Задачи для самостоятельного решения
6.1. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины, имеющей следующее распределение:
а)
| Х | |||
| Р | 0,6 | 0,3 | 0,1 |
б)
| Х | -3 | -2 | |
| Р | 0,2 | 0,4 | 0,4 |
в)
| Х | -4 | ||
| Р | 0,5 | 0,4 | 0,1 |
6.2. Партия из 10 деталей содержит 4 бракованных. Наугад выбирается две детали. Найти математическое ожидание случайной величины Х, равной числу бракованных деталей среди выбранных.
6.3. Дискретная случайная величина Х принимает три возможных значения: х1=4 с вероятностью р1=0,5; х2=6 с вероятностью р2=0,3 и х3 с вероятностью р3. Найти х3 и р3, зная, что М(Х)=8.
6.4. Дискретная случайная величина имеет следующий закон распределения:
| Х | х1 | ||
| Р | 0,3 | 0,5 | р3 |
Математическое ожидание равно 3. Найти х1 и р3. Построить многоугольник распределения.
6.5. Найти математическое ожидание величины Z, если
а) Z=3X+4Y; M(X)=2; M(Y)=6.
б) Z=12X+3Y; M(X)=0; M(Y)=4.
6.6. Найти М(Х2) дискретной случайной величины, заданной законом распределения:
а)
| Х | -4 | ||
| Р | 0,2 | 0,3 | 0,5 |
б)
| Х | 0,2 | 0,5 | 0,6 |
| Р | 0,1 | 0,5 | 0,4 |
6.7. Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины: х1=-1; х2=0; х3=1, а также известны М(Х)=0,1 и М(Х2)=0,9. Найти вероятности р1, р2, р3, соответствующие возможным значениям х1, х2, х3.
6.8. Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины: х1=1; х2=2; х3=3, а также известны М(Х)=2,3 и М(Х2)=5,9. Найти вероятности р1, р2, р3, соответствующие возможным значениям х1, х2, х3.
6.9. Найти дисперсию и среднеквадратическое отклонение дискретной случайной величины, имеющей следующее распределение:
а)
| Х | -5 | |||
| Р | 0,4 | 0,3 | 0,1 | 0,2 |
б)
| Х | |||
| Р | 0,2 | 0,3 | 0,5 |
в)
| Х | -2 | ||
| Р | 0,3 | 0,1 | 0,6 |
6.10. Случайная величина принимает только два значения: 2 и –2 с вероятностями 0,5 и 0,5 соответственно. Определить дисперсию этой случайной величины.
6.11. Дискретная случайная величина имеет только два возможных значения: х1 и х2, причем x1<x2. Вероятность того, что Х примет значение х1, равно 0,6. Найти закон распределения величины Х, если М(Х)=1,4; D(X)=0,24.
6.12. Дискретная случайная величина имеет только два возможных значения: х1 и х2, причем x1<x2. Вероятность того, что Х примет значение х1, равно 0,2. Найти закон распределения величины Х, если М(Х)=2,6; (X)=0,8.
6.13. Проводится два независимых выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,8. Рассматриваются две случайные величины: Х – разность между числом попаданий и числом промахов; Y – сумма числа попаданий и числа промахов. Построить ряд распределений каждой из этих величин и найти их математические ожидания и дисперсии.
6.14. Плотность распределения непрерывной случайной величины равна f(х)=2х на промежутке (0, 1) и равна нулю вне этого промежутка. Найти функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию.
6.15. Плотность распределения постоянна на промежутке [1, 9] и равна нулю вне этого промежутка. Определить значение функции плотности, математическое ожидание и дисперсию.
6.16. Плотность распределения равна 
. Определить математическое ожидание и дисперсию данной величины.
6.17. Плотность распределения некоторой случайной величины равна 
. Найти значение А, математическое ожидание и дисперсию.
6.18. Непрерывная случайная величина задана своей функцией распределения 
. Требуется: а) найти функцию плотности; б) найти математическое ожидание и дисперсию; в) построить графики функции распределения и функции плотности.
6.19. Непрерывная случайная величина задана своей функцией распределения 
. Требуется: а) найти функцию плотности; б) найти математическое ожидание и дисперсию; в) построить графики функции распределения и функции плотности.
6.20. Охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает делать не более четырех выстрелов. Найти дисперсию числа промахов, если вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7.
6.21. На заводе работают четыре автоматические линии. Вероятность того, что в течение рабочей смены первая линия не потребует регулировки, равна 0,9, вторая – 0,8, третья – 0,75, четвертая – 0,7. Найти математическое ожидание числа линий, которые в течение рабочей смены не потребуют регулировки.
6.22. Случайная величина Х задана плотностью распределения 
в интервале 
; вне этого интервала плотность равна нулю. Найти моду и медиану данной случайной величины.
6.23. Случайная величина Х в интервале 
задана плотностью распределения 
; вне этого интервала плотность равна нулю. Найти моду, математическое ожидание и медиану случайной величины.
6.24. Случайная величина Х в интервале 
задана плотностью распределения 
; вне этого интервала плотность равна нулю. Найти моду, математическое ожидание и медиану случайной величины.
6.25. Случайная величина Х в интервале 
задана плотностью распределения 
; вне этого интервала плотность равна нулю. Найти моду и медиану данной случайной величины.
6.26. Случайная величина Х в интервале 
задана плотностью распределения 
; вне этого интервала плотность равна нулю. Найти дисперсию данной случайной величины.
6.27. Случайная величина Х в интервале 
задана плотностью распределения 
; вне этого интервала плотность равна нулю. Найти начальные и центральные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков данной случайной величины.
6.28. Случайная величина Х в интервале 
задана плотностью распределения 
; вне этого интервала плотность равна нулю. Найти начальные и центральные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков данной случайной величины, асимметрию и эксцесс.