Границы неисключенной систематической погрешности

Если неисключенные систематические погрешности результатов измерений аргументов заданы границами q_i, то доверительные границы неисключенной систематической погрешности результата косвенного измерения вычисляются по формуле:

, (2.11)

где k – коэффициент, равный 1,1 при доверительной вероятности P = 0,95 и 1,4 при P = 0,99. Если же число суммируемых погрешностей m £ 4, то коэффициент k определяется по графику (рис. 1.1).

Если неисключенные систематические погрешности результатов измерений аргументов заданы доверительными границами q_i, соответствующими вероятностям P_i, то доверительные границы неисключенной систематической погрешности результата косвенного измерения вычисляются по формуле:

, (2.12)

где k_i – коэффициент, равный 1,1 при доверительной вероятности P = 0,95 и 1,4 при P = 0,99. Если же число суммируемых погрешностей m £ 4, то коэффициент k_i определяется по графику (рис. 1.1).

Граница погрешности результата измерения

Если выполняется условие

, (2.13)

то неисключенными систематическими погрешностями по сравнению со случайными пренебрегают и принимают, что граница погрешности результата

. (2.14)

Если

, (2.15)

то случайной погрешностью по сравнению с систематическими пренебрегают и принимают, что граница погрешности результата

. (2.16)

Если оба условия (2.13) и (2.15) не выполняются, то доверительную границу погрешности результата косвенного измерения вычисляют по формуле:

, (2.17)

где K – коэффициент, зависящий от доверительной вероятности и от отношения (табл. 2.1).

Таблица 2.1

Значения коэффициента K в зависимости от отношения и вероятности P

P
0,5	0,75
0,95	0,81	0,77	0,74	0,71	0,73	0,76	0,78	0,79	0,80	0,81
0,99	0,87	0,85	0,82	0,80	0,81	0,82	0,83	0,83	0,84	0,85

Запись результата

Окончательный результат измерений записывается в виде:

, P. (2.18)

Метод приведения

Метод предполагает наличие ряда отдельных значений измеряемых аргументов, полученных в результате многократных измерений. Этот метод можно также применять при неизвестных распределениях погрешностей измерений аргументов.

Метод основан на приведении ряда отдельных значений косвенно измеряемой величины к ряду прямых измерений. Получаемые сочетания отдельных результатов измерений аргументов подставляются в формулу (2.1) и вычисляются отдельные значения измеряемой величины z_i.

Случайная составляющая погрешности полученного ряда измерений обрабатывается согласно методике обработке прямых измерений, неисключенные остатки систематической погрешности – по методу линеаризации обработки косвенных измерений.

Ход работы

Выполним для примера обработку результата измерения потока теплоты излучением с поверхности тела площадью 2 м² со степенью черноты 0,5. Результаты измерения температуры поверхности тела заданы в табл. 1.2.

Поток лучистой энергии определяется по закону Стефана-Больцмана, Вт:

, (2.19)

где – постоянная излучения абсолютно черного тела, Вт/(м²·K⁴);

e – степень черноты;

F – площадь поверхности, м²;

T – температура, K.

Так как исходная температура выражена в °C, то после перевода единиц измерения температуры формула (2.19) примет вид:

, (2.20)

где t – температура, °C.

Для выбора метода обработки косвенного измерения воспользуемся (2.4).

Так как условие (2.4) выполняется:

то для обработки косвенного измерения необходимо воспользоваться методом линеаризации.

1. Результат измерения находится по (2.7):

2. Среднеквадратическое отклонение среднего арифметического определяется по (2.8):

;

3. Границы случайной погрешности находятся по (1.19):

;

при p = 0,95;

при p = 0,99.

4. Так как неисключенные систематические погрешности измерения температуры не зависят от вероятности, то границы неисключенной систематической погрешности косвенного измерения определяются по (2.11):

5. Чтобы найти границу погрешности результата измерения, необходимо проверить условия (2.13) и (2.15), где . Таким образом, оба условия не соблюдаются, и для расчета границы погрешности результата измерения следует воспользоваться формулой (2.17) для двух доверительных вероятностей p:

при p = 0,95;

при p = 0,99.

6. Запись результата:

Вт при p = 0,95;

Вт при p = 0,99.

Содержание отчета

Необходимо выполнить обработку косвенного измерения (по заданию преподавателя). Работу необходимо выполнить в двух вариантах: расчет с помощью таблиц, а также с применением возможностей Microsoft Office Excel и MathCAD. Некоторые функции Excel и MathCAD, позволяющие упростить и автоматизировать процесс обработки косвенных измерений, представлены в табл. 2.2.

Таблица 2.2

Статистические функции Excel и MathCAD

Функция	Excel	MathCAD
Коэффициент корреляции (2.5)	КВПИРСОН	corr

Контрольные вопросы

1) Что такое корреляция, что означает положительная (отрицательная) корреляция?

2) Как вид математической операции f в (2.1) влияет на величину погрешности косвенного измерения?

3) Может ли абсолютная или относительная погрешность косвенного измерения оказаться меньше, чем соответствующая погрешность составляющих прямых измерений?

Библиографический список

1. ГОСТ 8.207-76. ГСИ. Прямые измерения с многократными наблюдениями. Методы обработки результатов наблюдений.

2. МИ 2083-90. Измерения косвенные. Определение результатов измерений и оценивание их погрешностей.

3. Бурдун Г. Д. Основы метрологии / Г. Д. Бурдун, Б. Н. Марков. М.: Изд-во стандартов, 1985, 256 с.

4. Рабинович С. Г. Погрешности измерений / С. Г. Рабинович. Л.: Энергия, 1978, 262 с.

5. Сергеев А. Г. Метрология, стандартизация и сертификация / А. Г. Сергеев, В. В. Терегеря. М.: Юрайт, 2011, 820 с.

6. Сидорова Е. А. Основы работы в автоматизированной системе MATHCAD: Метод. указ. / Е. А. Сидорова, С. А. Ступаков. Омск: ОмГУПС, 2006, 34 с.

Приложение

Таблица П.1

Интегральная функция c² – распределения Пирсона.
Значения для различных k и P

k	P
0,02	0,05	0,10	0,20	0,80	0,90	0,95	0,98
	0,000628	0,00393	0,0158	0,0642	1,642	2,706	3,841	5,412
	0,0404	0,103	0,211	0,446	3,219	4,605	5,991	7,824
	0,185	0,352	0,584	1,005	4,642	6,251	7,815	9,837
	0,429	0,711	1,064	1,649	5,989	7,779	9,488	11,668
	0,752	1,145	1,610	2,343	7,289	9,236	11,070	13,388
	1,134	1,635	2,204	3,070	8,558	10,645	12,592	15,033
	1,564	2,167	2,833	3,822	9,803	12,017	14,067	16,622
	2,032	2,733	3,490	4,594	11,030	13,362	15,507	18,168
	2,532	3,325	4,168	5,380	12,242	14,684	16,919	19,679
	3,059	3,940	4,865	6,179	13,442	15,987	18,307	21,161
	3,609	4,575	5,578	6,989	14,631	17,275	19,675	22,618
	4,178	5,226	6,304	7,807	15,812	18,549	21,026	24,054
	4,765	5,892	7,042	8,634	16,985	19,812	22,632	25,472
	5,368	6,571	7,790	9,467	18,151	21,064	23,685	26,873
	5,685	7,261	8,517	10,307	19,311	22,307	24,996	28,259
	6,614	7,962	9,312	11,152	20,465	23,542	26,296	29,633
	7,255	8,672	10,085	12,002	21,615	24,769	27,587	30,995
	7,906	9,390	10,865	12,857	22,760	25,989	28,869	32,346
	8,567	10,117	11,651	13,716	23,900	27,204	30,144	33,687
	9,237	10,851	12,444	14,578	25,038	28,412	31,410	35,020

Таблица П.2

Квантили распределения статистики d

n
0,01	0,05	0,95	0,99
	0,9137	0,8884	0,7236	0,6829
	0,9001	0,8768	0,7304	0,6950
	0,8901	0,8686	0,7360	0,7040
	0,8826	0,8625	0,7404	0,7110
	0,8769	0,8578	0,7440	0,7167
	0,8722	0,8540	0,7470	0,7216
	0,8682	0,8508	0,7496	0,7256
	0,8648	0,8481	0,7518	0,7291

Таблица П.3

Значения m и a, соответствующие различным n и q

n	m	q₂
0,01	0,02	0,05
		0,98	0,98	0,96
11 – 14		0,99	0,98	0,97
15 – 20		0,99	0,99	0,98
21 – 22		0,98	0,97	0,96
		0,98	0,98	0,96
24 – 27		0,98	0,98	0,97
28 – 32		0,99	0,98	0,97
33 – 35		0,99	0,98	0,98
36 – 49		0,99	0,99	0,98

Таблица П.4

Распределение Стьюдента

k	P	k	P
0,95	0,99	0,95	0,99
	4,303	9,925		2,110	2,898
	3,182	5,841		2,101	2,878
	2,776	4,604		2,093	2,861
	2,571	4,032		2,086	2,845
	2,447	3,707		2,080	2,831
	2,365	3,499		2,074	2,819
	2,306	3,355		2,069	2,807
	2,262	3,250		2,064	2,797
	2,228	3,169		2,060	2,787
	2,201	3,106		2,056	2,779
	2,179	3,055		2,052	2,771
	2,160	3,012		2,048	2,763
	2,145	2,977		2,045	2,756
	2,131	2,947		2,042	2,750
	2,120	2,921	¥	1,95996	2,57582

Таблица П.6

Интегральная функция нормированного нормального распределения.
Значения z для различных F(z)

F(z)	z	F(z)	z	F(z)	z	F(z)	z
0,0005	–3,2905	0,25	–0,6745	0,50	+0,0000	0,80	+0,8416
0,005	–2,5750	0,30	–0,5244	0,55	+0,1257	0,85	+1,0364
0,01	–2,3267	0,35	–0,3853	0,60	+0,2533	0,90	+1,2816
0,05	–1,6449	0,40	–0,2533	0,65	+0,3853	0,95	+1,6449
0,10	–1,2816	0,45	–0,1257	0,70	+0,5244	0,99	+2,3267
0,15	–1,0364	0,50	–0,0000	0,75	+0,6745	0,995	+2,5750
0,20	–0,8416					0,9995	+3,2905

Таблица П.7

Значения n при различных числах измерения n

n	q	n	q
0,05	0,01	0,05	0,01
	1,414	1,414		2,929	3,258
	1,710	1,728		2,944	3,275
	1,917	1,972		2,958	3,291
	2,067	2,161		2,972	3,307
	2,182	2,310		2,985	3,322
	2,273	2,431		2,998	3,337
	2,349	2,532		3,010	3,351
	2,414	2,616		3,022	3,364
	2,470	2,689		3,033	3,377
	2,519	2,753		3,044	3,389
	2,563	2,809		3,055	3,401
	2,602	2,859		3,065	3,413
	2,638	2,905		3,075	3,424
	2,670	2,946		3,084	3,435
	2,701	2,983		3,094	3,445
	2,728	3,017		3,103	3,455
	2,754	3,049		3,112	3,465
	2,779	3,079		3,120	3,474
	2,801	3,106		3,129	3,483
	2,823	3,132		3,137	3,492
	2,843	3,156		3,145	3,501
	2,862	3,179		3,152	3,510
	2,880	3,200		3,160	3,518
	2,897	3,220		3,167	3,526
	2,913	3,239		3,175	3,534