Унитар матрицаларды анытамасы жне асиеттері

векторлар жйесі ортогональ деп аталады, егер

Егер де бл векторлар нормаланан болса, яни

онда мндай жйені ортонормаланан деп атайды.

Теорема 1. Кез келген ортонормаланан жйе сызыты туелсіз болып табылады.

Длелдеуі. ортонормаланан векторлар жйесі шін

тедігін арастырайы жне ол болан кезде ана орындалатындыын крсетейік. Тедікті о жаынан

тйіндесіне кбейтіп, мынаны аламыз:

 

ал бл боланда ана ммкін, бдан жйесіні сызыты туелсіздігі шыады.

Кез келген сызыты туелсіз векторлар жйесін берілген жйені сызыты абышасындай болатын ортонормаланан жйеге трлендіруге болады. Мндай трлендіруді Грам-Шмидті ортогоналдау процессін олданып жргізуге болады.

Айталы - комплексті векторлы кеістіктегі сызыты туелсіз векторлар жйесі жне - ізделінді ортонормаланан жйе болсын. векторлары тмендегі формулалар бойынша рекуррентті есептеледі:

(1)

мндаы - векторыны евклид зындыы.

Мысал 1. (Грам-Шмидті ортогоналдау процессі).

Сызыты туелсіз векторлар жйесін ортонормалайы.

Грам-Шмидт процессіні рбір -шы адамында векторлары тек ана алашы сызыты туелсіз векторларды сызыты комбинациясы трінде рнектеледі, яни

(2)

болатындай сандары бар болады.

Грам-Шмидт процессін кез келген аырлы немесе саналымды (сызыты туелсіз болуы міндетті емес) векторлар жйесіне олдануа болады.

Анытама 1. матрицасы унитар деп аталады, егер болса. Егер сонымен атар болса, онда ортогональды деп аталады.

Мысал 2. (Унитар матрица). Айталы мына трге ие болсын:

мнда – наты параметр. Бл матрица бірлік матрицадан жне позицияларындаы элементтерімен ана ерекшеленеді, мнда олар сйкесінше жне алмастырылады. матрицасы -а тисті кез келген индекстер жбы жне кез келген брышыны шамасы шін унитар (ортогональді) болып табылады. Мысалы, боланда мынаны аламыз:

.

Теорема 2. (унитарлылы критерийі жайлы). Тмедегі тжырымдар матрицасы шін эквивалентті болады:

1. унитарлы;

2. ерекше емес жне ;

3.

4. унитарлы;

5. - баандары ортонормаланан жйе райды;

6. - жолдары ортонормаланан жйе райды;

7. Кез келген векторы шін тедігі орындалады (яни унитарлы матрицалар изометриялы).

 

Теорема 3(QR-жіктелу жайлы). Егер болса, онда ортонормаланан баандары бар матрицасы жне

болатындай жоары шбрышты матрица бар болады. Егер болса, онда Q унитарлы.

Длелдеуі. Егер жне болса, онда А матрицасыны QR-жіктелуі А матрицасыны баандарына Грам-Шмидті процессін олдананда -де сызыты туелсіз жйені райтын нтижені матрицалы жазылуын аламыз.

Айталы, матрицаны баандары сызыты туелсіз болсын. Грам-Шмидті алгоритмін осы жадай шін жалпылайы. Грам-Шмидті ортогоналдау процессіні нтижесінде болатындай -лар шін (яни бл сызыты комбинация болып табылады), болсын делік. Керісінше жадайда, (арапайым Грам-Шмидт процессіндегідей).

векторлары ортогональ жйені райды, оны рбір элементі нормаланан немес нлдік.

рбір векторы – бл векторларыны сызыты комбинациясы жне керісінше. Бдан,

(3)

болатындай сандары табылады.

, егер болса. (4)

Осылайша, -нан жоарыда сипатталан процедураны кмегімен жоары шбрышты матрицаны

жне векторларын табайы.

Матрицасы ортогонал баандардан трады (кейбіреулері нлдік болуы ммкін) жне (3)- негізінде болады.

Егер жне (яни А ерекше емес) болса, онда Q – 2-теореманы (5-асиеті бойынша) унитарлы жне матрицасыны барлы диагональды элементтері нлден згеше. Бл жадайда матрицасы – жоары шбрышты боландытан, векторы векторыны еселігі болады жне боланда векторы бірлшемді кеістікте жатады, ол векторларыны сызыты абышасындаы векторларыны сызыты абышасыны ортогональ толытауышы болып табылады. Бдан, рбір векторы модулі бойынша 1-ге те скаляр кбейткішке дейінгі длдікпен бірмнді аныталады. Сондытан да -ды -а ауыстырып:

жне -ды -а ауыстырып:

теореманы тжырымында айтылан сол жалыз жіктеуді аламыз.

Егер А матрицасыны баандары туелді болса, онда Q-дан нлдік емес баандар жиынын (ортонормаланан) алып жне оны -гі ортонормаланан базиске дейін толытырамыз. Мндай діспен алынан жаа векторларды деп белгілейміз. Енді Q-даы бірінші нолдік баанды мен ал екіншіні -мен жне т.с.с. ауыстырамыз. Алынан матрицаны деп белгілейік. Ол ортонормаланан баандардан трады жне , себебі -ы жаа баандар -ы нлдік жолдара сйкес келеді. Осылайша, - ажетті трдегі жіктеу.

Мысал 3. (QR-жіктеу).

матрицасы шін QR-жіктеуін райы. Ол шін Грам-Шмидті ортогоналдау процессін олданайы. А матрицасыны баандарын

деп белгілейік. 1-мысалда крсетілгендей Грам-Шмидті ортогоналдау процессіні нтижесінде векторлар жйесі ортонормаланан векторлар жйесіне трленеді, мнда

сонымен атар,

векторларынан матрица рамыз

Онда жне байланыстыратын тедіктерден мынаны аламыз:

, мндаы .

2. Унитар састы

Унитар матрица шін болса, онда аныталан трлендіруі сас болып табылады, ол унитар састы деп аталады.

Анытама 2. матрицасы матрицасына унитар сас деп аталады, егер болатындай унитар матрицасы бар болса. Егер - ды наты етіп тадап алуа болса(ендеше ортогоналды болатындай), онда матрицасы А матрицасына ортогональ сас деп аталады.

Унитар матрицаларды екі арнайы трін арастырайы, олар унитар састы трлендіруін жзеге асырады, бл меншікті мндерді есептеу шін маызды.

Мысал 4. (Жалпа (тегіс) айналу). 2-мысалдаы матрицасы жазытыта координатыны ( брыша) айналуын жзеге асырады. Егер матрица сол жаынан -а кбейтілсе, ендеше мнда тек ана -ші жне -ші жол згереді, ал егер матрица о жаынан кбейтілсе, онда тек ана -ші жне -ші баан згереді. Осылайша, кмегімен жзеге асырылатын унитар сас матрицаа кшкенде тек ана жне нмірлі жол жне баандар згереді. Тегіс айналу кмегімен алынатын унитар састы меншікті мндерді есептеген кезде олданылады.

Мысал 5. (Хаусхолдер трлендіруі). Кез келген нлдік емес векторын алайы жне матрица райы

мндаы . -бл о скаляр, - матрица екендігін ескерейік. Егер векторы нормаланан болса, онда 2-ге те болуы керек, ал матрицасы мына трге ие болу керек:

.

детте матрицасын алдын ала нормаланан векторын тадап алу арылы рады.

Кез келген матрицасы Хаусхолдер трлендіруі деп аталады.

Теорема 4. -а тиісті А жне В унитарлы сас матрицалары шін келесі тедік орындалады:

Длелдеуі сас рлендіруге атысты матрица ізіні инварианттылыыны негізінде алынатын тмендегі тедіктер тізбегінен алынады:

Теорема 5. (Унитар триангулярлау жайлы Шур теоремасы). Айталы матрицасы берілсін жне оны андай да бір меншікті мндеріні реті бекітілсін. Онда

диагоналында элементі тратын жоары шбрышты матрица болатындай унитар матрицасы бар болады. сонымен атар, егер жне оны барлы меншікті мндері наты болса, онда -ды ортогонал етіп тадап алуа болады.

басаша айтанда, кез келген комплексті матрица сас шбрышты матрицаа унитарлы болады.

Мысалы, тмендегі жне матрицалары трлендіруіні унитар матрицасымен унитар сас:

Салдар 1. Айталы болсын. шін р трл меншікті мні бар (ендеше, диагоналданатын) жне

болатындай матрицасы бар болады.

Басаша айтанда, кез келген матрица шін оан соншалыты жаын диагональданатын матрица бар болады.

Салдар 2. Айталы болсын. шін

жоары шбрышты матрица жне шін болатындай, ерекше емес матрицасы бар болады.

Басаша айтанда, кез келген матрица кез келген кішкентай диагональдан тыс элементтері бар жоары шбрышты матрицаа сас болады.

Теорема 6. Егер матрицасы меншікті мндеріне (еселігін ескергенде) ие болса, онда

Длелдеуі. Шур теоремасын олданып деп жазамыз. Онда ізді жне матрицаны анытауышыны сас трлендіруге атысты инварианттылыын ескерсек мынаны аламыз:

(5)

(6)

ал бл длелдеуді аятайды.