Тйіндес кеістіктегі ортогональ толытауыш

Анытама 5. Айталы - векторлы кеістікті кез келген ішкі кеістігі болсын. -а тиісті барлы векторлара ортогональ -а тиісті ковекторларды жиынын кеістігіне ортогональ толытауыш деп атайды жне оны деп белгілейді:

Басаша айтанда, кеістігіне ортогональ толытауыш - бл , -а тиісті векторларда нлге айналатын, -а тиісті барлы сызыты функцияларды жиыны.

ішкі кеістігіні ортогональ толытауышы баса кеістігінде жатады.

Теорема 2. ішкі кеістігіні ортогональ толытауышы кеістігіні ішкі кеістігі болып табылады, сонымен атар

Мысал 3. (Ішкі кеістікке ортогонал толытауыш). -де векторлар жйесін арастырайы, олар векторларына созылан сызыты абыша болып табылады. - -те базисі бар ішкі кеістік. -ге ортогональ толытауыш

(18)

тріндегі сызыты функциялар жиыны болатындыын крсетейік.

Расында да, кез келген векторы тріне келтірімді. (18) трдегі функциясы шін есептейік:

Осылайша, (18) трдегі кез келген функция ішкі кеістігіні базисіне ортогональді, ендеше осы ішкі кеістікті кез келген векторына да ортогональ болады, длелдеу керегі де осы еді.

Мысал 4. (ортогональ толытауыш жне оны лшемі). Берілген ішкі кеістігі шін векторлы кеістігіні векторларына созылан сызыты абышаны ортогональ толытауышын райы. боландытан, онда базисі ретінде векторларын алуа болады. Бдан , ендеше .

функциясыны трін анытау шін

тепе-тедігін олданайы.

Айталы - -те рекет ететін кез келген сызыты функция болсын. параметрлеріні андай мнінде функциясы векторларына ортогонал болатындыын анытайы. жйесін шешейік:

бдан

аламыз. Осылайша,

Базис ретінде келесі функцияларды алуа болады:

 

Тйіндес бейнелеу

жне екі сызыты кеістігін, сонымен атар оан тйіндес жне кеістіктерін арастырайы. Енді жне кеістіктеріні, сонымен атар жне кеістіктеріні бейнелеуін арастырып, осы бейнелеулер арасында зара бірмнді сйкестік болатындыын орнатайы.

Айталы андай да бір сызыты бейнелеуі берілсін.

Анытама 6. бейнелеуі шін тйіндес бейнелеу деп аталады, егер кез келген жне кез келген шін тмендегі атынас орындалса:

(19)

Теорема 3. Кез келген берілген сызыты бейнелеуі шін тйіндес бейнелеуі бар, сызыты жне жалыз болады.

Мысал 5. (Тйіндес бейнелеу).

болатындай бейнелеуі жне ковекторы шін

тйіндес бейнелеуі кезіндегі оны бейнесін табайы:

Айталы, жне кеістіктерінен жне базистері тадап алынсын. Бл базистара жне тйіндес кеістіктерді жне биортогональды базистері сйкес келеді.

Айталы сызыты бейнелеуі жне оан тйіндес бейнелеуі берілсін.

сызыты кеістікті рбір Е, Н базистер жбы жне сызыты бейнелеуі осы бейнелеуді матрицасымен байланысты. Берілген базистегі сызыты бейнелеуді матрицасы деп матрицасын айтады, мнда j-шы баан векторыны координатынан ралан, яни Н базисінде j-шы базистік векторды бейнесіні координаты болып табылады:

Берілген матрица мен тйіндес бейнелеуді арасындаы байланысты зерттейік.

Айталы, Е,Н базисіндегі бейнелеуі матрицасына ие болсын. биортогональ базистеріндегі тйіндес бейнелеуді матрицасыны рылымын анытайы.

Теорема 4. Айталы сызыты бейнелеу, Е жне Н – сйкесінше жне кеістіктеріні базистері, - кеістіктеріні биортогональ базистері болсын. Онда егер бейнелеуі Е жне Н базистерінде А матрицасына ие болса, онда биортогональ базистерінде тйіндес бейнелеуі матрицасына ие болады.

Длелдеуі. А жне бейнелеулеріні матрицасыны анытама бойынша келесі жіктелуден аныталады:

(20)

(19) тйіндес бейнелеуді аныталатын атынасынан мынаны аламыз:

(21)

Бл тедікті о жа жне сол жа бліктерін жеке – жеке (20) олданып есептейік:

Алынан рнектерді (21) ойып, болатындыын аламыз, ал бл дегенді білдіреді.

Мысал 6. (Тйіндес бейнелеуді матрицасы).

(22)

базистерімен берілген жне екі сызыты кеістікті жне сызыты бейнелеуін арастырайы:

тйіндес бейнелеуді биортогональ базистегі матрицасын табайы.

биортогональ базисін 1-мысала сйкес анытайы. биортогональ базисін анытау шін жйені шешеміз:

.

Бдан мынадай ковекторлардан трады:

(23)

табу шін жйені шешеміз:

Бдан тмендегідей ковекторлардан ралады:

(24)

Е жне Н базисіндегі бейнелеуіні матрицасын табайы. Ол шін Е базисіні бейнелеуіндегі базистік векторларыны бейнесін есептейік:

Н базисіндегі ізделінді векторыны координатты баанын деп белгілейік:

(25)

координатын табайы. Ол шін (25) тедікті атысты шешеміз:

Осылайша, Е жне Н базисіндегі бейнелеуіні матрицасы мына трге ие болады:

Ендеше базистеріндегі тйіндес бейнелеуді матрицасы мына трге ие болады: