II. Элементы линейной алгебры

УДК 51(075.8)(076)

З-15

Составитель Н. А. Смирнова, старший преподаватель кафедры «Высшая математика» Рецензент Н. В. Ракита, доцент кафедры «Высшая математика» Рекомендовано к изданию на заседании кафедры ВМ 11.11.2008 г. Задания по математике в тестовой форме для организации самостоятельной работы: учеб.-метод. пособие. Часть I. Ижевск : Изд-во ИжГТУ, 2008. 28 с. Методическое пособие разработано для использования при самоподготовке студентов к экзамену по дисциплине «высшая математика». Приведены задания в различных формах: открытой, закрытой и на установление соответствия. В конце издания указаны ответы. Пособие предназначено для студентов первого курса очной и заочной форм обучения инженерно-технических направлений ИжГТУ. УДК 51(075.8)(076)

I. Элементы векторной алгебры

1. Найти скалярное произведение векторов a и b, а ={1; 1;5}, b ={3;5;8}.

2. Найти векторное произведение векторов а и b, а ={1; 1;5}, b ={3;5; 8}.

3. Выбрать пару коллинеарных векторов:

а) а ={1: }, b ={ };

б) а ={2; }, b ={2; };

в) а ={4;6; }, b ={ };

г) а ={0;1;1}, b ={1;0;0}.

4. Выбрать пару перпендикулярных векторов:

а) а = {1; }, b = {3;5; };

б) а = {1; }, b ={4;9;1};

в) а ={0;1;0}, b ={1;0; };

г) а ={2;7}, b ={ }.

5. Выбрать тройки компланарных векторов:

а) а = {1; }, b = {3;5; }, с = {1; };

б) а ={1; }, b ={ }, с ={1 };

в) а ={1;2;3}, b ={4;5;6}, с ={7;8;11};

г) а ={1;0;0}, b ={0;1;0}, с ={0;0;1}.

6. Пусть m = 2а + 3b. Тогда, если а = {1; }; b = {2; }, то

а) = ;

б) =2;

в) = ;

г) 1,5.

7. Найти модуль вектора , если А(12; ), В(16;0; .

8. Найти направляющие косинусы для вектора а ={1;2 } .

9. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах а и b:

а ={1; }, b ={2;0; }.

10. Вычислить площадь треугольника АВС, где А(1;2;0), В(3;2;1), С( 2;1;2).

11. Вычислить объем пирамиды АВСД, где А(5;1; 4), В(1;2; 1), С(3;3; 4), Д(2;2;2).

12. Указать левую тройку векторов:

а) а ={ }, b ={ }, с ={1; };

б) а ={ }, b ={ }, с ={ };

в) а ={0;3;0}, b ={4;0;0}, с ={0;0;5}.

13. Выбрать утверждение, не соответствующее определению векторного произведения:

а) векторным произведением векторов а и b является вектор с, перпендикулярный векторам а и b;

б) = ;

в) векторным произведением векторов а и b является вектор с, коллинеарный векторам а и b;

г) векторы а, b, с образуют правую тройку.

14. Орт вектора по определению:

а) проекция вектора на ось ОХ;

б) направление вектора;

в) единичный вектор, имеющий одинаковое направление с данным;

г) любой вектор единичной длины.

15. Заданы векторы: а ={1;1;3}, b ={2;2;1}, с ={2;2; 14}.

Разложить вектор с по базису а, b.

16. Выбрать правильный ответ.

Вектор а ={2;5}повернули на 90° против часовой стрелки, его новые координаты:

а) { };

б) { };

в) {5; };

г) { }.

II. Элементы линейной алгебры

1. Выбрать правильный ответ. Обратная матрица существует:

а) для любой матрицы;

б) для любой квадратной матрицы;

в) для квадратной матрицы, определитель которой не равен нулю;

г) для квадратной матрицы, определитель которой неотрицателен.

2. Какое из нижеперечисленных свойств не является свойством определителя:

а) если две строки (два столбца) поменять местами, то знак определителя изменится на противоположный;

б) чтобы умножить определитель на число, нужно умножить на это число каждый элемент определителя;

в) определитель равен сумме произведений элементов строки (столбца) и их алгебраических дополнений;

г) если к какой-либо строке (столбцу) определителя прибавить линейную комбинацию других строк, то определитель не изменится?

3. Выбрать все правильные ответы.

Элементарным преобразованием матрицы является:

а) перемена местами двух строк или столбцов;

б) умножение элементов строки (столбца) на число;

в) транспонирование;

г) прибавление к элементам строки (столбца) линейной комбинации параллельных строк (столбцов).

4. Какой из определителей равен 7?

а) ; б) ; в) ; г) .

5. Выбрать правильное.

(A_ij – алгебраическое дополнение элемента a_ij определителя ).

а) = а₂₁А₁₁+ а₂₂А₁₂+ а₂₃А₁₃;

б) = а₁₁А₂₁+ а₁₂А₂₂+ а₁₃А₂₃;

в) = а₁₁А₁₁+ а₂₁А₁₂+ а₃₁А₁₃;

г) = а₂₁А₂₁+ а₂₂А₂₂+ а₂₃А₂₃.

6. Вычислить определитель: .

7. Установить правильное соответствие:

а) матрицу преобразовали так, что столбцы стали строками;		1) симметричная матрица;
б) в матрице все элементы равны нулю;		2) невырожденная матрица;
в) определитель матрицы не равен нулю;		3) нулевая матрица;
г) матрица составлена из алгебраических дополнений её элементов и транспонирована;		4) кососимметричная матрица;
д) в матрице элементы, стоящие на главной диагонали, равны единице, остальные - нули;		5) присоединенная матрица;
е) матрица равна транспонированной;		6) транспонированная матрица;
ж) все элементы матрицы равны единице;		7) обратная матрица;
з) матрица равна транспонированной со знаком «минус»;		8) единичная матрица.
и) при умножении на эту матрицу получается единичная.

8. Установить правильное соответствие:

а) система линейных уравнений имеет единственное решение, если	1) ранг расширенной матрицы равен рангу основной матрицы системы и меньше числа неизвестных;
б) система линейных уравнений не имеет решений, если	2) ранг расширенной матрицы больше ранга основной матрицы системы;
в) система линейных уравнений имеет множество решений, если	3) ранг расширенной матрицы равен рангу основной матрицы системы и равен числу неизвестных.

9. Исследовать систему на совместность