Простейшие действия с матрицами

1) Транспонирование.

Матрица называется транспонированной по отношению к матрице А, если строки одной матрицы являются столбцами другой и наоборот, например,

.

2) Сложение (вычитание) матриц.

Чтобы найти сумму или разность двух матриц, нужно сложить или вычесть соответствующие элементы этих матриц, например,

;

.

Замечание: исходя из определения, складывать или вычитать можно только матрицы одного размера.

3) Умножение на число (скаляр).

Чтобы умножить матрицу на число, нужно все ее элементы умножить на это число, например,

.

Следствие: общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.

Умножение матриц

Матрица С называется произведением матрицы А на матрицу В, если ее элементы вычисляются следующим образом:

.

Т.е. элемент матрицы С, стоящий в -той строке и -том столбце, равен сумме произведений соответствующих элементов -той строки матрицы А и -того столбца матрицы В (соответствующих — это значит, что первый элемент строки умножаем на первый элемент столбца, второй — на второй и так до последней пары элементов).

Из определения данного действия следует, что умножать можно только такие матрицы, в которых число столбцов матрицы А (т.е. число элементов в ее строке) равно числу строк матрицы В (т.е. числу элементов в ее столбце). Такие матрицы называются согласованными для умножения. Из определения умножения можно также заключить, что умножение матрицы А размера на матрицу В размера дает матрицу С размера .

Заметим, что квадратные матрицы одного порядка всегда согласованы для умножения.

Пример.

.

.

Для данных матриц обратное умножение В на А невозможно, т.к. число столбцов в В равно 2, а число строк в матрице А равно 4. Но даже, если возможны оба произведения, они в общем случае могут не совпадать. Проверим:

;

;

.

Свойства умножения матриц

1) В общем случае , т.е. в общем случае перестановочное свойство умножения не выполняется.

Матрицы, для которых оно выполняется, называются перестановочными.

2) Сочетательное свойство: .

3) Распределительное свойство умножения относительно сложения:

4) Умножение на единичную матрицу не меняет матрицы: .

5) Умножение на нулевую матрицу дает нулевую матрицу: ;

замечание: из того факта, что произведение двух матриц равно 0, не следует обязательно, что либо одна из них, либо обе вместе равны 0.

Матричные уравнения

Используя различные действия с матрицами, можно составлять матричные уравнения — соотношения между неизвестной матрицей Х и известными матрицами.

Например, АХ = В или ХА = В, АХВ = С, АХ + В = С, ХА — В = С и т.д.

Рассмотрим одно из простейших матричных уравнений:

.

В школьном курсе алгебры рассматривалось соответствующее ему уравнение для действительных чисел:

Решением этого линейного уравнения является , где число называется обратным к и удовлетворяет соотношению: .

Введем подобное понятие и для матриц. Матрица называется обратной к , если она удовлетворяет условию:

,

где — единичная матрица.

Из определения обратной матрицы следует, что ее можно найти только для квадратных матриц.

Существование обратной матрицы дает возможность решать матричные уравнения, например, рассмотрим уравнение . Умножим обе части уравнения слева на матрицу, обратную :

.

Аналогично можно найти решение уравнения , умножая теперь уже справа обе части уравнения на :

.