Основні уявлення про механізм утворення залишкових напружень і деформацій при температурних змінах

 

При нагріванні тіл відстані між двома точками об’єму А і В змінюється у відповідності з залежністю (1.1):

 

, (1.1)

 

де – коефіцієнт температурного розширення;

– приріст температури.

 

Відносна лінійна деформація визначається за формулою:

 

. (1.2)

 

При нагріванні куба зі сторонами довжиною його об’єм визначається залежністю:

 

. (1.3)

 

Абсолютна і відносна зміни об'єму, обумовлені зміною температури

 

. (1.4)

 

Якщо відома кількість тепла , що вноситься у об'єм, підвищення температури об’єму становить:

 

, (1.5)

 

де ( ) – об’ємна теплоємність.

Відносна зміна об’єму з урахуванням (1.5) визначається формулою:

 

, . (1.6)

 

Таким чином, при зміні температури у тілі виникають деформації, пропорційні приросту температури (1.2). У загальному випадку при навантаженні і одночасному нагріванні одновимірного об’єкта подовжня деформація складається з трьох складових:

 

, (1.7)

де – пружна деформація;

– пластична деформація;

– температурна деформація.

 

Поперечна деформація визначається залежністю Пуассона (причому для пластичних деформацій коефіцієнт Пуассона ):

 

. (1.8)

 

Для моделювання процесу утворення температурних напружень необхідно врахувати особливості циклічного деформування матеріалів. Найбільш часто використовуються схеми пружно-пластичного матеріалу (рисунок 1.1) і матеріалу зі зміцненням (рисунок 1.2):

Рисунок 1.1 – Схема пружно-пластичного матеріалу

Рисунок 1.2 – Схема матеріалу зі зміцненням

 

Зважаючи на неоднозначність схематизації пластичного матеріалу зі зміцненням, у більшості випадків у розрахунках використовують простішу діаграму пружно-пластичного матеріалу.

Приклад 1.1 Побудувати діаграму деформування жорстко закріпленого стержня (рисунок 1.3) при нагріванні на C і охолодженні до початкової температури. При нагріванні довжина стержня намагається збільшитися у відповідності до (1.1), але наявність закріплення призводить до появи деформацій стиску, спочатку пружних, а після досягнення напруженнями у перерізах границі текучості – пластичних (лінія АВ на рисунку 1.4).

Максимальна температурна деформація:

 

. (1.8а)

 

 

Рисунок 1.3 – Схема жорстко закріпленого стержня

Рисунок 1.4 – Діаграма деформування жорстко закріпленого стержня

 

Температура, при якій починаються пластичні деформації (точка А ):

 

, (1.9)

 

Температура, при якій можуть бути зворотні пластичні деформації (лінія DE):

, (1.9а)

 

Деформації у стержні у кожний момент задовольняють умові:

 

, (1.10)

де – відповідно, температурна, пружна і пластична деформації.

Після повернення температури до початкової, деформації становлять1 :

 

, . (1.11)

 

Таким чином внаслідок циклічної зміни температури у стержні з’являються пластичні деформації, а у зв’язку з тим, що торці його закріплені жорстко – залишкові розтягуючи напруження, які можуть досягати границі текучості.

 

Приклад 1.2 Побудувати діаграму деформування для стержня, зображеного на рисунку 1.5 .

 

 

Рисунок 1.5 – Схема стержня, що закріплений з зазором

 

 

При нагріванні стержня сума деформацій не може перевищити величину , тобто у даному випадку[2]:

 

. (1.12)

 

У процесі нагрівання спочатку вибирається деформація , потім з’являються пружні деформації стиску і відповідні їм напруження

 

, . (1.13)

 

При подальшому збільшенні температури з’являються пластичні деформації

. (1.14)

При зниженні температури зникають пружні деформації (при цьому =0) і температурні, однак у зв’язку з тим, що торець стержня не закріплений, зниження температури від точки С призведе до переміщення його на величину , тобто після завершення температурного циклу у стержні з'являються залишкові деформації . Діаграма дефор­мування представленна на рисун­ку 1.6.

 

Рисунок 1.6 – Діаграма деформування стержня,

Що закріплений з зазором

 

 

Приклад 1.3 Побудувати діаграму деформування пружно закріпленого стержня (рисунок 1.7) при дії термічного циклу "нагрівання-охолодження". Довжина стержня – l, площа поперечного перерізу А, модуль пружності матеріалу Е , податливість опори ₂ ( ).

 

Рисунок 1.7 – Схема стержня, закріпленого пружно

На початковому стані нагрівання (ОА) (рисунок 1.8) деформації задовольняють умові:

 

, (1.15)

де R - реакції опор,

- податливість стержня

.

Реакції опар з рівняння (1.15):

 

. (1.16)

 

Напруження у поперечних перерізах стержня і поздовжні деформації:

 

, . (1.17)

 

Наявність пружної опори призводить до зменшення кута нахилу до початкової ділянки діаграми, до осі і збільшен­ня температури, при якій починаються пластичні деформації (Т_S)

 

, . (1.18)

 

При температурі вищій Т_S розвиваються пластичні дефор­мації, а напруження, у відповідності з прийнятою моделлю пружно-пластичного матеріалу, залишаються незмінними ( =_Т).

 

Переміщення торця стержня на етапі зростання температури:

 

. (1.19)

Рисунок 1.8 – Діаграма деформування стержня, що закріплений з зазором

При зниженні температури зменшуються пружні деформації і напруження стиску, і розвиваються пружні де­формації і, відповідні їм, напруження розтягу (пряма ВСД). При нагріванні стержня до температури Т>Т_В матимуть місце вторинні пластичні деформації розтягу.

Після завершення термічного циклу, у поперечних перері­зах стержня будуть діяти напруження розтягу ( _Т), а торець переміститься на величину (рисунок 1.9).

 

 

Рисунок 1.9 – Схема утворення деформацій у стержні,

що закріплений пружно

 

Умова сумісності переміщень після зниження темпера­тури до початкової:

 

. (1.20)

 

Звідси знаходимо реакції у закріпленні:

 

. (1.21)

 

Пружна деформація стержня:

 

. (1.22)

 

Якщо припустити, що температура при нагріванні дорівнювала або перевищувала температуру Т_в, пружна деформація досягне максимального значення _пр = _s і скорочення стержня визначатиметься формулою:

. (1.23)

Приклад 1.4 Побудувати діаграму деформування стержня 1, розміщеного у трубі 2, при дії термічного циклу "нагрівання-охолодження" на стержень. Податливості елементів, відповідно, ₁ і ₂ (рисунок 1.10) .

 

 

Рисунок 1.10 – Схема стержня, розміщеного у трубі

 

Система є статично-невизначеною і для знаходження реакцій R₁ і R₂ необхідно використати, крім рівняння рівноваги, рівняння сумісності переміщень:

 

, (1.24)

 

де ₁ і ₂ -переміщення, відповідно, торців стержня і труби.

Переміщення ₂ обумовлене дією сили R₂, а переміщення ₁ – дією сили R₁ і температури Т.

 

, , (1.25)

 

(Знак "мінус" у першому доданку враховує напрямок сили R₁).

Податливості елементів визначаються формулами:

 

, , (1.26)

 

де А₁ , А₂ – площі поперечного перерізу;

Е₁ , Е₂ – модулі пружності матеріалів.

Розв’язуючи систему рівнянь (1.24), одержимо значення реакцій:

 

. (1.27)

(Напрямки реакцій вказані на рисунку 1.10).

Напруження у середньому стержні (при _{1 Т} ):

. (1.28)

 

Як видно з (1.28), при великій жорсткості трубчатого елемента (₂0), напруження у стержні 1 такі ж, як і при жорсткому закріпленні (₁=-ТЕ); при малій (₂), напруження зменшуються до нульових.

Діаграма деформування повністю аналогічна діаграмі для пружно закріпленого стержня (приклад 1.3) при відносно великій жорсткості трубчатого елемента, тобто тоді, коли у ньому напруження при нагріванні і охолодженні не досягають до границі текучості.