементтердеп аталады да, матрицаны осымша диагоналінрайды.

Квадрат матрицаны негізгі диагоналіні астындаы немесе стіндегі элементтері нолге те болса, матрица шбрышты матрица деп аталады,

 

,

 

Диагоналды емес элементтеріні брі нолге те болатын квадрат матрица диагоналды матрица деп аталады,

 

.

 

Барлы диагоналды элементтері бірге те болатын диагоналды матрица бірлік матрица деп аталады жне оны Е рпімен белгілейді,

 

.

 

Барлы элементтері нолге те матрица нолдік матрица деп аталады.

МАТРИЦАЛАРА ОЛДАНЫЛАТЫН АМАЛДАР

В)Матрицаларды осу жне алу. лшемдері бірдей матрицаларды ана осуа болады. жне матрицаларыны осындысы деп элементтері осы матрицаларды сйкес элементтеріні осындысы болатын, А + В матрицаны айтамыз:

.

Мысалы, мен матрицаларын осайы:

 

.

А матрицасынан В матрицасын алу шін А матрицасына В матрицасын -1-ге кбейтіп осу жеткілікті:

A – B = A+(-1)B

немесе А матрицасыны р элементінен В матрицасыны сйкес элементтері алынады. Мысалы А матрицасынан В матрицасын алайы:

 

.

С)Матрицаны сана кбейту. Матрицаны сана кбейту шін оны барлы элементтерін сол сана кбейту керек:

 

 

Мысалы, матрицасын санына кбейтейік:

 

.

 

Осыдан матрицаны барлы элементтеріні орта кбейткішін матрица алдына шыаруа болатынын аару иын емес.

 

Д)Матрицаларды кбейту. Бірінші матрицаны тік жолдар саны мен екінші матрицаны жаты жолдар саны те болан жадайда ана екі матрицаны кбейтуге болады. лшемі mxk болатын А матрицасы мен лшемі kxn болатын В матриасы берілсін:

 

Осы екі матрицаны кбейткенде лшемі mxn болатын кбейтінді С матрица аламыз:

 

С матрицасыны элементі А матрицаны –жаты жол элементтерін В матрицаны –тік жолыны сйкес элементтеріне кбейтіп осана те болады:

 

, . (1)

 

Мысалы, матрицасы мен матрицасын кбейтейік. Бірінші матрица ш тік жолдан, ал екінші матрица ш жаты жолдан трандытан бл матрицаларды кбейтуге болады. Кбейтінді матрицаны лшемін анытайы:

 

,

яни, . k=3 боландытан (1) формуланы олдананда ш осылыш болады:

 

, .

 

элементін табу шін формуладаы i=1, j=1 деп аламыз, сонда

 

,

 

яни А матрицаны 1-жаты жол элементтерін В матрицаны 1-тік жолыны сйкес элементтеріне кбейтіп осты. Осылай С матрицаны барлы элементтері табылады:

 

C= = = = .

 

осу жне кбейту амалдарыны мынадай асиеттері бар:

1) A+B=B+A	5) (A+B)C=AC+BC
2) (A+B)+C=A+(B+C)	6) (AB)=( A)B=A( B)
3) (A+B)= A+ B	7) A(BC)=(AB)C
4) A(B+C)=AB+AC

Бл асиеттер сандара жасалатын амалдар асиеттеріне сас. Енді матрицаны зіндік ерекшелігіне байланысты асиеттерін арастырайы.

8) Біріншіден, екі матрицаны АВ кбейтіндісі боланмен ВА кбейтіндісі болмауы ммкін. Мысалы, кбейтіндісі бар, біра кбейтіндісі жо, себебі бірінші матрицаны тік жолдар саны екінші матрицаны жаты жолдар санына те емес;

екіншіден, АВ жне ВА кбейтінділері бар боланмен, оларды лшемдері ртрлі болуы ммкін. Мысалы, жне кбейтінділер бар, біра лшемдері ртрлі:

 

, ;

 

шіншіден, АВ жне ВА кбетінділер бар жне оларды лшемдері бірдей боланмен, жалпы жаыдайда, кбейтуді коммутативті заы орындалмайды, яни АВ BA.

Мысал. мен матрицалары берілген. АВ жне ВА кбейтінділерін табау керек.

Шешуі. Берілген матрицалар лшемдері 2х2 квадрат матрицалар, оларды кбейтуге болады:

 

.

 

.

Кріп отыранымыздай АВ BA.

 

9) А-квадрат матрица болса, онда мына тедік орындалады:

 

АЕ = ЕА = А.

 

Мысалы, матрицаны анытауышын есептейік:

 

.

2. 2 ретті анытауыштар, асиеттері. -ші ретті анытауыш немесе детерминант деп

трінде жазылан жне тмендегідей формуламен есептелінетін санды айтамыз:

(2)

мндаы осынды алмастыруындаы ретсіздіктер саны

 

демек 2 ретті анытауыш:

a_11, a₁₂,a₂₁,a_22- анытауышты элементтері. а11 жне а22 бас диагональді райды , а12 жне а21 – осымша диагональды элементтері.Немесе 2ретті анытауышарды Екі белгісізі бар сызыты екі тедеу жйесін растыру арылы да орытып шыаруа болады.Мысалы Ол шін

Белгісіздерді анытау шін бірінші тедеуді а 22 кбейтіп, ал екінші тедеуді- a12 кбейтіп екі тедеуді осып белгісіз х-ті табамыз. (a₁₁a₂₂-a₁₂a₂₁)x=b₁a₂₂-b₂a₁₂oсындай операцияны жасап белгісіз у-ті анытаймыз: (a₁₁a₂₂-a₁₂a₂₁)y=b₂₂a₂₂-b₁a_{21 .}Соы екі тедеулерден х жне у айнымалыларды анытаймыз:

(1.2) формулалардапайдаболан a₁₁a₂₂-a₁₂a_21, b₂₂a₂₂-b₁a_21, a₁₁b₂-b₁a₂₁

рнектерді 2-шіреттіанытауыштардепатайды. Яни: Кріп отыранымыздай дл екінші анытамадаыдай рнек шыып отыр.

Айнымалыларды алдында тран коэффициентерінен рылан анытауышын жйені бас анытауышы деп атайды. Ал _х анытауышы бас анытауышты бірінші баандаы элементтерін жйені бос мшелерімен алмастырылып ралады, ал - _y екінші баанны элементтерін бос мшелерден ралан баанмен алмастырады.

(1.4) формуларынКрамерформуласыдепатайды.Мысалы:

Анытауышты негізгі асиеттері:

1. Анытауышты жолдарын оны сйкес баандарымен орын алмастыраннан ол анытауышты сан мні згермейді.

2. Егер анытауышты екі жолын (баанын) бірімен-біріні орындарын алмастырса онда анытауыш табасы арама-арсы табаа ауысады.

3. Егер анытауышты кез-келген екі жолы зара те болса, онда ол нлге те болады.

4. Егер анытауышты андай да болса бір жолыны барлы элементтері нлге те болса, онда анытауыш нлге те болады.

5. Анытауышты жолыны немесе бааныны элементтеріні орта кбейткішін анытауыш алдына шыаруа болады.

6. Егер анытауышты екі жолыны элементтері зара пропорционал болса онда анытауыш нлге те.

7. Анытауышты андай да болса бір жолыны элементтерін оларды сйкес алгебралы толытауыштарына кбейтіп осаннан шыан осынды анытауыш шамасына те болады.

8. Егер анытауышты бір жолыны элементтері екі осылыш арылы берілген болса, онда анытауыш екі анытауышты осындысына те болады. Бірінші анытауышты сйкес жолында бірінші осылыш, екінші анытауышта екінші осылыш.

9. Егер анытауышты андай болса да бір жолыны элементтерін бір ана санына кбейтіп баса бір жолыны сйкес элементтеріне осса, онда бдан анытауыш шамасы згермейді.

Ші ретті анытауыш

в)3-ші ретті анытауыш

шінші ретті матрицаа шінші ретті анытауыш сйкес келеді:

 

.

 

Бл анытауышты есептелуін шбрыш ережесі немесе Саррус ережесімен оай есте сатауа болады. Бл ереже бойынша алашы о табалы ш осылыш 1-схема, ал кейінгі теріс табалы ш осылыш 2-схемамен есептелінеді.

 

1-схема 2-схема

3.3-ші ретті анытауыш

Мысалы, мынадай шінші ретті анытауышты есептейік:

 

 

Реті штен кп болатын анытауыштарды есептеу шін жаа ымдар ажет болады.

 

А)Анытама.n-ретті квадрат матрицаны –жаты жолы мен –тік жолын сызып тастааннан кейін пайда болан (n–1)-ретті анытауышты элементіні миноры деп атайды жне деп белгілейді.

шінші ретті марицаны элементіні миноры мынадай екінші ретті анытауыш болады:

 

.

элементіні алгебралы толытауышы деп мынадай санды айтады:

шінші ретті марицаны элементіні алгебралы толытауышы мынадай сан:

 

Мысалы, матрицасыны бірінші жаты жолдаы элементтеріні миноры мен алгебралы толытауыштарын есептейік:

 

, , ,

, ,

,, .

Лаплас теоремасы. квадрат матрицаны анытауышы оны кез келген жол элементтерін сйкес алгебралы толытауыштара кбейтіп осана те:

 

 

- бл анытауышты i–жаты жолы бойынша жіктелініп есептелуі.

 

 

- бл анытауышты j–тік жолы бойынша жіктелініп есептелуі.

Алдыы мысалдаы матрицасыны анытауышын бірінші жаты жолы бойынша жіктеп есептейік:

 

,

 

мндаы алгебралы толытауыштарды дайын мндерін алдыы мысалдан алды.

С)Лаплас теоремасы n-ретті анытауыш есептеуді (n-1)-ретті анытауыш есептеуге келтіріледі. Сонымен, кез келген n-ретті (n>3) анытауышты дрежесін тмендету арылы екінші ретті анытауышты есептеуге келтіруге болады екен.

Д)Енді анытауыш асиеттерін арастырайы.

1-асиет.Анытауышты жаты жолдарын скес тік жолдарымен алмастыраннан, яни транспонерлегеннен, анытауыш мні згермейді:

 

.

 

Тедікті дрыстыын анытауыштарды есептеу арылы тексеруге болады.

2-асиет.Анытауышты андай да бір жолыны орта кбейткішін анытауыш алдына шыаруа болады. шінші ретті анытауышты екінші жолындаы орта кбейткішті анытауыш алдына шыарамыз:

 

.

 

Тедікті дрыстыына берілген матрицаны екінші жол бойынша жіктеп тексеруге болады.

3-асиет.Анытауышты екі жолыны орнын ауыстыраннан анытауыш табасы арама-арсы табаа згереді. шінші ретті анытауышты бірінші жне екінші жолдарын алмастырайы:

 

 

Тедікті дрыстыын екінші анытауышты бірінші жол бойынша жіктеп тексеруге болады.

4-асиет. Егер анытауышты екі жолы бірдей болса, онда анытауыш мні нолге те. шінші ретті анытауышты бірінші жне екінші жолдары бірдей болсын:

 

=0.

 

Тедікті дрыстыын осы екі жолды орндарын алмастырып 3-асиетті олданып тексеруге болады.

5-асиет.Анытауышты бір жолын андай да бір сана кбейтіп баса жола осаннан анытауыш мні згермейді. шінші ретті анытауышты бірінші жолын -а кбейтіп екінші жола осайы:

 

.

 

Тедікті дрыстыын екінші анытауышты мынадай

 

+

 

анытауыштарды осындысы трінде жазайы. Сонда бірінші осылыш берілген анытауыш болады да, екінші анытауыш нолге те.

6-асиет.шбрышты матрицаны анытауышы диагональ бойындаы элементтерді кбейтіндісіне те:

 

.

Тедікті дрыстыын анытауышты бірінші тік немесе шінші жаты жол бойынша жіктеп тексеруге болады.

Осы асиеттер кмегімен жоары ретті анытауыштар есептеуді кп жеілдетуге болады. Анытауышты андай да бір жолында нерлым кп ноль болатындай етіп трлендіріп, сол жол бойынша жіктеп анытауыш реті тмендетіледі. Мысалы мынадай тртінші ретті анытауышты есептейік.

Анытауышты шбрышты трге келтіреміз. Алдымен 5-асиет бойынша анытауышты бірінші жолын 1-ге кбейтіп шінші жола, (-1)-ге кбейтіп тртінші жола осайы (есепте крсетілген). Сонда анытауышты бірінші тік жолында элементтен басасы нолге айналады.

Енді осы асиетті пайдаланып элементіні астында тран сандарды нолге айналдырамыз. Соында элементіні астында тран сандарды нолге айналдырамыз. Анытауыш шбрышты трге келді. 6-асиет бойынша анытауыш мнін диагональдік элементтерді кбейтіп табамыз.

= =

 

= = .