Туындыны механикалы маынасы. Айталынкте тзу бойымен озалып, уаыт ішінде s(t) жол жрген болсын.

 

 

 

t уаыт ішінде жрілген жол.

Онда -ден - а дейінгі уаыт аралыында жріп ткен жол

жне аралытаы нктені орта жылдамдыы болады. Нктені уаыт моментіндегі жылдамдыы - ді шегі болады. .

Демек, нктеніуаыт моментіндегі жылдамдыы жолды уаыттаы туындысы екен. Туындыны геометриялы маынасы. функция графигіні жне нктелері арылы тзу жргіземіз. Бл тзу функция графигіні июшысы деп аталады (93 - сурет). Оны брышты коэффициенті, яни сіні о баытымен жасайтын брышыны тангенсі

, (1)

мнда о да, теріс те мн абылдауы ммкін.

 

y=f(x)

 

А

 

 

 

Туындыны геометриялы маынасы.

Анытама. функция графигіне нктесінде жргізілген жанама деп нктеден тетін июшыны мтыландаы шектік жадайын беретін тзуді айтады.

Басаша айтанда, нктеге жргізілген жанама - бл брышты коэффициенті болатын нктеден тетін тзу.

Егер бар болса, онда (1) тедіктен

.

Бл жадайда функция графигіні нктесінде жанамасы бар болады.

 

Сондытан, функция графигіне нктеде жргізілген жанаманы брышты коэффициенті болады.

Осы жанаманы тедеуі мынадай:

Егер жо болса, онда функция графигіне нктеде жанама жргізу ммкін емес (мысал, функциясыны графигіне нктесінде жанама жргізу ммкін емес).¦функциясыны графигін, яни жазытыта жатан (x,f(x)) тріндегі нктелер жиынын арастырайы (оны y=f(x) исыы не жай исы деп те атайды).

Белгілі бір (x₀,f(x₀)) нктесінде исыа «тыыз орналасан» тзуді сызу. рине, ондай тзу бар болса, онда ол тек ана сол исыа тн асиеттер арылы табылады. Сондытан, исыта жатан баса (x₁,f(x₁)) нктесін алып, сол екі нктеден тзу ткізейік. Оны тедеуі

болады. рбір (x₀,f(x₀)) нктесінен тетін жне y-тер осьіне паралель емес тзуді тедеуі y=k(x-x₀)+f(x₀) трінде жазылады, демек k наты санына туелді болады.

рине, белгілі бір маынада екі тзуді жаындыын оларды анытайтын k сандарыны жаындыы арылы тсінуге болады. Ал, бізід жадайда сондай k сандары x₁-ге мынадай туелділікте болады.

Сондытан, x₁-ді x₀-ге аырсыз жаын алан сайын, k(x₁) белгілі бір k санына аырсыз жаындаса, онда тедеуі болатын тзуді бізге керекті «исыа тыыз орналасан» тзу ретінде алуа болады.

Мндаы k-ны тапан жолымыз шектер тілінде былай бейнеленеді.

яни .

Айтанымызды геометриялы бейнесі 36-суретте берілген. Сонымен келесі анытамаа келдік. Егер нктесінде наты мнді шегі бар болса, онда тзуі исыыны нктесіндегі жанамасы деп аталады.

Жылдамды туралы есеп. Материялы нкте тзу бойымен белгілі бір баытта озалып келе жатсын. Оны тзу бойындаы белгілі бір нктеден мезгіліндегі ара ашытыы болсын.

уелі болсын, яни нкте біралыпты озалсын. Онда кез келген мен мезгілдері арасында нкте жолын жреді, ал атынасы сол озалысты жолы деп аталады да, траты болып, а санына те болады.

Егер нктені озалысы біралыпты болмаса, онда атынасы траты болмай мен мезгілдеріне туелді болады. Ол мен мезгілдері арасындаы материялы нктені орташа жылдамдыы деп аталады.

Расында, орташа жылдамдыы нктені мен мезгілдері арасында андай жылдамдыпен озаланы туралы ешандай сер бермейді, йткені ол бір мезгіл жылдам, бір мезгіл жай озалуы ммкін. Орташа жылдамды маынасы мынада: егер нкте сол арада біралыпты озалса, онда мезгілінде жолын жру шін оны жылдамдыы орташа жылдамдыа те болуы тиіс.

Егер -ді -ге аырсыз жаындатанда, оан сйкес орташа жылдамдыы белгілі бір наты сана аырсыз жаындаса, онда сол санды мезгіліндегі нктені жылдамдыы трінде алан жн.

Сонымен, айтанымызды шек арылы бейнелесек, мына анытамаа келеміз: егер

наты мнді шегі бар болса, онда оны тртібі арылы бейнеленген озалысты нктесіндегі жылдамдыы деп атайды.

Айталы, нктесінде жне оны тірегінде функциясы аныталан болсын.

Анытама.Аргумент - ті нктедегі сімшесі деп айырымын айтады.

Анытама. функциясыны нктедегі сімшесі деп мына

айырманы айтады

Бл сімше екі жне аргументтерге туелді. Геометриялы трыда жне функция графигі бойымен нктеден нктеге дейін жылжыанда, нктені абсцисасы мен ординатасыны згеруін крсетеді.

 

Мысалы, егер болса, онда , яни абырасы 1- ге те шаршыны абырасын 0,1- ге арттырса, онда оны ауданы 0,21- ге артады.

Анытама.Егер функциясы нктені тірігінде аныталан жне болса, онда ол зіліссіз деп аталады.

Шындыында да, .

 

 

 

 

А

 

Анытама.Егер бар болса, онда бл сан функциясыны нктедегі туындысы деп аталады.

Бл туынды мына символдарды бірімен белгіленеді:

.

.

Анытама.Егер функциясы нктеде шекті туындыа ие болса, онда ол осы нктеде дифференциалданады деп аталады.

Енді функцияны дифференциалымен оны зіліссіздігіні арасындаы байланысты анытайы, ол шін бл анытамада - ті ажыратамыз.

,

 

Сондытан

.

Теорема. Егер функциясыны нктеде дифференциалы бар болса, онда ол бл нктеде зіліссіз болады.

Кері тжырым дрыс емес, мысалы, функциясы аныталу облысыны барлы нктелерінде зіліссіз, біра ол нктесінде дифференциалданбайды, себебі . , ал бл шек жо.