Матрицалы тедеулер

1. AX=XB тріндегі тедеулер

AX=XB (1)

тріндегі матрицалы тедеуді арастырайы, мндаы A, B берілген квадрат матрицалар (р трлі лшемді), X – ізделінді тік брышты матрица: .

С рісінде А матрицасыны элементар блгіштерін:

жне осы рісте В матрицасыны элементар блгіштерін арастырайы:

деп матрицаларыны алыпты Жордан формасын, ал деп сйкес кшу матрицаларын белгілейік:

(2)

Онда

Мнда

-А матрицасыны Жордан торы;

-бірлік матрица;

(3)

- -ші ретті нильпотентті Жордан торы.

(1) тедіктегі матрицаларыны орнына (2) рнекті ойса, мынаны аламыз:

(4)

(4)-ші тедікті екі жаында сол жаынан -ге, ал о жаынан -а кбейтейік:

(5)

Жаа белгілеулер егізіп:

, (6)

(5)-ші тедеуді былай жазайы:

(7)

Егер біз (7) тедеуді -а атысты шеше алатын болса, онда (1) тедеуді де шешімі -ке атысты оай табылады, себебі (6)-дан

(8)

болатындыы шыады.

Ізделінді матрицасыны рылымын зерттейік. матрицаларыны блокты – диагоналды тріне сйкес матрицасы блоктара блінеді:

мндаы

Блокты-диагональды матрицалара кбейту ережесін олданып, (7) кбейтуді орындайы:

ал бл мынаан тепе-те:

(9)

(9) тедеуді р айсысы шін тмендегі екі жадайды бірі орындалуы ммкін.

Тедікті екі жаын кбейтіп жне (9)-а сйкес -ны -мен алмастырып мынаны аламыз:

мндаы

Осы амалды рет айталап, мынаны аламыз:

(10)

Мынаны ескерейік:

(11)

Егер болса, онда

атынастарыны е болмаанда біреуі орындалады, сондытан да (11) тедікті негізінде не , не жне (10) тедік мына трге ие болады:

(12)

арастырылып отыран жадайда боландытан, онда (11) тедіктен

(13)

болатындыы шыады.

Бл жадайда (9) тедеу мына трге ие болады:

(14)

Мндаы матрицалары арнайы рылыма ие болады: яни, бірінші диагональ астындаы элементтер бірге, ал аландары нлге те. Осыны ескере отырып, жне мндеріне сйкес мынаны аламыз:

2.1. Онда

(15)

Яни тедеуді шешімі квадрат матрица болады, оны бас диагональіні астындаы барлы элементтер нлге, бас диагональіні элементтері – андай да бір параметріне, бірінші диагональ астындаы элементтер – андай да бір параметріне жне т.с.с. те болады.

2.2. Онда

(16)

2.3. Бл жадайда

(17)

(15)-(17) матрицалары дрыс жоары шбрышты формаа ие болады деп атайды. Олардаы кез келген параметрлерді саны те.

Мысал 1. (Дрыс жоары шбрышты формадаы матрица).

Сонымен, (14) тедеуді шешімі ретінде кез келген дрыс жоары шбрышты матрицаны аламыз.

Мынадай белгілеу егізейік:

Мндаы

Ендеше -ы кез келген параметрлер саны (онда -ы да)

те.

(7) тедеуді шешімін деп белгілейік. Онда алынан нтижені былай тжырымдауа болады.

Теорема 1. AX=XB (1) , мндаы

тріндегі тедеуді жалпы шешімі формуласымен табылуы ммкін.

Мндаы –

тедеуіні жалпы шешімі

Егер болса, онда болады, егер болса, онда - кез келген дрыс жоары шбрышты матрица болады.

матрицасы N кез келген параметрлеріне туелді:

мндаы

- -теналынады, егер параметріне 1 мнін , ал аландарына нл мнін берсек, онда ол (1) тедеуді дербес шешімі болады. Нлдік емес шешімі шін дербес шешімдері сызыты туелсіз болады жне фундаментальді шешімдер жйесін рады. Расында да, егер блай болмаса, онда тривиалды емес, яни матрицасыны андай да бір параметріні нлдік емес мнінде, сызыты комбинациясы бар болады, ендеше нлге те болады, ал блай болу ммкін емес.

Салдар 1. Егер матрицаларыны меншікті мндері бірдей болмаса, онда AX=XB (1) тедеуді тек нлдік шешімдері ана боладлы, яни X=0.

Мысал 2. (AX=XB тедеуіні шешімі).

Тедеуді жалпы шешімін табу керек:

А матрицасы шін жорданны алыпты формасын жне U кшу(кшіру) матрицасын табайы. Матрицаны сипаттауыш тедеуі мынаан те:

Ендеше, еселігі 3-ке те жалыз ана меншікті мні болады.

Меншікті мнді сипаттауыш матрицаа ояйы:

Демек, меншікті мніне сйкес келетін меншікті векторлар кеістігіні базисін райтын векторларды саны те.

меншікті мніне сйкес келетін меншікті векторлар кеістігі мына трге ие болады:

Меншікті вектора осылан вектор болатындай шартты іздейік:

Бдан, егер болса, онда жйені шешімі болады.

деп алайы, онда меншікті вектор болады, ал оан осылан вектор ретінде векторын, екінші меншікті вектор ретінде векторын аламыз. Осылайша жордан базисін аламыз: