III. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Аналитическая геометрия на плоскости

Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид:

y=kx+b,

где k — угловой коэффициент прямой, т. е. тангенс того угла, который прямая образует с положительным направлением оси Ох, причем этот угол отсчитывается от оси Ох к прямой против часовой стрелки, — величина отрезка, отсекаемого прямой на оси ординат. При b= 0 уравнение имеет вид у = kx, и соответствующая ему прямая проходит через начало координат. Этим уравнением может быть определена любая прямая на плоскости, не перпендикулярная оси Ох.

Общее уравнение прямой

Ax + By + С = 0.

Частные случаи общего уравнения прямой:

а) Если С = 0, уравнение будет иметь вид Ax + By = 0, и прямая, определяемая этим уравнением, проходит через начало координат, так как координаты начала координат х= 0, у = 0удовлетворяют этому уравнению.

б) Если в общем уравнении C =0, то уравнение при­мет вид

Ах + С = 0, или х = .

Уравнение не содержит переменной у, а определяемая этим урав­нением прямая параллельна оси Оу.

в) Если в общем уравнении прямой (3,2) А = 0, то это урав­нение примет вид

By + С = 0, или у = ;

уравнение не содержит переменной х, а определяемая им прямая параллельна оси Ох.

г) При С == 0 и А = 0 уравнение принимает вид By = О, или у = 0.

Это уравнение оси Ох.

д) При С = 0 и В = 0 уравнение запишется в виде Ах == 0 или х = 0.

Это уравнение оси Оу

Уравнение прямой в отрезках на осях

где а — величина отрезка, отсекаемого прямой на оси Ох;

b — величина отрезка, отсекаемого прямой на оси Оу.

Нормальное уравнение прямой

x cos. + y sin—р = 0.

Здесь р—длина перпендикуляра, опущенного из начала коор­динат на прямую, измеренная в ед. масштаба, — угол, ко­торый этот перпендикуляр образует с положительным направ­лением оси Ох. Отсчитывается этот угол от оси Ох против часо­вой стрелки. Для приведения общего уравнения прямой к нормальному виду обе его части надо умножить на нормиру­ющий множитель.

причем перед дробью следует выбрать знак, противоположный знаку свободного члена С в общем уравнении прямой.

 

Уравнение прямой, проходящей через данную точку A (x₁,y₁) в данном направлении, определяемом угловым коэф­фициентом k,

y—y₁=k(x—x₁).

Это уравнение определяет пучок прямых, проходящих через точку А (x₁,y₁), которая называется центром пучка.

Уравнение прямой, проходящей через две точки: А (x₁,y₁) и В (x₂,y₂), записывается так:

Угловой коэффициент прямой, проходящей через две данные точки, определяется по формуле

Углом между прямыми а и b называется угол, на который надо повернуть первую прямую а вокруг точки пересечения этих прямых против движения часовой стрелки до совпадения ее со второй прямой b.