Теорема Кронекера-Капелли.

 

а11 а12 … а1n а11 а12 … а1n в1

Пусть А = а21 а22 … а2n , Ã = а21 а22 … а2n в2

…………… ……………….. ,

аm1 аm2 … аmn аm1 аm2 … аmn вm

 

 

гдеА – матрица коэффициентов системы;

à – расширенная матрица, включающая столбец свободных членов;

m, n – соответственно количество уравнений и неизвестных в системе.

 

Если:

1) rang A = rang à = n , то система уравнений совместна и имеет единственное решение;

2) rang A = rang à n, то система уравнений совместна иимеет бесконечное множество решений.

3) rang A rang Ã, то система уравнений несовместна.

 

Расчетные задания.

 

Задание I. Действия с матрицами.

Справочный материал и пример выполнения задания приведены в разделе I («Матрицы»).

Заданы матрицы:

1 2 -3 2 -2 7 3 2 0

А = 5 3 4 В = 1 0 4 С = -4 5 1

-2 0 -3 5 -3 2 -2 3 4

 

4 3 0 5 3 1 6 3

D = 1 2 -3 P = 2 -1 0 Q = 2 0

1 -4

7 0 1 2 3 -1 3 5

R = 2 -4 M = 0 3 N = 2 4 K = -1 0

1 3

En = единичная матрица n-го порядка.

Выполнить указанные действия:

1. 2QD – A2 2. 3RD – AB

3. DTD + 2B2 4. 3DQ + MN(K + 2E2)

5. 2PQ + 3C 6. 2BC – (A + E3)

7. (DRM)T – 2 8. (B – 2E3)C + BTB

9. AC + 2DTP – 4E3 10. 3QRT – ATB + 2E3

11. 5PQ – M2(K + 2E2) 12. CB – BC + 3E3

13. AB + 2 (D + P)TD 14. 3RD – A(B + E3)

15. (M – 2N)2 + 3PQM 16. QMP – (B – 2E3)2

17. 3RTR + (K – M + 2E2)2 18. PQNT – 2(N – 3E3)2

19. 2DQMT + (K – E2)2 20. 3QQT – 2BC.

Задание 2. Вычисление определителей.

Справочный материал и примеры выполнения задания приведены в разделе I («Определители»).

В пункте «а» задания вычислить определитель, используя свойства 3,5 (см. раздел I «Определители»).

В пунктах «б», «в» вычислить определители, получив нули в какой-либо строке (или столбце) и разложив определитель по элементам этой строки (столбца).

В пункте «г», используя свойства 1 – 5, найти определитель, если

а1 а2 а3

в1 в2 в3 = 5

с1 с2 с3

 

1. а) 14 7 б) 1 5 2 в) 1 1 1 1 г) 3а1 3а2 3а3

200 201 2 6 1 2 0 1 -1 с1 с2 с3

-1 2 4 3 2 3 0 2в1 2в2 2в3

5 3 5 1

 

2. а) 16 8 б) 1 4 2 в) 1 2 -1 1 г) в1 в2 в3

101 102 3 6 2 3 0 1 4 2с1 2с2 2с3

-2 2 4 2 2 2 4 4а1 4а2 4а3

4 4 1 6

 

3. а) 15 203 б) 1 4 2 в) 1 1 0 1 г) 3в1 в2 6в3

30 205 -1 2 2 -1 4 7 -4 3а1 а2 6а3

3 6 2 2 -2 2 0 3с1 с2 6с3

4 -2 1 2

       
   


4. а) 3 6 б) 1 4 2 в) 1 -3 1 -1 г) 7а1 а3 2а2

251 252 -2 1 2 -2 0 4 6 7в1 в3 2в2

3 2 -1 2 2 3 1 7с1 с3 2с2

4 -1 4 -1

 

5. а) 8 321 б) 2 6 3 в) 2 3 3 0 г) -а2 3а3 а1

4 322 1 6 4 1 2 2 -1 -в2 3в3 в1

1 3 2 3 -2 0 3 -с2 3с3 с1

7 1 3 5

       
   


6. а) 6 521 б) 2 4 1 в) 2 2 -5 -2 г) 8в1 8в2 8в3

12 522 3 6 2 3 0 2 5 -а1 -а2 -а3

-1 3 4 1 2 4 5 3с1 3с2 3с3

5 4 -1 5

                           
   
             
 
 
 


7. а) 16 51 б) 2 4 1 в) 2 -2 5 2 г) 2в1 2в2 2в3

32 52 -1 2 2 -1 0 2 3 с1+3а1 с2+3а2 с3+3а3

5 7 1 1 2 0 -1 а1 а2 а3

7 -2 10 1

                               
   
             
 
 


8. а) 22 33 б) 2 4 1 в) 2 -3 5 2 г) -а3 2а2 -6а1

11 44 -2 1 2 -2 0 3 5 -в3 2в2 -6в1

4 3 -1 1 2 1 0 -с3 2с2 -6с1

3 2 1 -2

       
   


9. а) 33 351 б) 3 6 2 в) 3 7 14 -3 г) 3а1 3а2 3а3

36 352 1 6 4 1 1 2 0 с1-в1 с2-в2 с3-в3

2 4 2 2 -4 -6 4 4в1 4в2 4в3

8 3 8 4

           
     
 


10. а) 4 123 б) 3 5 1 в) 3 1 -8 -4 г) 4в1 4в2 4в3

8 124 2 6 3 2 0 1 3 -с1 -с2 -с3

1 4 3 1 2 4 5 3а1 3а2 3а3

7 3 -4 4

                           
             
 
 


11. а) 10 5 б) 3 5 1 в) 3 6 -8 -4 г) а1 2с1 в1

420 421 -1 3 3 -1 2 -2 -3 а2 2с2 в2

7 9 1 1 1 1 2 а3 2с3 в3

7 7 -7 1

                   
         
 


12. а) 32 45 б) 3 5 1 в) 3 -3 8 4 г) а1+в1 а2+в2 а3+в3

16 25 -2 2 3 -2 0 3 5 с1 с2 с3

5 4 -1 1 2 0 -1 3а1 3а2 3а3

7 -1 8 0

                           
   
           
 
 


13. а) 14 35 б) -1 1 3 в) -1 5 5 -1 г) 3в1 3в2 3в3

28 105 1 3 -1 1 -1 -1 2 а1-в1 а2-в2 а3-в3

-2 -2 4 2 0 -2 4 5а1 5а2 5а3

0 5 3 1

 

14. а) 55 45 б) -1 1 2 в) -1 1 4 4 г) 2а1 а1+а2 3а2

24 26 2 2 1 2 0 1 3 2в1 в1+в2 3в2

-2 -1 1 1 2 0 1 2с1 с1+с2 3с2

-1 3 4 4

                               
   
         
         
 
 
 


15. а) 25 35 б) -1 2 1 в) -1 2 4 4 г) в1 2с1 3а1

45 55 3 2 -1 3 0 2 5 в2 2с2 3а2

-4 4 4 1 2 1 2 в3 2с3 3а3

-1 4 5 5

           
     
 


16. а) 11 8 б) -1 2 -2 в) -1 -3 -1 -4 г) 2с1 2с2 2с3

22 32 -2 -3 -7 -2 0 3 5 -а1 -а2 -а3

1 -1 2 1 2 2 3 3в1 3в2 3в3

-3 -1 4 5

                               
   
             
 
 


17. а) 21 8 б) 1 2 -1 в) 1 1 -4 -2 г) а3+4а1 5а2 а1

63 16 2 4 -1 2 0 3 5 с3+4с1 5с2 с1

-1 1 3 -1 2 4 3 в3+4в1 5в2 в1

1 3 0 2

 

18. а) 3 181 б) 1 -3 -1 в) 1 2 -4 -2 г) 3а2-а1 а3 а2

6 182 3 -1 -1 3 0 4 7 2в2-в1 в3 в2

-2 18 4 -1 2 5 4 3с2-с1 с3 с2

1 4 1 3

               
   
     
 


19. а) 14 300 б) 1 5 -2 в) 1 2 0 2 г) а3 3а2-а3 а1

7 301 -1 3 -4 -1 4 4 -5 в3 3в2-в3 в1

2 2 2 3 1 3 0 с3 3с2-с3 с1

5 3 3 3

                       
   
         
 
 


20. а) 5 201 б) 1 5 3 в) 1 -3 0 -2 г) 3в1 3в2 3в3

15 202 -2 2 3 -2 0 5 7 3с1 3с2 3с3

3 2 -1 3 2 4 1 3а1 3а2 3а3

5 -1 4 -2

 

Задание 3. Решение системы уравнений тремя методами.

 

Решить систему линейных алгебраических уравнений:

а) по формулам Крамере;

б) методом Гаусса;

в) матричным методом.

Проверить найденное решение подстановкой.

 

Справочный материал и примеры выполнения задания приведены в разделе 2 («Формулы Крамера», «Метод Гаусса», «Матричный метод»).

 

1. x + y – z = 0 -x + 2y +2z = 9 y +3z = 11 2. x + 2y – z = 6 -x + 2y +2z = 1 3x – y – z = 2 3. 2x – 2y + z = -1 3x + y – 2z = 7 x + 2y – z = 7  
4. 2x – y – 2z = 1 3x + y – 2z = 9 2y + z = 6 5. -x + 3y + z = 1 3x – y – 2z = -8 x + 2y + 3z = 6 6. 2x + y + z = 7 3x + 2z = 12 -x – 2y + 3z = 7  
7. 2x + 3y + z = 0 2x – y + 2z = 3 -2x + 3y – z = -6 8. 3x + 4y – z = 4 x – y + 2z = 6 -x + y +z = -3 9. 3x + 3y + z = 6 3x – y + 5z = 10 -x + y = -4  
10. x + 2y + 4z = -1 -3x + y – 2z = 0 3x + 2y – z = 6 11. x – 2y – z = -5 2x + 3y + z = 10 2x + y + 2z = 8 12. 3x + 2y + z = 13 -3x + y + 4z = 0 x – y + 2z = 6  
13. 2x + 2y + z = 7 -x + y – 2z = -3 x + 4y + z = 7 14. 2x + 3y + 2z = 9 -x + y – 3z = -4 4x + 2y + z = 11 15. x + 6y + 2z = 7 -2x + 2y + z = -1 2x + 2y – 3z = 15
16. x + 3y – 2z = 3 2x + y – 3z = -2 2x – 2y + z = 0 17. x + 5y – z = -5 x – y + 2z = 4 -2x + y + z = 2 18. 3x + 2y – z = 14 3x + y + 2z = 14 x – 4y + 3z = -6  
19. 3x + 3y – z = -1 3x – 3y – 2z = 16 -3x = y + z = -11 20. x + y + 3z = -3 -2x + 2y + z = 0 3x + 2y – 2z = 11  

 

Задание 4. Решение матричных уравнений.

Решить матричное уравнение.

Справочный материал и примеры выполнения задания приведены в разделе 2 («Матричные уравнения»).

2 3 0 -2 1 -3 1. X × 0 -1 1 = 20 11 15 4 2 3 -4 -7 1 2 1 0 3 6 2. 1 3 -2 × X = -7 11 -2 1 1 -2 3
  3. 5 1 × Y × 1 2 = 26 -4 3 2 3 -1 31 -1     2 1 0 2 -1 4 4. 0 1 3 × X = 6 2 11 -1 2 2 3 0 9  
1 0 2 3 3 5. 2 -1 3 × X = 5 7 1 2 2 5 -1   6. 2 -3 × Y × 2 1 = 0 6 -4 7 4 5 4 -10
1 2 -2 8 14 -11 7. X × 0 1 2 = 2 1 -7 2 3 -3   1 0 3 1 5 4 8. X × 2 1 1 = 5 0 2 -1 2 0 3 0 9
9. 2 3 × Y × 4 -1 = 10 -5 1 4 -2 3 0 5   3 0 1 5 5 10. 1 2 -2 × X = 10 -3 2 1 1 6 4  
2 1 0 4 6 -3 11. 0 1 2 × X = 10 2 5 3 2 -1 3 8 -6 1 1 2 3 1 5 12. X × 0 -2 -1 = 5 2 5 3 0 1 7 5 6  
13. 3 -4 × Y × -4 5 = 2 7 -2 1 2 -3 2 -3 1 0 2 -1 -7 7 14. X × -2 -5 1 = -5 -9 3 1 3 1  
1 0 -1 -2 1 -3 15. 2 3 4 × X = 20 11 15 -2 1 0 -4 -7 1 1 0 1 2 -1 4 16. X × 0 -1 2 = 6 2 11 2 1 3 3 0 9  
17. 2 3 × Y × 3 -2 = 1 36 -1 1 -1 4 -8 12 1 3 -2 4 6 -3 18. X × 2 0 1 = 10 2 5 4 1 2 3 8 -6
3 2 0 7 3 19. 0 1 1 × X = 1 3 -2 1 -1 1 -5   20. 2 1 × Y × 5 1 = -5 12 4 3 -3 2 -9 32