Уравнения, не разрешенные относительно производной

5.1 Метод «интегрирования посредством дифференцирования»

В общем случае уравнение, не разрешенное относительно производной

(1)

представим в эквивалентном виде

(2)

Ищем решение в параметрической форме Учитывая первое соотношение (2), найдем дифференциал функции F:

. (3)

Используя связь dy = t dx, исключим последовательно dy и dx в выражении (3). В результате приходим к системе двух дифференциальных уравнений

(4)

Если удается решить эту систему, то решение исходного уравнения (1) получается

в параметрической форме x = x(t), y = y(t).

Замечание 1 . При использовании данного метода возможна потеря отдельных решений (этот вопрос надо исследовать дополнительно).

Замечание 2. Этот метод особенно удобен, если уравнение (1) легко разрешается относительно у (или х). Тогда, дифференцируя полученное выражение по х (или по у) и, считая t функцией от х (или от у), получим уравнение, разрешенное относительно производной.

П р и м е р 10. Проинтегрировать уравнение

Полагая , находим Дифференцируем по х, считая t функцией от х и заменяя через t, имеем

или

Отсюда следуют два уравнения:

Из первого уравнения t = x + C. Подставляя это в подчеркнутое выражение для у, находим общее решение

Подставляя туда же, получим особое решение

Если из исходного уравнения выразить х, то полученное выражение следует

дифференцировать по у, считая t функцией от у и заменяя на .

5.2 Уравнения вида

Это уравнение является частным случаем уравнения (1) при

Процедура, описанная в разд. 5.1, приводит к уравнениям

(5)

Здесь вместо второго уравнения системы (4) использовано исходное уравнение (так можно делать поскольку первое уравнение системы не зависит от у).

Интегрируя первое уравнение (5), получим решение в параметрическом виде

5.3 Уравнения вида

Это уравнение является частным случаем уравнения (1) при

Процедура, описанная в разд. 5.1, приводит к уравнениям

(6)

Здесь вместо первого уравнения системы (4) использовано исходное уравнение (так можно делать поскольку второе уравнение системы не зависит от х).

Интегрируя второе уравнение (6), получим решение в параметрическом виде

5.4 Уравнение Клеро

Уравнение Клеро является частным случаем уравнения (1) при

и может быть записано в виде

(7)

Заменяя в равенстве величины и их значениями из (7), приходим к уравнению

Которое распадается на два уравнения: dt = 0 и Решение первого очевидно: t = C.Оно дает общее решение уравнения Клеро

(8)

Представляющее собой семейство прямых. Второе уравнение дает решение в параметрической форме

Которое является особым и представляет собой огибающую семейства прямых (8).

5.5 Уравнение Лагранжа

Уравнение Лагранжа является частным случаем уравнения (1) при

. В частном случае оно совпадает с уравнением Клеро (см. разд. 5.4). Процедура, описанная в разд. 5.1, приводит к уравнениям

(9)

Первое уравнение системы (9) является линейным. Его общее решение имеет вид

(функция и определяются по формулам из разд. 2.5). Подставляя это выражение во второе равенство (9), находим общее решение уравнения Лагранжа в параметрической форме

Замечание 3. Данный метод может привести к потере решений вида где t_k – корни уравнения f(t) – t = 0. Эти решения могут быть как частными, так и особыми.