Функцияны экстремумдары.
А)Функцияны су жне кемуініажетті жне жеткілікті шартары. Анытама.х0 нктесіні 
- маайы табылып, (х0- 
х0+ ), осы маайдаы барлы х 
х0 шін f(x)>f(х0) тесіздігі орындалса, х0 нктесі f(x) функциясыны минимум нктесі деп, ал f(x)<f(х0) тесіздік орындалса, х0 нктесі f(x) функциясыны максимум нктесі деп аталады. Теорема (функция суі мен кемуіні жеткілікті шарты). Егер (а,в) интервалында дифференциалданатын y=f(x) функциясыны туындысы о болса, онда осы интервалда функция спелі болады, ал туындысы теріс болса, функция кемімелі болады. 1-суреттегі y=f(x) функциясы 
жне 
аралыында седі, 
аралыында кемиді.
у
 
     x
1-cурет
|
Б)функция экстремумыны ажетті жне жеткілікті шартары. Анытама.Туындысы нолге айналатын не туындысы болмайтын нктелер функцияны кдікті нктелері(кейде І-текті кдікті нктелер) деп аталады. Функцияны минимум жне максимум нктелерінэкстремум нктелерідеп атайды. Осы нктелердегі функция мндерін функция экстремумдарыдейді.
Экстремумны бірінші жеткілікті шарты. y=f(x) функциясы х0 нктесінде зіліссіз жне андай да бір - маайында функция туындысы бар болсын (х0 нктесінде туынды болмауы ммкін). Онда,
1) егер х аргумент х0 нкте арылы ткенде 
табасын онан теріске згертсе, онда х0 нкте максимум нктесі болады;
2) егер х аргумент х0 нкте арылы ткенде табасын терістен оа згертсе, онда х0 нкте минимум нктесі болады;
3) егер х аргумент х0нктеарылыткенде табасынзгертпесе, онда х0 нкте экстремум нктесіемес.
Экстремумны екінші жеткілікті шарты. y=f(x) функциясы х0 нктесінде зіліссіз жне андай да бір - маайында екі рет дифференциалдансын. Соныменатар 
болса, онда
1) егер 
болса, онда х0нкте f(x) функциясыны максимум нктесіболады;
2) егер 
болса, онда х0нкте f(x) функциясыны минимум нктесіболады.
19.Функцияны туынды кмегімен зерттеу.
А)Функция графигіні дестігі жне ойытыы.
Анытама.y=f(x) функция графигі (а,в) интервалыны кез келген нктесінде жргізілген жанамадан тмен жатса, онда функция дес (дестігі жоары араан) деп, ал жанамадан жоары жатса, онда функция ойыс (дестігі тмен араан) деп аталады.
3-суретте y=f(x) функциясыны графигі 
аралыында дес болады да, ал 
аралыында ойыс болады.Функция дестігіні жеткілікті шарты. (а,в) интервалында y=f(x) функциясыны екінші ретті туындысы теріс табалы болса, функция графигі осы аралыта дес, ал екінші туындысы о табалы болса, функция графигі осы аралыта ойыс болады.
Б)Иілу нктесі.Анытама.Функция графигіні дес жне ойыс бліктерін бліп тратын нктені функцияны иілу нктесі деп атайды. Суретте исы бойында жатан (x0, f(x0)) нкте графикті дес жне ойыс бліктерін бліп тр, яни ол функцияны иілу нктесі болады. Иілу нктесі бар болуыны жеткілікті шарты. (а,в) интервалында екі рет дифференциалданатын y=f(x) функциясыны екінші туындысы х аргумент х0 нкте арылы ткенде табасын згертсе, онда (x0, f(x0)) нктесі функцияны иілу нктесі болады.
Мысал. 
(Гаусс исыы) функциясыны иілу нктелері мен дестік аралытарын тап.Шешуі. 1) Функция бкіл сан осінде аныталан, яни D(y)= 
.
2) Бірінші жне екінші туындыларын табамыз: 
;
.
3)ІІ-текті кдікті нктелерін 
шартынан табамыз: 
. 
боландытан, 
. Осыдан 
жне 
кдікті нктелер табылады. Осы нктелер аныталу облысын ш интервала бледі:
, 
, 
.
Осы интервалдардаы екінші туынды табасын анытаймыз (4-сурет):
у    
Ойыс дес ойыс
|
+ - +
х
0 
Сонымен,функция графигі 
жне 
аралытарда ойыс, ал 
аралыта дес болады екен. Екінші ретті 
туынды 
нктелерден ткенде табасын згертетіндіктен, бл нктелер функцияны иілу нктелері болады
С)АСИМПТОТАЛАРЫ.Анытама.Егер y=f(x) функциясы шін 
жне 
шектеріні е болмаанда біреуі шексіздікке те болса, онда 
функция графигіні тік асимптотасы деп аталады (6а-сурет).
у=kx+b тзуі y=f(x) функция графигіні клбеу асимптотасы деп аталады, егер функцияа тиісті андай да бір М нкте координат басынан алыстаан сайын тзуге шексіз жаындаса (6б-сурет).
у у
6а-сурет 6б-сурет |
Клбеу асимптотаны дербес жадайы (k=0) горизонталь асимптота болады: y=b
Клбеу асимптотаны мынадай теорема кмегімен табуа болады.
Теорема. у=kx+b тзуі y=f(x) функция графигіні клбеу асимптотасы болуы шін мынадай шектерді бар болуы ажетті жне жеткілікті: 
, 
.