Лекция 4. Принятие решений в условиях неопределенности

 

Предположим, что лицо, принимающее решение, может выбрать одну из возможных альтернатив, обозначенных номерами . Ситуация является полностью неопределенной, т. е. известен лишь набор возможных вариантов состояний внешней (по отношению к лицу, принимающему решение) среды, обозначенных номерами .

Если будет принято i-e решение, а состояние внешней среды соответствует j-й ситуации, то лицо, принимающее решение, получит доход . Матрица называется матрицей последствий (от реализации возможных решений).

В ситуации с полной неопределенностью могут быть высказаны лишь некоторые рекомендации предварительного характера относительно того, какое решение нужно принять. Эти рекомендации не обязательно будут приняты. Многое будет зависеть, например, от склонности к риску лица, принимающего решение.

Допустим, оценим риск, который несет i-e решение. Реальная ситуация не известна. Однако если есть информация, что осуществляется j-е состояние внешней среды, то лицо, принимающее решение, выбрало бы наилучшее решение, т. е. приносящее наибольший доход .

Значит, принимая i-e решение, есть риск получить не , а только , т. е. если принимается i-е решение, а во внешней среде реализуется j-е состояние, то будет не дополучен доходе в размере

(2.1)

по сравнению с тем, как если бы точно было известно, что реализуется j-е состояние внешней среды, и выбрали бы решение, приносящее наибольший доход .

Матрица

где сожаления рассчитаны по формуле (2.1), называется матрицей сожалений (или матрицей рисков).

Не все случайное можно «измерить» вероятностью. Неопределенность – более широкое понятие. Неопределенность того, какой цифрой вверх ляжет игральный кубик, отличается от неопределенности того, каково будет состояние российской экономики через 15 лет. Кратко говоря, уникальные единичные случайные явления связаны с неопределенностью, а массовые случайные явления обязательно допускают некоторые закономерности вероятностного характера.

Ситуация с полной неопределенностью характеризуется отсутствием какой бы то ни было дополнительной информации. Существуют следующие правила – рекомендации по принятию решений в таких ситуациях.

На практике вероятность возможных сценариев развития ситуации не известна. Предположим, что руководитель предприятия имеет п альтернатив или сценариев решения ситуации (А1, А2, …Аn, n (1,n)). Результат выбора зависит от сценария развития ситуации. Предположим, что руководитель предприятия выделяет m сценариев развития ситуации, которые обозначим (S1, S2, …Sm, m (1,m)). Данные варианты в теории принятия решений называют «Состояниями природы», т.к. в большинстве реальные задачи этого типа связаны с погодными, климатическими, социальными, политическими, техническими и другими неопределенностями. Допустим, что известен результат, выраженный количественно при каждой альтернативе Аi и сценарии развитии ситуации Sj , обозначенный , в результате чего получается матрица , называемая матрицей выигрышей или матрицей потерь, в зависимости от того, максимизируется или минимизируется результат. В соответствии с реальными условиями, существует несколько критериев принятия решений в условиях неопределенности.

Рассмотрим пример использования сценарного метода экономического анализа, когда показатели привлекательности чем больше, тем лучше для руководителя предприятия.

Пример 2.1.Директор предприятия, продающего телевизоры марки «Zarya» решил открыть представительство в областном центре. У него имеются альтернативы либо создавать собственный магазин в отдельном помещении, либо организовывать сотрудничество с местными торговыми центрами. Всего можно выделить 5 альтернатив решения: А1, А2, А3, А4, А5. Успех предприятия зависит от того, как сложится ситуация на рынке предоставляемых услуг. Эксперты выделяют 4 возможных сценария развития ситуации: S1, S2, S3, S4. Прибыль предприятия для каждой альтернативы при каждом сценарии развития ситуации представлена матрицей выигрышей (млн. рублей /год).

Альтернатива Сценарий S1 S2 S3 S4
А1
А2
А3
А4
А5

Рассмотрим основные критерии, позволяющие выбирать оптимальную альтернативу для принятия решения.

1) Критерий Лапласа, основанный на предположении, что каждый сценарий развития ситуации (состояния «природы») равновероятен. Поэтому, для принятия решения, необходимо рассчитать функцию полезности Fi для каждой альтернативы, равную среднеарифметическому показателей привлекательности по каждому «состоянию природы»: .

; ; ; ;

Выбирается та альтернатива, для которой функция полезности максимальна, т.е. альтернатива А5.

2) Критерий Вальда,основанный на принципе максимального пессимизма, то есть на предположении, что произойдет наиболее худший сценарий развития ситуации и риск наихудшего варианта нужно свести к минимуму. Для применения критерия нужно для каждой альтернативы выбрать наихудший показатель привлекательности (наименьшее число в каждой строке матрицы выигрышей) и выбрать ту альтернативу, для которой этот показатель максимальный. . Видно, что наилучшим из наихудших показателей обладает альтернатива А2, для нее - наибольшее.

3) Критерий максимального оптимизма.Наиболее простой критерий, основывающийся на идее, что руководитель предприятия, имея возможность в некоторой степени управлять ситуацией, рассчитывает, что произойдет такое развитие ситуации, которое для него является наиболее выгодным. В соответствии с критерием принимается альтернатива, соответствующая максимальному элементу матрицы выигрышей. Для приведенного примера это , поэтому выбирается альтернатива А3.

4) Критерий Сэвиджа, основанныйна принципе минимизации потерь, связанных с тем, что руководитель предприятия принял не оптимальное решение. Для решения задачи составляется матрица потерь, которая называется матрицей рисков , которая получается из матрицы выигрышей путем вычитания из максимального элемента каждого столбца всех остальных элементов.

Альтернатива Сценарий S1 S2 S3 S4
А1
А2
А3
А4
А5

Далее, для каждой альтернативы определяем величины , равные максимальному риску (наибольшее число в каждой строке матрицы рисков) и выбирают ту альтернативу, для которой максимальный риск минимален. . – минимально, поэтому выбирается альтернатива А5.

5) Критерий Гурвица.Это самый универсальный критерий, который позволяет управлять степенью «оптимизма - пессимизма» руководителя. Введем некоторый коэффициент , который назовем коэффициентом доверияили коэффициентом оптимизма. Этот коэффициент можно интерпретировать как вероятность, с которой произойдет наилучший для руководителя предприятия исход. Исходя из этого, наихудший вариант можно ожидать с вероятностью (1-). Коэффициент доверия a показывает, насколько руководитель предприятия может управлять ситуацией и в той или иной степени рассчитывает на благоприятный для него исход. Если вероятности благоприятного и неблагоприятного сценария развития ситуации равны, то следует принять =0,5.

Для реализации критерия определяются наилучшие и наихудшие значение каждой альтернативе по формулам: , . Далее, вычисляются функции полезности по формуле: . Выбирается та альтернатива, для которой функция полезности максимальна.

Предположим, что для нашего примера руководитель достаточно уверен в положительном результате и оценивает вероятность максимального успеха в =0,7.

; ; ; ;

В соответствии с расчетами следует выбрать альтернативу А3. Если же, руководитель не очень уверен в положительном исходе и расценивает его вероятность порядка =0,2, то функции полезности равны:

; ; ; ;

Видно, что в этом случае следует принять А2, для которого функция полезности максимальна.

Следует отметить, что при =0, критерий Гурвица переходит в пессимистический критерий Вальда, а при =1 – в критерий максимального оптимизма.

 

Лекция 5. Принятие решений в условиях неопределенности (продолжение)

 

Рассмотрим пример использования сценарного метода экономического анализа, когда показатели привлекательности чем меньшее, тем лучше для руководителя предприятия, например, затраты, риск и т.д.

Критерий Лапласаопределяет оптимальное решение по минимальной функции полезности. Применяя критерий Вальданеобходимо вычислять максимальный показатель каждой альтернативы (строки) и принимать альтернативу, где этот показатель минимален. Критерий максимального оптимизмапозволяет определить оптимальное решение, соответствующее минимальному элементу матрицы выигрышей (которую в случае минимизации часто называют матрицей потерь). Матрица рисков в критерии Сэвиджаполучается в результате вычитания из каждого элемента матрицы потерь минимального элемента каждого столбца. Для реализации критерия Гурвицавычисляются максимальные и минимальные показатели для каждой альтернативы , . Далее, вычисляются функции полезности по формуле: . Выбирается альтернатива с наименьшей функцией полезности.

Пример 2.2.Нефтяная компания собирается построить в районе крайнего севера нефтяную вышку. Имеется 4 проекта A, B, C и D. Затраты на строительство (млн. руб.) зависят от того, какие погодные условия будут в период строительства. Возможны 5 вариантов погоды: S1, S2, S3, S4, S5.

Матрица затрат имеет вид:

Альтернатива Сценарий S1 S2 S3 S4 S5
А1
А2
А3
А4

 

1) Критерий Лапласа:

; ; ; ;

2) Критерий Вальда: среди наихудших вариантов , наилучший соответствует , следовательно, принимаем альтернативу А2.

3) Критерий максимального оптимизма. Соответствует альтернативе, для которой - минимальное.

4) Критерии Сэвиджарассчитывается по матрицерисков:

Альтернатива Сценарий S1 S2 S3 S4 S5
А1
А2
А3
А4

Максимальные элементы для каждого критерия матрицы рисков равны . Принимаем альтернативу, соответствующую минимальному значению , то есть А4.

5)В соответствии с критерием Гурвица на уровне a = 0,6 , функции полезности равны:

; ; ;

Принимаем альтернативу А2 с наименьшей функцией полезности.

 

Предположим, что в рассмотренной схеме известны вероятности того, что реальная ситуация развивается по варианту . Именно такое положение называется частичной неопределенностью. При принятии решений в таких ситуациях можно выбрать одно из следующих правил.

Правило максимизации ожидаемого дохода. Доход, получаемый при принятии i-го решения, является случайной величиной с рядом распределения

…
p …

 

Ожидаемый доход при принятии i-го решения оценивается математическим ожиданием соответствующей случайной величины . Правило максимизации ожидаемого дохода рекомендует принять решение, приносящее максимальный ожидаемый доход

.

 

Правило минимизации ожидаемых сожалений. Сожаления при реализации i-го решения представляются случайной величиной с рядом распределения

…
p …

 

Ожидаемые сожаления оценивается математическим ожиданием соответствующей случайной величины . Правило минимизации ожидаемых сожалений рекомендует принять решение, влекущее минимальные ожидаемые сожаления

Теорема эквивалентности правил максимизации ожидаемого дохода и минимизации ожидаемых сожалений. Решения, рекомендуемые правилами максимизации ожидаемого дохода и минимизации ожидаемых сожалений, всегда совпадают.

Доказательство. Имеем:

,

так как не зависит от i. Поэтому на том же решении, что и .

В заключение следует отметить, что решения, предлагаемые различными правилами, не всегда совпадают. Лицу, принимающему решение, следует понимать, что оно будет нести ответственность за последствия