Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением векторов и (обозначается ) называется произведение модулей этих векторов на косинус угла между ними:

.

Можно дать и другое определение. Т.к. произведение представляет собой проекцию вектора на направление вектора (обозначается ), а произведение является проекцией на направление (обозначается ), тогда:

= .

Скалярным произведением двух векторов называется произведение длины одного вектора и проекции другого вектора на направление первого.

Из первого определения скалярного произведения следует формула для нахождения угла между векторами:

.

Свойства скалярного произведения

1) Скалярное произведение перпендикулярных векторов равно 0 (т.к. ) и наоборот, если скалярное произведение двух векторов равно 0, то они перпендикулярны или, как часто говорят, ортогональны.

2) Скалярное произведение векторов > 0, если они образуют острый угол ( ), скалярное произведение < 0, если они образуют тупой угол ( ).

3) .

4) .

5) .

6) или .

Векторное произведение векторов

Векторным произведением векторов и называется вектор, обозначаемый или и удовлетворяющий следующим условиям:

1) ;

2) ортогонален (перпендикулярен) и , и ;

3) Вектора , и образуют правую тройку, т.е. кратчайший поворот от вектора к вектору и затем к вектору совершается против часовой стрелки.

Свойства векторного произведения

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

5) Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма или удвоенной площади треугольника, построенного на векторах, входящих в векторное произведение.

Смешанное произведение векторов

Смешанным произведением векторов , обозначаемым , называется скалярное произведение векторного произведения векторов и на вектор :

= .

Учитывая данные ранее определения скалярного и векторного произведений, можно выписать и более подробную формулу для вычисления смешанного произведения векторов:

.

Если вектора привести к общему началу и построить на них параллелепипед (вектора и совпадают со сторонами основания, а вектор с боковым ребром) или пирамиду, то модуль смешанного произведения векторов будет равен объему параллелепипеда или шести объемам пирамиды :

или .

Напомним, что , где , высота H определяется как проекция бокового ребра на направление нормали к основанию, т.к. векторное произведение совпадает с направлением нормали, то .

Если вектора лежат в одной плоскости (компланарны), то ясно, что на них нельзя построить ни пирамиду, ни параллелепипед, поэтому смешанное произведение компланарных векторов равно нулю.