Системы уравнений с вырожденной матрицей коэффициентов.

Матрицы.

 

Матрицей называется прямоугольная таблица, составленная из чисел. Обозначения матрицы:

а₁₁ а₁₂…а_1n

а₂₁ а₂₂…а_2n или, сокращенно, А = ( а_ij ) _m,n

А = …………..

а_m1 а_m2…а_mn

 

где а_ij – элемент матрицы, расположенный в i-й строке, j-м столбце;

m – количество строк матрицы;

n – количество столбцов матрицы.

 

Числа m, n определяют размеры матрицы (m – размер матрицы по вертикали, n – размер по горизонтали).

Если m=n, то матрицу называют квадратной матрицей n-го порядка.

Квадратную матрицу, у которой все элементы, стоящие по главной диагонали, равны единице, а остальные элементы равны нулю, называют единичной матрицей и обозначает Е или Е_n , где n – порядок матрицы. Например,

1 0 0

Е₃ = 0 1 0 - единичная матрица 3-го порядка.

0 0 1

 

Суммой матриц А и В называется матрица С=А+В, элементы которой находят путем алгебраического сложения соответствующих элементов матриц А и В. Складывать можно только матрицы с одинаковыми размерами. Например, если

а₁₁ а₁₂ в₁₁ в₁₂ а₁₁+в₁₁ а₁₂+в₁₂

А = а₂₁ а₂₂ , В = в₂₁ в₂₂ , то С = А+В = а₂₁+в₂₁ а₂₂+в₂₂ .

а₃₁ а₃₂ в₃₁ в₃₂ а₃₁+в₃₁ а₃₂+в₃₂

Произведением матрицы А на число а называется матрица В с теми же размерами, что и матрица А. Элементы матрицы В получают умножением числа а на соответствующие элементы матрицы А. Например, если

а₁₁ а₁₂ аа₁₁ аа₁₂

А = а₂₁ а₂₂ , то В = аА = аа₂₁ аа₂₂ .

а₃₁ а₃₂ аа₃₁ аа₃₂

 

Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица С. Покажем вначале, как умножается матрица-строка на матрицу-столбец.

в₁₁

Пусть С = А×В = а₁₁ а₁₂ а₁₃ × в₂₁ .

в₃₁

 

В этом случае матрица С = с₁₁ состоит из одного элемента, который равен сумме произведений элементов строки 1-й матрицы на соответствующие элементы столбца 2-й матрицы:

с₁₁ = а₁₁в₁₁ + а₁₂в₂₁ + а₁₃в₃₁.

В дальнейшем будем называть такое действие умножением строки на столбец.

Пусть теперь

а₁₁ а₁₂ а₁₃ в₁₁ в₁₂ в₁₃

А = , В = в₂₁ в₂₂ в₂₃ .

а₂₁ а₂₂ а₂₃ в₃₁ в₃₂ в₃₃

 

 

Матрицы могут быть перемножены только в том случае, если их размеры согласованы:

А ×В = С.

m×p p×nm×n

Размеры, неподчеркнутые, должны быть одинаковыми. Размеры, подчеркнутые одной черточкой, являются одновременно размерами матрицы С. В рассматриваемом ниже примере матрицы согласованы и могут быть перемножены:

а₁₁ а₁₂ а₁₃ в₁₁ в₁₂ в₁₃ с₁₁ с₁₂ с₁₃

× в₂₁ в₂₂ в₂₃ = .

а₂₁ а₂₂ а₂₃ в₃₁ в₃₂ в₃₃ с₂₁ с₂₂ с₂₃

_{2×3 3×32×3}

 

Элемент с₁₁ матрицы С получается умножением 1-й строки матрицы А на соответствующие элементы 1-го столбца матрицы В:

с₁₁ = а₁₁в₁₁ + а₁₂в₂₁ +а₁₃в₃₁ .

Элемент с₁₂ получается умножением 1-й строки матрицы А на 2-й столбец матрицы В:

с₁₂ = а₁₁в₁₂ + а₁₂в₂₂ +а₁₃в₃₂ .

Элемент с₁₃ получается аналогично умножением 1-й строки матрицы А на 3-й столбец матрицы В. Таким образом, элементы первой строки матрицы С получаются умножением первой строки матрицы А сначала на 1-й столбец матрицы В, затем на 2-й и на 3-й столбцы этой матрицы.

Элементы второй строки матрицы С получаются умножением второй строки матрицы А последовательно на 1-й, 2-й и 3-й столбцы матрицы В, например:

а₁₁ а₁₂ а₁₃ в₁₁ в₁₂ в₁₃ с₁₁ с₁₂ с₁₃

× в₂₁ в₂₂ в₂₃ = .

а₂₁ а₂₂ а₂₃ в₃₁ в₃₂ в₃₃ с₂₁ с₂₂ с₂₃

 

 

с₂₁ = а₂₁в₁₁ + а₂₂в₂₁ +а₂₃в₃₁ .

 

Особенности операции умножения матрицы на матрицу является то, что она в общем случае не обладает перестановочным свойством:

А×В В×А

Операция транспонирования матрицы А сводится к переписыванию каждой i-й строки матрицы А в i-й столбец матрицы А^Т. Здесь А^Т – обозначение транспонированной матрицы.

 

Пример: Выполнить указанные действия: (C – 2E₃)² + RQ^T.

(матрицы C, Q, R взять из задания 1).

 

Решение: (C – 2E₃)² + RQ^T =

2

3 2 0 1 0 0 7 0 6 3 ^Т

= -4 5 1 - 2× 0 1 0 + 2 -4 × 2 0 =

-2 3 4 0 0 1 1 3 1 -4

1 2 0 1 2 0 7 0 6 2 1

= -4 3 1 × -4 3 1 + 2 -4 × 3 0 -4 =

-2 3 2 -2 3 2 1 3

-7 8 2 42 14 7 35 22 9

= -18 4 5 + 0 4 18 = -18 8 23

-18 11 7 15 2 -11 -3 13 -4 .

 

 

Определители.

 

Для квадратных матриц любого порядка вводится понятие определителя (детерминанта) матрицы.

а₁₁ а₁₂

Определителем матрицы второго порядка А =

а₂₁ а₂₂

называется число, равное а₁₁а₂₂ – а₂₁а₁₂.

 

Для обозначения определителей используют символы:

а₁₁а₁₂

det A, А, , а₂₁а₂₂ , А .

Несмотря на то, что определитель, по определению, одно число, говорят о порядке, строках, столбцах и элементах определителя, имея при этом в виду порядок, строки, столбцы и элементы матрицы, для которой вычисляется определитель. Например,

2 -1

0 3

определитель 2-го порядка, который имеет две строки и два столбца. Элементами определителя являются числа 2, -1, 0, 3. Его значение равно 2×3 – 0×(-1) = 6.

 

Минором какого-либо элемента определителя называют определитель, получаемый из данного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится указанный элемент.

Минор элемента а_ij определителя обозначается M_ij.

а₁₁ а₁₂ а₁₃

Например, для определителя третьего порядка а₂₁ а₂₂ а₂₃

а₃₁ а₃₂ а₃₃

а₁₁ а₁₂ а₁₃ а₂₂ а₂₃ а₂₁ а₂₃

М₁₁ = а₂₁ а₂₂ а₂₃ = , М₁₂ = и т.д.

а₃₁ а₃₂ а₃₃ а₃₂ а₃₃ а₃₁ а₃₃

Алгебраическое дополнение элемента а_ij определяется равенством А_ij = (-1)^i+j M_ij.

Например, для определителя третьего порядка:

а₂₂ а₂₃

А₁₁ = (-1)¹⁺¹ М₁₁ = М₁₁ = ,

а₃₂ а₃₃

а₂₁ а₂₃

А₁₂ = (-1)¹⁺² М₁₂ = - М₁₂ = – , и т.д.

а₃₁ а₃₃

Определителями третьего и более высоких порядков называются числа, которые могут быть найдены по следующему алгоритму:

Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Например:

2 4 6 3 0 1 0 1 3

1 3 0 = 2×(-1)¹⁺¹ + 4×(-1)¹⁺² + 6×(-1)¹⁺³ =

-5 2 0 2 0 -5 0 -5 2

2×0 – 4×0 + 6×17=102.

Здесь определитель найден разложением по первой строке. Однако вычисления становятся существенно проще, если этот же определитель разложить по третьему столбцу:

2 4 6 1 3

1 3 0 = 6×(-1)¹⁺³ + 0 + 0 = 102.

-5 2 0 -5 2

 

Второе и третье слагаемые равны нулю, так как равны нулю соответствующие элементы в третьем столбце. Таким образом, определитель лучше всего раскладывать по той строке или тому столбцу, где больше нулей.

Перечислим некоторые свойства определителей (они справедливы для определителей любого порядка). Эти свойства могут быть использованы при выполнении индивидуального задания.

Свойства определителей:

1. det A = det A^T.

 

2. Если в определителе, не равном нулю, поменять местами две строки (два столбца), то значение определителя изменит знак, например:

а₁₁ а₁₂ а₂₁ а₂₂

а₂₁ а₂₂ = - а₁₁ а₁₂ .

 

3. Умножение всех элементов какой-либо одной строки (столбца) определителя на число k равносильно умножению определителя на число k, например:

а₁₁ а₁₂ а₁₁ а₁₂

kа₂₁ kа₂₂ = k а₂₁ а₂₂ .

 

4. Если:

а) все элементы какой-либо строки (столбца) равны нулю или

б) элементы каких-либо двух строк (столбцов) пропорциональны, то определитель равен нулю.

 

5. Определитель не изменит своего значения, если к элементам какой-либо строки определителя прибавить элементы другой строки, умноженные на одно и то же число, например:

а₁₁ а₁₂ а₁₃ а₁₁ а₁₂ а₁₃

а₂₁ а₂₂ а₂₃ = а₂₁ а₂₂ а₂₃ .

а₃₁ а₃₂ а₃₃ а₃₁+kа₁₁ а₃₂+ka₁₂ а₃₃+ka₁₃

 

Аналогичное правило справедливо для столбцов определителя.

 

Покажем на примерах, как применяются некоторые перечисленные свойства.

а₁ в₁ с₁ а₁ а₂ а₃

Пример 1: Найти а₂ в₂ с₂ , если в₁ в₂ в₃ = 6.

а₃ в₃ с₃ с₁ с₂ с₃

Решение: Очевидно, что первый определитель может быть получен из второго заменой строк на столбцы. Если обозначить

а₁ а₂ а₃ а₁ в₁ с₁

А = в₁ в₂ в₃ , то а₂ в₂ с₂ = det A^T = det A = 6.

с₁ с₂ с₃ а₃ в₃ с₃

Пример 2: Вычислить 64 5

32 15

 

Решение: Вынесем из 1-го столбца множитель «32», из 2-го столбца – множитель «5»:

64 5 2 1

= 32×5 = 160×5 = 800

32 15 1 3

 

Раздел 2.Системы уравнений с квадратной матрицей коэффициентов.

В данном разделе рассматриваются системы, для которых количество неизвестных совпадает с количеством уравнений (при этом матрица коэффициентов является квадратной):

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ +…+ а_1nх_n = в₁

а₂₁х₁ + а₂₂х₂ +…+ а_2nх_n = в₂ (1)

……………………………

а_n1х₁ + а_n2х₂ +…+ а_mnх_n = в_n

 

В матричной форме система, уравнений (1) имеет вид:

 

а₁₁ + а₁₂ +…+ а_1n х₁ в₁

а₂₁ + а₂₂ +…+ а_2n × х₂ = в₂ (2)

………………… … …

а_n1 + а_n2 +…+ а_mn х_n в_n

 

Или A×X = B, (3)

 

где A – матрица коэффициентов при неизвестных;

Х – матрицанеизвестных;

В– матрицасвободных членов.

Определителем систем уравнений называется определитель матрицы коэффициентов:

а₁₁ + а₁₂ +…+ а_1n

а₂₁ + а₂₂ +…+ а_2n (4)

= …………………

а_n1 + а_n2 +…+ а_mn

 

 

Теорема о решениях систем уравнений:

- Если определитель системы не равен нулю, то система имеет единственное решение.

- Если определитель равен нулю, то система либо не имеет решений (несовместна), либо имеет бесконечное множество решений.

В типовых расчетах рассмотрены три метода решения систем линейных алгебраических уравнений:

- по формулам Крамера;

- метод Гаусса;

- матричный метод.

Если 0, то система (1) может быть решена любым из трех методов. Если = 0, то систему удобнее решать методом Гаусса, так как применение первых двух методов в этом случае невозможно без предварительного преобразования системы.

Формулы Крамера

Если 0, то система (1) имеет единственное решение, которое может быть найдено по формулам Крамера:

х₁= ¹ , х₂= ² , … ,х_n= ⁿ .

Определитель ₁ получается из определителя системы (4) заменой 1-го столбца на столбец свободных членов; аналогично находят определители ₂ , ₃ и т. д.:

в₁а₁₂ … а_1n а₁₁в₁… а_1n а₁₁а₁₂… в₁

в₂а₂₂ … а_2n а₂₁в₂… а_2n а₂₁а₂₂… в₂

₁= ………….. , ₂= ………….. , _n = …………

в_nа_n2 … а_mn а_n1в_n… а_mn а_n1а_n2… в_n

 

Прежде чем рассмотреть пример, отметим, что если неизвестных немного, то вместо обозначений х₁, х₂, х₃, … удобнее использовать обозначения х, у, z, … .

x + 2y + 3z = 14

Пример: Решить систему уравнений 2x + y =13 .

2x + 3y – 4z = 23

Решение.

1 2 3 14 2 3 1 14 3 1 2 14

= 2 1 0 =24; _Х = 13 1 0 =96; _У= 2 13 0 =120; _Z= 2 1 13 =0.

2 3 -4 23 3 -4 2 23 -4 2 3 23

Так как = 24 0, то существует единственное решение системы:

х = ^х = 96/24 =4; у = ^y = 120/24 = 5; z = ^z = 0/24 = 0.

Таким образом, х = 4; у = 5; z = 0.

 

Метод Гаусса.

Эффективным методом решения и исследования систем линейных уравнений является метод исключения неизвестных, называемый также методом Гаусса. Он состоит в том, что данная система преобразуется в равносильную ей систему специального вида, которая легко исследуется и решается. Напомним, что две системы уравнений называются равносильными, если решения одной системы совпадают с решениями другой либо обе системы несовместны.

Здесь рассмотрена одна из разновидностей метода Гаусса – метод Жордано-Гаусса, или метод полного исключения, отличающийся, тем, что матрица коэффициентов преобразуется не к треугольному виду, а к единичной матрице, что позволяет сразу записать решение системы, если, конечно, оно существует.

Метод Гаусса основан на следующих эквивалентных преобразованиях системы уравнений:

1 – перестановка уравнений в системе;

2 – умножение любого уравнения на любое число, не равное нулю;

3 – прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на любое число;

4 – отбрасывание уравнений в которых все коэффициенты и свобод­ный член равны нулю (уравнения вида 0 = 0).

Цель преобразований (метод Жордано-Гаусса) – свести исходную систему уравнений к равносильной системе с единичной матрицей коэффициентов.

3х – у + 4z = 5

Пример: Решить систему уравнений 2х + у – z = 5 .

х + 2у + 2z = 4

Решение. Составим расширенную матрицу системы:

3 -1 4 5

2 1 -1 5

1 2 2 4

Расширенная матрица включает в себя элементы матрицы коэффициентов, записанные слева от вертикальной черты, и столбецсвободных членов, записанный справа от черты. Эта матрица является, по существу, сокращенной записью системы уравнений. Применяяэквивалентные преобразования к строкам расширенной матрицы, сводим матрицу коэффициентов к единичной матрице:

3 -1 4 5 1 2 2 4 1 2 2 4

2 1 -1 5 (1) 2 1 -1 5 (2) 0 -3 -5 -3 (3)

1 2 2 4 3 -1 4 5 0 -7 -2 -7

1 2 2 4 1 2 2 4 1 2 2 4

0 3 5 3 (4) 0 3 5 3 (5) 0 1 -8 1 (6)

0 7 2 7 0 1 -8 1 0 3 5 3

 

1 0 18 2 1 0 18 2 1 0 0 2

0 1 -8 1 (7) 0 1 -8 1 (8) 0 1 0 1

0 0 29 0 0 0 1 0 0 0 1 0

 

(1) – поменяем местами 1-ю и 3-ю строки (т.е. поменяем местами 1-е и 3-е уравнения в системе);

(2) – получим два нуля в 1-м столбце. Для этого ко 2-й строке прибавим 1-ю, умноженную на «-2», а к 3-й строке прибавим 1-ю, умноженную на «-3» (т.е. ко 2-му уравнению системы прибавим 1-е, умноженное на «-2», а к 3-му уравнению прибавим 1-е, умноженное на «-3»);

(3) – умножим 2-ю и 3-ю строки на «-1»;

(4) – получим единицу во 2-м столбце. Для этого к 3-й строке при­бавим 2-ю, умноженную на «-2»;

(5) – поставим единицу во 2-м столбце на «свое» место. Для этого поменяем местами 2-ю и 3-ю строки;

(6) – получим два нуля во 2-м столбце. Для этого к 1-й строке прибавим 2-ю, умноженную на «-2», а к 3-й строке прибавим 2-ю, умноженную на «-3»;

(7) – получим единицу в 3-м столбце, 3-й строке. Для этого разделим 3-ю строку на «29»;

(8) – с помощью полученной единицы получим два нуля в 3-м столбце. Для этого к 1-й строке прибавим 3-ю, умноженную, на «-18», а ко 2-й строке прибавим 3-ю, умноженную на «8».

 

Таким образом, получили расширенную матрицу с единичной матрицей коэффициентов. Перепишем теперь найденную эквивалентную систему уравнений в обычном виде:

1

х + 0у + 0z = 2

0х + 1у + 0z = 1 .

0х + 0y + 1z = 0

Отсюда следует х = 2; у = 1; z = 0.

Матричный метод

Введем понятие обратной матрицы:

Матрица, обозначаемая А^-1, для которой выполняются равенства А×А^-1 = А^-1×А = Е, где Е – единичная матрица, называется обратной по отношению к квадратной матрице А.

Если Det А 0,то существует единственная обратная матрица А^-1 ,

если Det A = 0, то обратная матрица А^-1 не существует.

Обратную матрицу находят по формуле А^-1 = (1/det А)×(А )^Т, где

A^v- матрица, составленная из алгебраических дополнений:

А₁₁ А₁₂…А_1n

А = А₂₁ А₂₂…А_2n

..……………. .

А_n1 А_n2…А_nm

Система уравнений (1) может быть записана в матричной форме:

А × X = В (5)

где А,В – известные матрицы, причем матрица А - квадратная;

X – матрица неизвестных.

Если det А 0, то существует обратная матрица А^-1. Умножим обе части матричного уравнения (5) на А^-1 слева:

А^-1×А×Х = А^-1× В.

Так как А^-1 × А = Е, Е × Х = X , то получим следующую формулу

для нахождения матрицы X:

X = А^-1× В. (6)

Матричный метод решения может быть применен, если det А 0, так как, в противном случае обратная матрица не существует.

 

2х + 3у – z = 8

Пример: Решить систему уравнений 2y – z = 3

x – 2y + 3z = -3

 

2 3 -1 х 8

Решение: В матричном виде система запишется как 0 2 -1 × у = 3

1 -2 3 z -3

или А×Х = В. Решение имеет вид Х = А^-1×В, где

2 3 -1 А₁₁ А₁₂ А₁₃

А^-1=(1/det А)×( А )^Т, det А = 0 2 -1 = 7, А = А₂₁ А₂₂ А₂₃ .

1 -2 3 А₃₁ А₃₂ А₃₃

 

Определитель det А 0, следовательно, существует обратная матрица и единственное решение системы. Найдем алгебраические дополнения:

 

А₁₁ = 4; А₁₂ = -1; А₁₃ = -2; А₂₁ = -7; А₂₂ = 7; А₂₃ = 7; А₃₁ = -1; А₃₂ = 2; А₃₃ = 4;

4 -1 -2 4 -7 -1 4 -7 -1

А = -7 7 7 ; ( А )^Т= -1 7 2 ; А^-1=1/7 -1 7 2 ;

-1 2 4 -2 7 4 -2 7 4

4 -7 -1 8 32 – 21 + 3 2

Х = 1/7 -1 7 2 × 3 = 1/7 -8 + 21 – 6 = 1 .

-2 7 4 -3 -16 +21 – 12 -1

Отсюда следует: х = 2, у = 1, z = -1.

Матричные уравнения.

Пусть задано матричное уравнение АХ = В, причем матрица А – квадратная и существует обратная матрица А^-1 . Решение ищут, умножая исходное уравнение на А^-1 слева. Решение имеет вид:

X = А^-1 В.

Аналогично решается уравнение Y×С = В в том случае, когда матрица С квадратная и существует обратная матрица С^-1 . Обе части уравнения умножаются на С^-1 справа. Получаем формулу для нахождения неизвестной матрицы Y:

Y = B×C^-1.

Для решения уравнения А×Х×С = В нужно обе его части умножить на А^-1 слева и на С^-1 справа. Получим:

X = А^-1 В С^-1.

1 -3 -1 -2 -9 2

Пример: Решить уравнение 2 2 0 × Х = 4 8 -2

2 4 2 12 16 -2

Решение. Запишем уравнение в виде А×Х=В. Неизвестную матрицу Х найдем по формуле Х=А^-1×В.

1 -3 -1 А₁₁ А₁₂ А₁₃

А^-1 = (1/det А)×( А )^Т, где det A = 2 2 0 = 12, А= А₂₁ А₂₂ А₂₃ ;

2 4 2 А₃₁ А₃₂ А₃₃

4 -4 4 4 2 2 4 2 2 2 1 1

А = 2 4 -10 ; ( А )^Т = -4 4 -2 ; А^-1 = 1/12 -4 4 -2 = 1/6 -2 2 -1 ;

2 -2 8 4 -10 8 4 -10 8 2 -5 4

2 1 1 -2 -9 2 12 6 0 2 1 0

Х = 1/6 -2 2 -1 × 4 8 -2 = 1/6 0 18 -6 = 0 3 -1 .

2 -5 4 12 16 -2 24 6 6 4 1 1

Системы уравнений с вырожденной матрицей коэффициентов.

Матрица А называется вырожденной, если ее определитель detA=0.

В соответствии с теоремой о решениях, систем уравнений, если
главный определитель системы det A = 0, то система либо не имеет решений (несовместна), либо имеет бесконечное множество
решений.

В этом случае (когда det А = 0) формулы Крамера х_j = _j не

могут быть использованы (на ноль делить нельзя). Неприменим и матричный метод, поскольку обратная матрица А^-1 не существует. Систему можно решить методом Гаусса.

х + у + 3z = 5

Пример: Решить систему уравнений 2х – 2у + z = -3 .

х + 5у + 8z = 10

1 1 3

Решение. = 2 -2 1 = 0.

1 5 8

Поскольку = 0, матрица коэффициентов системы вырождена. Для решения используем метод Гаусса:

1 1 3 5 1 1 3 5 1 1 3 5

2 -2 1 -3 (1) 0 -4 -5 -13 (2) 0 -4 -5 -13 ;

1 5 8 10 0 4 5 5 0 0 0 -4

 

(1) – нужно получить два нуля в 1-м столбце. Для этого ко 2-й строке прибавим 1-ю, умноженную на «-2», а к 3-й строке прибавим 1-ю, умноженную на «-1»;

(2) – нужно получить два нуля во 2-м столбце. Для этого к 3-й строке прибавим 2-ю. При этом замечаем, что 3-е уравнение в системе противоречиво: 0х + 0у + 0z = -4.

Третье уравнение в системе не выполняется ни при каких x, y, z. Следовательно, система уравнений не имеет решений (несовместна).

 

х + у – 3z = 4

Пример: Решить систему уравнений 3х – у – z = 16 .

х – 2у + 3z = 7

 

1 1 -3

Решение. = 3 -1 -1 = 0.

1 -2 3

Так как = 0, матрица коэффициентов системы вырожденная. Для решения используем метод Гаусса:

1 1 -3 4 1 1 -3 4 1 1 -3 4 1 0 -1 5

3 -1 -1 16 (1) 0 -4 8 4 (2) 0 1 -2 -1 (3) 0 1 -2 -1 ;

1 -2 3 7 0 -3 6 3 0 1 -2 -1 0 0 0 0

(1) – нужно получить два нуля в 1-м столбце. Для этого ко 2-й строке прибавим 1-ю, умноженную на «-3», а к 3-й строке прибавим 1-ю, умноженную на «-1»;

(2) – разделим 2-ю строку на «-4», а 3-ю на «-3»;

(3) – нужно получить два нуля во 2-ом столбце. Для этого к 1-й и 3-й строкам прибавим 2-ю, умноженную на «-1».

Перепишем полученную систему уравнений в обычном виде:

х + 0у – z = 5

0х + у – 2z = -1

0х + 0у + 0z = 0 .

Поскольку третье равенство выполняется при любых х, у, z, его можно не рассматривать. Таким образом, имеем систему из двух уравнений с тремя неизвестными. Перепишем ее в виде:

х = z +5

y = 2z – 1.

Примем z = t, где t принадлежит R (множество действительных чисел). Получим бесконечное множество решений:

х = t +5

y = 2t – 1

z = t.

Проверим правильность найденного решения подстановкой:

(t +5) + (2t – 1) – 3t = 4

3(t +5) – (2t – 1) – t = 16

(t +5) – 2(2t – 1) + 3t = 7.

Подставляем численные значения t, получим частные решения:

х = 5 х = 6

например, при t = 0 y = – 1, при t = 1 y = 1 и т. д.

z = 0 z = 1