алыпты матрицаларды асиеттері

1. алыпты блокты-шбрышты матрицасы блокты-диагональды болып табылады.

2. Диагональды матрица алыпты болып табылады.

3. Айталы - кез келген матрица, болсын. онда матрицасы алыпты болып табылады.

4. Айталы А - алыпты матрица болсын. Кез келген полиномы шін матрицасы алыпты болады.

5. Егер А - алыпты ерекше емес матрица болса, онда -да алыпты болады.

Анытама 5. матрицасы унитарлы диагональданатын деп аталады, егер ол андай да бір диагональды матрицаа унитарлы сас болса. Дл осылай ортогональды диагональданатын матрица тсінігі егізіледі.

Осылайша, унитарлы диагональданатын матрица шін

(7)

атынасы орындалады, мндаы -диагональды, ал - унитар матрица, сонымен атар марицасыны диагональды элементтері А матрицасыны спектрін райды.

Анытама 6. (7) тріндегі рнекті А матрицасыны спектральді жіктелуі деп атайды.

Теорема 7. (алыпты матрицалар шін спектральді теорема). меншікті мндері бар матрицасы шін тмендегі тжырымдар тепе-те:

a) А матрицасы алыпты;

b) А матрицасы унитарлы диагональданатын;

c)

d) А матрицасы шін меншікті векторлардан ралан ортонормаланан жйе бар болады.

Салдар 3. алыпты матрицаны (7) спектральді жіктелудегі - унитар матрицаны баандары А матрицасыны ортонормаланан меншікті векторы болып табылады.

Мысал 7. (алыпты матрицаны спектральді жіктелуі). 6-мысалдаы А матрицасы е) – алыпты, ендеше унитарлы диагональданатын. 3-салдарды олданып, А матрицасыны (7) спектральді жіктелуін райы.

А матрицасы меншікті векторларына ие болады жне олара сйкес келетін нормаланан меншікті векторлары

болады. Диагоналында А матрицасыны меншікті мндері тратын (7)-гі диагональды матрицасы мына трге ие болады:

.

ал А матрицасын матрицасына сас трлендіруді жзеге асыратын - унитар матрица А матрицасыны нормаланан меншікті векторларынан трады жне мына трге ие болады:

болатындыы тікелей тексеріледі.

Мысал 8 (Диагоналдандыру).

Матрицасы минималды полинома ие болады ол сызыты кбейткіштерге жіктеледі. Бдан А матрицасы диагональданатын болатындыы шыады. А матрицасын диагональдауды жзеге асыратын сас трлендіру ерекше емес матрицаны кмегімен орындалады:

А матрицасы алыпты емес, себебі

Ендеше алыпты матрицалар шін спектральді теоремаа сйкес А матрицасы унитарлы диагональданбайтын болып табылады.

Анытама 7. тік брышты матрицаны сингулярлы саны – бл немесе матрицасыны меншікті мндерінен алынан теріс емес квадрат тбірлер:

Теорема 8. алыпты матрицаны сингулярлы сандары модулі бойынша сйкес сипаттауыш сандара те:

Длелдеуі. А матрицасы алыпты, ендеше, унитарлы диагональдандырылады: , мндаы , - унитарлы матрица. Онда

 

сынылан дебиеттер:

1. Тыртышников Е.Е. Матричный анализ и линейная алгебра, М., 2004-2005

2. Ланкастер П., Теория матриц, М., 1973

3. Беллман Р. Введение в теорию матриц

4. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. 1967

5. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ

6. Цехан О.Б. Матричный анализ, 2010