Метод інструментальних змінних

Іще одним способом усунення корелювання пояснюючої змінної з випадковим відхиленням є метод інструментальних змінних.

Сутність цього методу полягає в заміні змінної, що корелює із залишками, інструментальною змінною (ІЗ), яка повинна мати такі властивості:

- корелювати (бажано значною мірою) із заміненою поясню-ючою змінною;

- не корелювати з випадковим відхиленням.

Опишемо схему використання ІЗ на прикладі парної регресії, у якій

Змінну X замінюють змінною Z такою, що cov(Z;X)*0 cov(Z,e) = 0. Принципи використання ІЗ передбачають виконання таких умов:

Відповідні вибіркові оцінки даних умов такі:

У розгорненому вигляді остання система має вигляд

Нехай зі збільшенням обсягу вибірки D(X) прямує до деякої скінченної межі а2 , а коваріація cov(Z,X) - до скінченної межі

Покажемо, що в цьому разі b прямує до істинного значення 1. З останньої системи маємо

Тут ми скористалися такими співвідношеннями: cov(Z,0) = 0, тому що 0 = const; cov(Z, 1X) = 1 cov(Z,X). При великих обсягах вибірки розподіл b13 прямує до нормального:

3. Перші послідовники Віннера та характеристика їх впливу на розвиток кібернетики ( СТ. Бір, У. Ешбі, Г. Уолтер, Ф. Джордж, М. Арбіб, А. А. Ляпунов, В Глушков та ін.).

На початковому етапі розвитку кібернетиці найбільше уваги було приділено в Англії. Широко відомі праці англійських науковців У.Р.Ешбі, С.Біра, Г.Уолтера, Ф.Джорджа, американських учених М.Арбіба, С.К.Кліні, радянських учених А.А.Ляпунова, Б.Н.Петрова та українського вченого В.М.Глушкова в значній мірі визначили основні напрямки розвитку кібернетики. Стаффорд Бір назвав її наукою ефективної організації. А управління він визнячив як "відбудову природного порядку для системи, що піддається впливу обурень і прагне відновити свою рівновагу". У своїй роботі С. Бір розглядає систему, що складається з двох різних за цілями підсистем. "Керівник застосував свої розумові здібності (а також своїх підлеглих) для пошуку оптимальних станів кожної підсистеми… Коли досягається ультрастійкий стан… тоді можна визначити значення двох оптимальних завдань і прийняти їх надалі як оптимальне рішення", що підлягає точному виконанню колективами підсистем, на чолі яких стоять призначені керівники. Роль керівників зводиться до координації і спрямування загальних зусиль підлеглих їм колективів (груп, особистостей) на виконання визначених завдань в результаті ухваленого оптимального рішення.

Р. Ешбі створив пристрій під назвою «гомеостат», який після виведення зі стану рівноваги сам швидко повертається до нього й підтримує його далі. Такий пристрій дав змогу «висловити припущення про те, що процес такої підтримки стану рівноваги є моделлю процесів гомеостазису - автоматичної підтримки в живих організмах на постійному рівні важливих для їх існування величин, таких, наприклад, як у людини тиск крові чи температура тіла». Значну роль модель гомеостата відіграла при формуванні поглядів на механізм гомеостазису біосфери, тобто для розвитку екології. Хоча управління в екосистемі дещо відрізняється від механізму дії в механічних системах та організмі. Як пише Ю. Одум, «у теплокровних тварин регуляція температури тіла здійснюється спеціальним центром мозку. Але у великих екосистемах унаслідок взаємодії кругообігів речовини та потоків енергії, а також сигналів зворотного зв'язку від субсистем виникає саморегулюючий гомеостат без регуляції іззовні або «постійної точки».

Американський учений Грій Уолтер винайшов апарат, що назвав "Топси". Цей апарат давав можливість досліджувати електричні процеси, що відбуваються в мозку людини. За допомогою сітки електродів, що підходять до різним частинам голови, можна спостерігати електричні збурювання, пильнування, що відбуваються в мозку в момент, сну, у моменти активної або ослабленої мозкової діяльності.

Професор О. А. Ляпунов (1911 — 1973) плідно розробляв так звану дескриптивну теорію множин, внаслідок чого удосконалюються методи кібернетики взагалі і математичної лінгвістики зокрема.

Ярослав Іванович Грдина(1871-1931рр.), професор вищого гірничого училища в Катеринославі (Дніпропетровськ), протягом усього свого наукового життя займався питаннями динаміки живих організмів. У період з 1919 по 1930 роки ним опубліковано ряд монографій, присвячених цим питанням і в яких викладено основи теорії руху живих організмів, як механічних систем. Він строго математично довів, що для живих організмів залишаються в силі диференційні принципи механіки. Н.Вінер, спостерігаючи та вивчаючи поведінку багатьох об'єктів штучного та природного походження, зауважив певні аналогічні закономірності, які в них відбуваються. Ці закономірності на той час уже були достатньо добре досліджені в різних наукових напрямках. До них можна віднести "Теорію автоматичного регулювання" (Дж.Максвел, І.А.Вишнеградський, А.Стодола - її засновники), "Теорію стійкості" (А.М.Ляпунов), "Теорія інформації" (К.Е.Шеннон), публікації Ярослава Грдини (працював у теперішньому Дніпропетровську), присвячені вивченню динаміки живих організмів із позицій класичної механіки, "Теорія само відтворюваних автоматів" (Дж.фонНейман). Усіх їх заслужено можна вважати попередниками Н.Вінера.

А.А.Ляпунов. Величезний вклад вніс у розвиток теоретичної кібернетики, тобто у вивчення алгоритмів, що описують поведінку керуючих систем. Він підкреслював особливу важливість математичної логіки для розвитку кібернетики. Віктор Михайлович Глушков. Зробив надзвичайно великий вклад у розвиток кібернетики на Україні. Засновник та перший директор Київського інституту кібернетики. В науковому плані вніс великий вклад у розвиток теорії синтезу цифрових автоматів. Б.Н.Петров. Приділяв багато уваги розробці проблеми інваріантності систем автоматичного керування, тобто, узагальненню поняття гомеостазу, який переважно використовувався у фізіології, так і до технічних, економічних та інших систем керування, на які впливають різні збурення.

4. Субституційні виробничі функції (двофакторні). Класична виробнича ф-я.(закон доходу), некласичні в. ф. (Коба Дугласа, CES,LES,Солоу).

Часто виробничий процес допускає одержання певного рівня випуску продукції при різних ефективних комбінаціях вхідних факторів. Такі фактори вважаються заміщуваними, а виробничу функцію, що описує такий процес називають субституційною.У субституційних функціях є можливість дещо збільшити випуск продукції за рахунок збільшення затрат тільки одного фактора за незмінності затрат усіх інших факторів. Субституційні виробничі функції поділяються на класичні та неокласичні. Класичні виробничі функції мають властивість закону доходу, тобто при зміні затрат певного фактора в них існує початкова ділянка із зростаючим граничним доходом. Неокласичні виробничі функції відрізняються тим, що в них така ділянка не передбачається, а при зміні затрат факторів їм властиве зразу, від самого початку, зниження граничного доходу. Неокласичні виробничі функції. Неокласичні виробничі функції вирізняються серед інших тим, що в них немає ділянки зростання граничного доходу. Їх головна особливість полягає в тому, що в них за часткової зміни факторів з самого початку діє закон спадних темпів приросту доходу, а також гранична продуктивність факторів на всій ділянці зміни затрат є додатною. Двофакторні виробничі функції: Виробнича функція Кобба-Дугласа.

Нехай Y - обсяг випускаємої продукції, F - фінансові витрати, L -вартість робочої сили. Функцію

Y = aF L , 0<<1, 0< <1 (1)

називають виробничою функцією Кобба-Дугласа.

У загальному вигляді права частина рівності (1) може містити більшу кількість факторів.

Виробнича функція CES. Для багатьох виробничих процесів особливо крупномасштабних, як показують емпіричні дані, притаманно, що еластичність заміщення є величина постійна, однак відмінна від одиниці. У зв'язку з цим теоретичний і практичний інтерес викликають виробничі функції, які задовольняють цій умові. Прикладом такої функції може служити так звана функція CES. Функція CES має такий вигляд:Y=(a₁x₁^a²+a₂x₂^a⁴)^a⁵. Існують такі модифікації виробничої функції CES: А)Функція Солоу. У своїй модифікації виробничої функції CES Солоу запропонував застосовувати різні показники степеня затрат факторів. Формальний запис його виробничої функції має такий вигляд: Y=(a₁x₁^a³+a₂x₂^a⁴)^a⁵. Може використвуватися у тих же випадках, що й CES, однак припущення, що лежать у її основі,

Більш слабшими за передумови CES. Рекмендується в тих випадках, коли припущення про однорідність є невиправданим. Може моделювати системи будь-якого масштабу. Б)Функція (LES) з лінійною еластичністю заміщення факторів. Формальний її запис має вигляд:Y=x₁^a⁰(a₁x₁+a₂x₂)^a⁵. Рекомендується дл опису виробничих процесів, у яких можливість заміщення факторів, що залучаються, істотно залежить від їх пропорцій

5. Економічна кібернетика (специфіка економічної кібернетики, мета е.к., е.к. в системі економічних наук).

Економічна кібернетика - наука в якій використовуються методи і засоби кібернетики з метою дослідження та організації процесів управління в економічних системах. Сферою економічної кібернетики є питання оптимізації управління економікою в цілому, в галузях, в районах, промислових комплексах, окремих підприємствах чи організаціях або навіть їх підрозділах.

Об'єктом економічної кібернетики є економічна система.

В економіці також стали широко застосовуватись кібернетичні методи: системний підхід, моделювання, системний аналіз спеціально пристосований для розвитку задач, які виникають у процесі керування виробництвом, "чорної скриньки" тощо.

Належить враховувати взаємозв'язки, які виражаються у вигляді поки що якісних закономірностей відкритих кібернетикою, але які мають суттєве значення в процесі функціонування складних економічних систем. До таких закономірностей, наприклад, належить принцип зовнішнього доповнення, необхідності зворотних зв'язків в керуванні а також закон необхідного і достатнього розмаїття станів та інше.

На даний час в економічній кібернетиці можна виділити основні напрямки досліджень: розробка мат-х моделей ек-х систем, використання комп'ютерної техніки для дослідження цих моделей та розв'язок відповідних задач.

Інший напрямок пов'язаний з дослідженням економічної інформації

Економічна кібернетика є частиною комплексу економічних наук. Вона є зв'язуючою ланкою між ними, а тому застосовує методи однієї науки в іншій галузі. Кібернетичний підхід до економіки вносить точні, формальні методи у сферу економічних досліджень. Вимога точності викликало необхідність створення чітких алгоритмів дослідження. Наприклад при застосуванні методів кібернетики з метою вдосконалення управління економічними процесами необхідно глибоко досліджувати закономірності, що характеризують їх розвиток та представляти ці закономірності на чіткій мові математики та логіки. Таке представлення виражає собою формалізацію, тобто представлення процесу керування у вигляді певної системи команд, які впливають на ті чи інші параметри системи керування. Кібернетичний підхід до економіки дозволяє також не тільки проводити аналіз економічних систем, але й їх синтез, при цьому використовуючи різні методи як соціальних так і природних і навіть технічних наук. В першу чергу це відноситься до комплексного застосування математичних методів і моделей.

6. Лімітаційні вир. ф-ї, ф-я Леонтьєва при одному та кількох технологічних способах вир-ва, загальна характеристика ф-ї Гутенберга та її застосування.

У лімітаційних виробничих функціях між витратами факторів виробництва і кількістю продукції, що випускається, існують жорсткі технічні співвідношення, тобто певний виробничий результат (Q) може бути досягнутий у разі єдиної ефективної комбінації факторів. Найвідоміша функція цього виду — виробнича функція В. Леонтьева, що характеризується двома основними властивостями: - лімітаційність відношень між виробничими факторами; - залежність між затратами ресурсів і кількістю випущеної продукції вважається лінійною. Саме тому її називають лінійно - лімітаційною.

Виробнича функція Леонтьєва має встановлені незмінні коефіцієнти технології для поєднання вхідних факторів у певних пропорціях, щоб виробити певний рівень вихідної продукції. Лише одне поєднання вхідних факторів, одна технологія, одна факторна пропорція можуть забезпечити виробництво даного обсягу продукції Q.

Якщо взяти два вхідних фактори К і L, то лише одна пропорція К/L, що відображає коефіцієнт технології, забезпечить виробництво даного обсягу продукції Q.

У виробничій функції Леонтьєва неможлива заміна факторів, вхідні фактори використовуються разом тільки у фіксованій пропорції.

Приклад. Для копання рову потрібні одна людина й одна лопата. Щоб прискорити копання, треба пропорційно збільшити і кількість людей, і кількість лопат Збільшення лише, наприклад, кількості лопат не прискорить цієї роботи На рисунку Ізокванти функції виробництва Леонтьєва утворюють прямі кути і будуть перпендикулярними (L- подібними).

Рисунок показує нахил променя до осей координат. Він відображає фіксований коефіцієнт технології, розкриває сталі пропорції вхідних факторів, дає нам потрібну пропорцію К/L, що використовується у виробництві. У даному прикладі К/L=1. Уздовж променя, що відображає співвідношення К/L, можуть бути вибрані різні рівні обсягу продукції Q, як результат фіксованих пропорцій вхідних факторів.

Виробнича функція Леонтьєва призначена для моделювання строго детермінованих технологій, які не допускають жодних відхилень від технологічних норм використання факторів виробництва. Переважно застосовується для опису дрібних або цілком автоматизованих виробничих процесів.

Виробнича функція Леонтьєва при кількох технологічних способах виробництв

Допустимо, тепер, що для виготовлення продукції із одних і тих же факторів підприємство має чистих виробничих технологій. Тоді виробнича функція Леонтьєва формулюється як система функцій факторів

Для повноцінного опису виробництва за наявності кількох способів виробництва необхідно розмежувати наступні дві ситуації.

1. Кожний з заданих технологічних способів може здійснюватись тільки в чистому вигляді й через технічні причини їх не можна комбінувати.

2. Особливість другої ситуації полягає в тому, що розділивши час виробництва, можна застосовувати комбінації чистих технологій. Тому в опис виробничої функції належить включати і змішані технологічні процеси, якщо тільки вони не є неефективними порівняно із чистими.

Змішану технологію будемо називати ефективною, якщо її можна отримати лінійно-опуклою комбінацією чистих технологій. Виробничі коефіцієнти такої змішаної технології (для двох факторів) отримуються такою ж опуклою комбінацією відповідних коефіцієнтів чистих технологій.

Виробнича функція Гутенберга

Для визначення пов'язаних з виробництвом затрат Гутенберг поділяє ресурси на застосовувані та затрачувані фактори.

Застосовувані фактори - переважно машини та устаткування (в дальнішому - агрегати) або іншими виробничими одиницями (будівлі, праця, земля і інше).

Затрачувані фактори, це передусім матеріали, що необхідні для виробничого процесу.

Аналізуючи виробничі процеси можна зауважити, що потреба у затрачуваних факторах не завжди залежить тільки від обсягу випуску, але й в значній мірі й від технічних параметрів процесу та інтенсивності його використання . Якщо навіть абстрагуватись від технічних параметрів, то все ж таким параметром як інтенсивність використання агрегату знехтувати не можна. Тому доцільно ввести так звану трансформаційну функцію затрат…,

яка виражає залежність кількості - го затрачуваного фактору на одиницю роботи певного типу потенційного фактора (агрегату) від інтенсивності його використання. Застосовувані фактори, такі як засоби виробництва, будівлі, праця фізично не входять у продукт виробництва. Вони беруть участь у виробничому процесі у формі виконання операцій кількість яких в цілому повинна бути пропорційна обсягу випуску. Робота, виконана певним агрегатом, очевидно, залежить від часу та інтенсивності його використання.

7. Система – фундаментальне поняття кібернетики, системи та її властивості. Емерджентність. Класифікації систем. Кібернетичні системи.

Система - це сукупність елементів і відношень, закономірно пов'язаних у єдине ціле, яке володіє властивістю, відсутньою в елементів та відношень, що її утворюють. Властивості: гоместатичність, стійкість, інваріантність, емерджентність. Емерджентність-це виявлення у деякого цілого властивостей, які не виводяться із спостережуваних властивостей його частин та не виявляються у зв'язках між цими частинами(У.Р.Ешбі) Елементом системи наз-ся неділима, виходячи з поставленої задачі, її частина, що виконує певну специфічну функцію.Між елементами системи та між різними системами існують зв'язки, із допомогою яких вони впливають один на одного. Класифікація: 1)за обумовленістю дії: детермінованою та системи із випадковою дією; 2)залежно від к-сті об'єктів: великі і малі; 3)ступінь складності: прості, скадні і дуже складні; 4) статичні і динамічні. Кібернетичні системи - сукупність абстрактних елементів які мають певні властивості, та формально описані зв'язки між ними. Перехід від розгляду конкретних до абстрактних кібернетичних систем для розвитку науки має такий самий характер і таке ж значення, як перехід від оперування числами в арифметиці до оперування буквами та символами в алгебрі.

8. Приклади двофакторних в. ф. та їх коротка характеристика (лінійні Алена, дворежимна в.ф. CES, багаторежимна вир-ча функція, ф-ї лінійного програмування, ф-я Сато).

Для опису залежності між входами і виходом досліджуваного виробничого процесу іноді вдаються до моделі лінійного виду . Належить одразу зауважити, що всі члени правої частини цієї моделі повинні мати таку ж розмірність як і . Параметр відповідає при цьому тій частині випуску продукції, яка може бути приписана дії умовно-постійних затрат факторів, які не залежать від інтенсивності випуску. (Це стосується всіх адитивних виробничих функцій). Легко можна встановити, що процес, який моделюється лінійною функцією, повинен характеризуватись постійною віддачею на одиницю масштабу і постійною граничною ефективністю факторів виробництва. Ізокванти такої виробничої функції будуть прямими лініями. Серед інших характеристик лінійної функції можна назвати: - функція однорідна першої степені; - гранична продуктивність одного з факторів постійна; - еластичність випуску по факторах обернено пропорційна його середній продуктивності.

Виробнича функція Алена має вигляд (для двох факторів) .

Функція Аллена за a₁, a₂ > 0 призначається для формалізованого опису виробничих процесів, у яких надмірне зростання будь-якого з чинників негативно впливає на обсяг випуску продукції. Зазвичай така функція використовується для формалізованого опису дрібномасштабних виробничих систем з обмеженими можливостями переробки ресурсів.

Дворежимна обмежена виробнича функція CES

Функція є однорідною, й еластичність заміщення чинників є постійною. Функція CES застосовується у разі відсутності точної інформації щодо рівня взаємозаміни виробничих чинників, і разом з тим є підстави вважати, що цей рівень суттєво не зміниться за зміни обсягів залучених ресурсів, тобто коли економічна технологія має властивість певної стійкості щодо певних пропорцій чинників. Функція CES (за наявності засобів оцінки її параметрів) може використовуватись для моделювання систем будь-якого рівня. Її можна записати у вигляді Належить також відзначити, що подібним чином можна побудувати дворежимні обмежені функції Кобба-Дугласа( ), Солоу( ) і ін.

Багаторежимна виробнича функція

Загальний вигляд багаторежимної функції можна представити у вигляді

Такого типу виробнича функція використовується для моделювання процесів, в яких рівень віддачі кожної нової одиниці ресурсу стрибкоподібно міняється в залежності від співвідношення факторів. Багаторежимна виробнича функція однорідна і з еластичністю по першому аргументу у вигляді згладженої - рівневої спадної ступінчастої функції. Згладжування здійснюється шляхом переходу від кусочно-постійної функції до функції виду .

Функція лінійного програмування

Функцію лінійного програмування можна представити у вигляді Y=min(x₁/a₁₁, x₂/a₁₂)+…+min(x₁/a_k₁,x₂/a_k₂). Має сенс використовуватися в тих випадках, коли випуск продукції є результатом одночасного функціонування k фіксованих технологій, що використовують ті самі ресурси.

Гранична продуктивність по першому (другому) фактору є неспадна (незростаюча) багатоступінчаста функція від з нульовим нижнім рівнем.

Виробнича функція Сато

Загальний вигляд виробничої функції Сато можна представити у вигляді добутку виробничих функцій Кобба-Дугласа та функції з постійною еластичністю заміщення (CES). Y=(a₀x₁^a¹x₂^a²)(a₁x₁^a²+a₃x₃^a⁴)^a⁵.

Функції Сато досить гнучкі в застосуванні, адже, як доведено при належному доборі її параметрів можуть бути застосовані до будь-якого виробничого процесу. Таким чином, можна стверджувати, що функції Сато заповнюють всю множину можливих параметрів виробничих функцій.

9. Економічна система та її особливості, характерні властивості економічних систем. Особливості економічних систем.

Економічна система - складна, цілеспрямована динамічна система, яка здійснює виробництво, реалізацію та споживання матеріальних благ для досягнення сформульованої суспільством мети. З мат-ї точки зору, ЕС - сукупність (комплекс) взаємоувязаних параметрів, що характеризують стан та розвиток економічного об'єкту, призначеного для виконання певного завдання. Властивості: складність(велику кількість різних елементів та існуючих між ними розмаїтих прямих та зворотних зв'язків), динамічність(перебуває у постійному розвитку), стохастичність(постійно зазнають дії природних факторів та ринку), емерджентність(появи деякої нової властивості системи, яка не належить її складовим, а породжується системою в цілому), цілісність(вся вона в цілому і окремі її частини(підсистеми) функціонують заради однієї мети поставленої суспільством). Особливості: інерційність, ієрархічність, адаптивність, недетермінованість, здійснюються людиною.

10. Способи побудови вир-чих функцій: з допомогою монотонних перетворювачів, приклади; мотоди суперпозицій.

Поняття ВФ певного об’єкта як функції, що разом з областю визначення найкращим чином апроксимує агреговану економічну технологію t, визначає строгу послідовність дій для побудови ВФ.

Оскільки ВФ будується в результаті використання обчислювального методу та оптимізації V, етапом у цій побудові є використання так званих пробних функцій та областей їх визначення, тобто вибір бінарного відношення r_t на множині обчислюваних функцій. Вибір цього відношення відіграє визначальну роль у побудові ВФ, оскільки в нього входить і визначення виду функції, і формування принципів оцінювання параметрів. Для цього потрібно зібрати, опрацювати й використати необхідну інформацію щодо виробничого процесу та впливу на нього зовнішніх умов, сформулювати цілі й завдання, для розв’язання яких будується ВФ, проаналізувати засади існування та властивості економіко-технологічної функції t; як правило, попередньо фіксується система показників оцінки ресурсів і випуску (m, n). Виокремлюють такі етапи побудови ВФ:

Етап 1. Формулювання цілей побудови ВФ.

Етап 2. Системний аналіз об’єкта, що моделюється.

Етап 3. Економічний якісний аналіз об’єкта.

Етап 4. Визначення системи показників виробничої функції (m, n).

Етап 5. Формування інформаційної бази для аналізу технології та для побудови ВФ.

Етап 6. Аналіз існування та властивості економічної технології.

Етап 7. Визначення принципів порівняння функцій щодо їх наближення до технології t (формування відношення) r = r_t.

Етап 8. Визначення обчислювального алгоритму V для оптимізації відношення r_t.

Етап 9. Підготовка (вибір) програмного забезпечення щодо реалізації алгоритму на комп’ютері.

Етап 10. Обчислення ВФ та її використання.

Розгляньмо двофакторну функцію:

y = j₁(x₁, x₂). (5.8)

Аргумент x₂ цієї функції розглянемо як узагальнений показник, що залежить також від двох інших чинників x₃, x₄:

x₂ = j₂(x₃, x₄),

де j₂ — деяка функція. Підставляючи цей вираз у формулу (5.8), отримаємо трифакторну функцію

y = j₁(x₁, j₂(x₃, x₄)),

що виражає залежність показника від аргументів x₁, x₃, x₄. Цей процес можна продовжити, вважаючи, зокрема, що х₃, у свою чергу, залежить від деяких чинників.

У загальному вигляді: якщо задано (п – 1) двофакторних функцій j₁(x₁, x₂), j₂(x₃, x₄), j_n_–1(x_2n–3, x_2n–2), то дістанемо п-факторну функцію:

y = f(x₁, ..., x_n)

у результаті послідовної підстановки їх. Операція такої підстановки (суперпозиції) має очевидний економічний сенс: другий аргумент, наприклад двофакторної функції, послідовно подається у вигляді залежності від показників нижчих (деталізованих) рівнів. Неважко перевірити такі властивості операції суперпозиції:

а) якщо j₁, …, j_n_–1 — неспадні функції, то f — також неспадна функція;

б) якщо j₂, …, j_n_–1 — лінійно-однорідні функції, а j₁ — однорідна функція ступеня однорідності g, то f — однорідна функція ступеня однорідності g;

в) якщо j₁, …, j_n — увігнуті неспадні функції, то f — увігнута неспадна функція.

Отже, якщо двофакторні функції j₁, …, j_n_–1 є неокласичними, то отримана в результаті їх суперпозиції функція f також буде неокласичною.

11. Інформаційні системи. Їх характеристика. Види ІС, характеристика. Довідкові, пошукові (документальна і фактографічна), керуючі, інтелектуально-інформаційні, експертні, СП та інші.

ІС-цілісна сукупність програмних продуктів, з допомогою яких в автоматизованому режимі можна реалізувати одну або декілька дій(етапів) процесу вироблення рішень. Класи ІС: інформаційно-довідкові(с-ми реєстрації, переробки і зберігання інф-ї); інформаційно-пошукові(для зберігання і пошуку документів,відомостей чи певних фактів); інформаційно-пошукові фактографічні(видання відповідей на інф-ні запити фактів,які цікавлять споживача.); інформаційно-пошукові документальні(для пошуку науково-технічних документів: статей, книг, описів до авторських свідоцтв і патентів); інформаційно-керуючі(керуючі дії в них спрямовані на організацію поведінки колективів людей і мають інформаційний характер); інформаційно-логічні системи(здатні виконувати операції, імітуючи інтелектуальні функції людини).

12. Науково-технічний прогрес як основний чинник зміни виробничих функцій та його різновиди. Поняття автономного НТП. Способи врахування автономного НТП у виробничих функціях (виділення технологічних періодів, врахування нейтральності). Види нейтральності.

Як відомо, технології виробництва змінюються з часом внаслідок зміни рівня технічних знань людей,удосконалення машин і матеріалів.Таким чином серед чинників, які обумовлюють зміни в технології на промисловому підприємстві, найважливішим є науково-(НТП).В теорії виробничих функцій розрізняють два основних типи НТП: автономний та індуктивний.Автономний НТП можна визначити, як все те, що з часом приводить до зростання обсягу випуску без збільшення обсягів затрачуваних ресурсів.За автономного НТП підприємство використовує розробки, створені за його межами.Фактор часу , вводиться у виробничу функцію двома основними способами. В обидвох випадках вважається, що дія НТП проявляється через зміну факторів виробничої функції: одного або кількох, однак при першому способі приймається скачкоподібна зміна параметрів, а при другому - неперервна їх зміна. Ще спостерігається дія деякого додаткового фактора, адже відбувається певне зростання випуску навіть при постійності затрат попередніх факторів. Саме незалежність цього "додаткового фактора" від економічних змінних пояснює, чому цей тип НТП названо автономним.

М.Браун і де Кані розробили процедуру послідовного виділення технологічних періодів.Ідея методу полягає в наступному. Спочатку будується регресія по перших спостереженнях часового ряду. Потім до них + ще наступних членів часового ряду і будується регресія по всіх спостереженнях, а також по групі з спостережень. Далі використовується процедура перевірки на структурну стійкість. Якщо вичислене значення використаної для цього статистики не перевищує теоретичне при 5%-му рівні значимості, то вважають, що весь ряд з спостережень породжений однією й тією ж структурою і до спостережень добавляють наступні спостережень до тих пір, поки не буде виявлено структурний скачок.

13. Пізнавальна роль моделі та її розвиток. Поняття моделі. Розвиток та класифікація моделей. Адекватність моделі.

Модель - це штучний, створений людиною, об'єкт довільної природи, який заміщає або відтворює досліджуваний об'єкт так, що його вивчення може принести нову інформацію про цей об'єкт.У кібернетиці модель є фундаментальним поняттям, що визначає методологію дослідження кібернетичних систем. Дослідження реальних об'єктів на їх моделях називається методом моделювання. Можна виділити ряд основних історичних етапів:1)Матеріальні моделі.2)Діючі матеріалізовані моделі. 3)Чуттєво-наглядні. 4)Знакові м.(модель міжгалузевого балансу). 5)Мат.м. 6)Інформаційні м. В кібернетиці переважно застосовуються знакові, інформаційні та математичні моделі, які будуються на основі математики, логіки та реалізуються на комп'ютерній техніці.

Надскладні кібернетичні системи - це практично завжди системи ймовірнісні, динамічні з нелінійними залежностями та неперервними змінними. Моделі можуть бути детерміновані і ймовірнісні. Застосовуються і статичні, в яких не враховується залежність основних характеристик системи від часу. Часто застосовують лінійні. Системи можуть описуватись моделями як з неперервними, так і з дискретними змінними. Це цілком допустимо, якщо результати розрахунків по такій моделі отримуються із задовільною точністю. Адекватність.Однією з наважливіших проблем моделювання є визначення ступеня відповідності (подібності) моделі до початкового об'єкту (системи), тобто здатність моделі відображати задані властивості об'єкту із наперед заданою похибкою. При цьому часто говорять про точність параметрів реального об'єкта та значень тих же параметрів розрахованих на підставі побудованої математичної моделі.

Оцінку адекватності пари "об'єкт - модель" можна здійснити використовуючи поняття ізоморфізму або гомоморфізму.

14. Науково- технічний прогрес як чинник зміни виробничих функцій. Понття індуктивного НТП та та підходи його врахування при побудові НТП. Поняття «ефект навчання». Динамічна виробнича функція Ерроу

Як відомо, технології виробництва змінюються з часом внаслідок зміни рівня технічних знань людей,удосконалення машин і матеріалів.Таким чином серед чинників, які обумовлюють зміни в технології на промисловому підприємстві, найважливішим є науково-(НТП).В теорії виробничих функцій розрізняють два основних типи НТП: автономний та індуктивний. Індуктивний НТП,проявляється через підвищення ефективності виробничих фондів в результаті створення нового устаткування і технологій, вдосконалення кваліфікації працівників."ефект навчання" врахування індуктивного НТП запропонував К.Ерроу. Він для цього використав, так званий, "ефект навчання". Суть його полягає в тому, що навчившись виконувати певну роботу, працівники здатні випускати більше продукції за одиницю часу. К.Ерроу використав ефект навчання при виводі виробничої функції з врахуванням індуктивного НТП. У відповідності з ефектом навчання потреба в працівниках для випуску додаткової одиниці продукції тісно пов'язана з сумарним обсягом уже випущеної продукції.При умові повної зайнятості, обсяг випуску тим більший, чим більше залучено працівників.Обсяг виробництва та рівень кваліфікації пов'язані одне з другим позитивним зворотним зв'язком: чим більше виробляють, тим більше відкривають або раціоналізують.

15. Економіко-математичні моделі. Описові – оптимізаційні, регресійні та інші. Приклади економіко-математичних моделей. Види оптимізаційних моделей та їх приклади

Економіко-математична м. - концентрований вираз всіх суттєвих взаємозв'язків та закономірностей процесу функціонування економічної системи у математизованій формі.В цілому математичні моделі можна в грубому наближенні розділити на два класи - аналітичні та імітаційні.

Метою розробки і застосування економіко-математичних моделей є підвищення якості планування (керування), яке забезпечується оптимізацією та збалансованістю розрахунків.Відповідно аналітичні моделі можна розглядати як описові (балансові) та оптимізаційні. До описових можна віднести: класичну модель ринку Дж.Кейнса, модель "затрати-випуск" Леонтьєва, динамічна модель економічного росту фон Неймана, модель конкурентної економіки Ерроу-Дебре-Мак-Кензі, модель економічного зростання Солоу, виробничі функції (Коба-Дугласа, СЕS, Гутенберга, Хайнека).Кореляційні моделі описують статистичні взаємозв'язки в економічних процесах, встановлюють різні нормативи, наприклад трудових, вартісних, по затратах матеріалів або інших ресурсів. Оптимізаційні моделі. Розглянемо класифікацію методів економіко-математичного мод-ня по складності математичного апарату.Найбільш повно розроблено і найчастіше застосовуються моделі, що дозволяють знаходити оптимальні керуючі рішення, це моделі математичного програмування.Математична модель записується у вигляді: визначити вектор який оптимізує функції при обмеженнях Види опт. моделей:

Математичне програмування: 1)лінійне програмув: задачі оперативно-календарного планування, технічної підготовки виробництва (оптимальний розкрій матеріалів, задача про дієту, виробничі суміші і т.д), транспортні задачі, деякі задачі техніко-економічного планування (визначення оптимальної виробничої програми і ін.).2)нелінійне програмування.Моделі, в яких показник якості рішення (f) або хоч деякі з функцій gi нелінійні, відносяться до нелінійного програмування: яке в свою чергу підрозділяється на випукле та невипукле. В теорії випуклого програмування детальніше інших розроблено моделі квадратичного програмування (цільова функція має квадратичний характер), які виділено в окрему групу.Непогано розроблено, в рамках випуклого програмування, також так зване геометричне програмування, в якому f та gi є лінійною комбінацією спеціальних функцій (позіномів).Моделі математичного програмування, в яких змінні у рівняннях по своєму фізичному змісту можуть приймати лише обмежену кількість дискретних значень складають дискретне програмування.Моделі з допомогою яких розв'язуються умовно-екстримальні задачі при наявності випадкових параметрів в їх умовах, називаються моделями стохастичного програмування.До математичного програмування відносять також і динамічне. З допомогою моделі динамічного програмування можна визначити оптимальне рішення в умовах, коли на кінцевий результат впливає рішення попереднього етапу, а на нього в свою чергу результат рішення ще на попередньому кроці і т.д. прикладом такого типу задач може служити: вибір політики заміни обладнання, оптимальний розподіл амортизаційних відчислень на заміну устаткування та його відновлення, визначення оптимальних умов розширеного виробництва і т.ін.В процесі оптимізації управлінських рішень широко застосовуються також моделі, які базуються на математичній теорії графіків. До таких моделей можна віднести, наприклад, сітьове планування, яке використовується як на стадії оптимізації рішень так і при організації їх виконання, тобто, можна сказати, є наскрізними моделями оскільки використовуються на всіх етапах вироблення та реалізації рішень.

Перечислена група оптимізаційних моделей відноситься до детерміністичних. Другу велику групу економіко-математичних моделей, що застосовуються при оптимізації керуючих рішень, складають стохастичні моделі. До них відносяться: моделі теорії масового обслуговування в яких встановлюється оптимальне поєднання між розмірами основного і допоміжного виробництв і окремими частинами в середині кожного з них, якщо ці процеси мають елементи нерегулярності і можуть бути представлені як масове обслуговування;Моделі теорії надійності - з допомогою яких розв'язуються проблеми надійності та довговічності устаткування, підвищення якості продукції та праці; Моделі теорії запасів(для визначення оптимальних розмірів оборотних фондів на підприємстві, розв'язуються деякі задачі оперативно-календарного планування в серійному і масовому виробництві, визначаються стратегії оптимальних запасів); Моделі теорії ігор та теорії статестичних рішень(управління процесами взаємовідношення підприємства з ринком, страхуванням від стихійних лих, створенням сезонних запасів сировини та матеріалів); Моделі теорії інформації(вдосконалюються інформаційні потоки при керуванні, розв'язку задачпошуку та оптимального зберігання інформації та інше);Моделі теорії розкладу (задачі визначення раціональної послідовності виконання операцій у виробництві, встановлення оптимальної тривалості виробничого циклу вибору).

16. Виникнення, застосування та види міжгалузевих балансових моделей. Суть балансових моделей та їх розробка та застосування в різних країнах. Статичні і динамічні моделі (по часу, модель Неймана, модель Канторовича). Моделі з прямою та зворотною рекурсією.

Ідею побудови балансових моделей вперше висловив Ф.Кене, який дав схему економічного відтворення.Вперше МБМ в сучасному розумінні була побудована в Радянському Союзі ще в двадцятих роках минулого століття і була зроблена спроба провести аналіз структурних взаємозв'язків розвитку народного господарства.Через десять років ідея сучасного міжгалузевого балансу чітко сформулював, обґрунтував та застосував американський вчений В.Леонтьєв, за що одерж. Нобелівську премію. Ці моделі були складені більш як в 54 країнах, найбільше їх застосов.у Радянському Союзі, США та Великобр. Найбільш відомою такою моделлю економіки США є так звана мерілендська модель,модель середньострокового планування е-го розвитку (на 5р.) у Франції.Конструктивна особливість цієї моделі полягає в тому, що вона об'єднює звичайні рівняння МБ з економетричними рівняннямиШироке заст-я отримав метод побудови міжгалузевого балансу в країнах що розвиваються. Ознакою міжгалузевих балансових моделей є співвідношеня "витрати-випуск" у формі матриць міжгалузевого балансу, де кожен вид продукції представлений тільки одним виробничим способом, а кожним способом випускається тільки один Серед балансових моделей чітко розрізняються статичні та динамічні моделі. В свою чергу можна виділити так звані звітні балансові моделі та планові. Складнішими і досконалішими можна вважати динамічні балансові моделі, які описують економіку в збалансованому розвитку. Серед них зокрема належить відзначити класичну модель Неймана, оптимізаційну динамічну модель Канторовича. Динамічні моделі умовно поділяються на коротк-ві, середньостр-ві (5-10 р) і довгості-ві (10 і більше р).Серед динамічних балансових моделей виділяють: моделі з прямою рекурсією.Як приклад рекурсивної моделі розглянемо збільшену динамічну модель міжгалузевого балансу. Ця модель розробляється у повному виразі. Вона включає три типи балансових рівнянь: баланси виробництва і розподілу продукції, баланси основних фондів і баланс трудових ресурсів модель із зворотною рекурсієюВідмінною рисою структури є виділення в них двох блоків умов:а) блоку розрахунків для останнього року досліджуваного періоду;б) блоку розгорнутих по інших даних цього ж періоду.Її можна записати, у вигляді.

Модель Неймана. Раніше було розглянуто трисекторну нелінійну динамічну модель економіки. Коли йдеться про розгляд багатьох галузей, доводиться відмовлятися від нелінійності через численні труднощі, що пов’язані з нею. Проте дослідження навіть лінійних динамічних багатогалузевих моделей також становить певні труднощі, хоча й приводить до змістовних економічних висновків.

Модель Неймана є узагальненою моделлю Леонтьєва, оскільки припускає виробництво одного продукту різними способами (у моделі Леонтьєва кожна галузь виробляє один продукт, і жодна інша галузь не може виробляти цей продукт).

У моделі подано n продуктів і m способів їх виробництва, кожний j-й спосіб задається вектором-стовпцем витрат аj і вектором-стовпцем випусків bj у розрахунку на одиницю інтенсивності процесу: