Уравнения, допускающие понижение порядка

3.1 Уравнения, не содержащие явно искомой функции

Пусть уравнение имеет вид:

, (6)

где для общности полагаем, что отсутствует k – 1 младшая производная.

Вводя замену понижаем порядок уравнения (6)

Если мы сумеем найти общий интеграл этого уравнения:

т.е. ,

то задача сводится к типу 2.2, т.е. заведомо интегрируется в квадратурах.

П р и м е р 5. Найти частное решение уравнения

удовлетворяющее условиям

у = 0, = 0 при х = 0.

Полагая имеем и приводим уравнение к виду

Получили линейное уравнение первого порядка относительно функции , которое элементарно решается: или, приводя к общему знаменателю, получим . Учитывая начальные условия: отсюда находим С₁ = 0, следовательно, или, т.к. , то , откуда, интегрируя еще раз, получим

Полагая у (0) = 0, находим С₂ = 0. Следовательно, искомое частное решение есть.

3.2 Уравнения, не содержащие явно независимого переменного

Здесь мы проведем такую замену переменных: за независимое переменное принимаем у, а в качестве новой искомой функции вводим . Вычисляем производные различных порядков:

; ; ; и т.д.

После подстановки всех производных в исходное уравнение, получим новое уравнение порядка п – 1 :

П р и м е р 6. Найти частное решение уравнения

при условии при х = 0.

Полагаем тогда и наше уравнение преобразуется в следующее:

Мы получили уравнение типа Бернулли относительно р (у считаем аргументом). Решая его, найдем: Из условия при имеем С₁= -1. Следовательно,

или .

Интегрируя, имеем

Полагая у = 1 и х = 0, получим С₂ = 0, откуда .

3.3 Понижение порядка в однородных уравнениях различных типов

§ Пусть левая часть уравнения

(7)

является однородной функцией аргументов , т.е. выполняется равенство

В этом случае порядок уравнения (7) понижается на единицу с помощью подстановки

Вносим эти выражения в уравнение (7) и замечаем, что, в силу однородности множитель в уравнении может быть отброшен, и мы получаем уравнение порядка п – 1 :

Когда выражение функции z (x) найдено, то решение исходного уравнения .

П р и м е р 7. Проинтегрировать уравнение

Уравнение – однородное второй степени относительно . Подстановка дает уравнение или уравнение линейное. Решаем его: . Отсюда

или .

§ Другим типом однородных дифференциальных уравнений, допускающих

понижение порядка, являются уравнения, однородные относительно х, у, dx, dy, d²y,…,dⁿy. Для установления этой однородности перепишем уравнение (7) в виде:

Уравнение принадлежит к рассматриваемому нами типу, если последняя функция однородна степени т по всем своим аргументам, т.е. если имеет место тождество:

В этом случае порядок уравнения (7) понижается на единицу с помощью подстановки

Последовательным дифференцированием находим:

;

, и т.д.

После подстановки этих выражений в (7), мы получим уравнение п – го порядка, в которое явно не входит независимое переменное , а, следовательно, принадлежит к типу 3.2, допускающему понижение порядка на единицу.

П р и м е р 8. Уравнение

– однородное третьей степени относительно х, у, dx, dy, d ²y ; делаем подстановку ; тогда

, .

Подставляем в уравнение и сокращаем на , получим

или, раскрывая скобки и производя приведение подобных членов,

Новое уравнение не содержит явно , поэтому полагая , , имеем

Оставляя пока в стороне уравнение р = 0, имеем

т.е. откуда

или, возвращаясь к начальным переменным,

или

Решение р = 0 дает и = С или у = С х; это решение получается из общего, если в нем положить С₂ = 0.

§ Более общим классом однородных уравнений являются уравнения, в

которых функция однородна, если считать х и dx величинами первого измерения, а у, dу, d²y, … - величинами измерения т; тогда будет иметь измерение т – 1 , измерение т – 2 и т.д.

Если удается подобрать такое т , что функция становится однородной некоторого измерения, то с помощью подстановки

будем иметь:

Каждая производная содержит множитель в такой степени, каково изменение этой производной в функции F ; поэтому в некоторой степени выйдет за знак функции Ф. Мы получим дифференциальное уравнение между и и , не содержащее явно , т.е. допускающее понижение порядка на единицу.

П р и м е р 9. .

Если х и dx рассматривать как величины первого измерения и как второго измерения, то данное уравнение является однородным четвертого измерения. Делаем замену переменных: . Далее:

При подстановке в уравнение множитель сокращается, и получаем:

или

Так как уравнение не содержит независимого переменного, то согласно разд. 3.2, полагаем , откуда . Получаем:

Оставляя пока в стороне уравнение р = 0, рассмотрим уравнение:

;

имеем:

Для определенности положим С₁ = 1 – а² , где а – новая произвольная постоянная. Тогда

;

Теперь, возвращаясь к исходным переменным и потенцируя, находим:

откуда

Возвращаясь к уравнению р = 0, находим семейство решений, получаемое из предыдущего при С₂ = 0.

3.4 Уравнения, левая часть которых является точной производной

Если левая часть уравнения (7) является полной производной от некоторой

функции Ф, т.е. имеет место соотношение

то очевидно, что каждое решение уравнения (7) является решением следующего дифференциального уравнения

Таким образом, это соотношение является первым интегралом исходного уравнения (7), следовательно нам удалось понизить его порядок на единицу.

П р и м е р 10.

Левая часть есть, очевидно, полная производная по х от дифференциального выражения ; следовательно, имеем первый интеграл . Так как получилось линейное уравнение первого порядка, то оно легко интегрируется в квадратурах:

В некоторых случаях левая часть уравнения (7) не является полной производной, но можно так преобразовать данное уравнение, чтобы новая левая часть оказалась полной производной. Рассмотрим примеры.

П р и м е р 11.

Разделив обе части на , получим:

Обе части этого уравнения являются полными производными от выражения

откуда . Обе части опять являются точными производными от выражения:

откуда ,

где и новые произвольные постоянные.

П р и м е р 12. Уравнение проще всего интегрируется следующим образом: делим обе части на ; получаем в обеих частях точные производные. далее