Примеры решения типовых задач
1. Написать уравнение прямой, отсекающей на оси Оу отрезок b=-3 и составляющей с осью Ох угол 60.
Решение:
Воспользуемся уравнением прямой с угловым коэффициентом y=kx+b. По условию b=-3, а k=tg=tg60=Ö3. Итак, у= 
х-3 – уравнение искомой прямой.
Ответ: у= х-3.
2. Определить параметры k и b для каждой из прямых:
1) 3х+4у=12;
2) 2х+3у=0;
3) у=-2;
4) 
Решение:
1) 3х+4у=12; 2) 2х+3у=0; 3) y=-2; 4) 
;
4у=12-3х; 3y=-2x; k=0, b=-2. 
;
у= 
; y= 
; y=4- 
;
y= 
; k= 
, b=0. y=- 
;
y= 
; k= 
, b=4.
k= 
, b=3.
Ответ: 1) k= , b=3; 2) k= , b=0; 3) k=0, b=-2; 4) k= , b=4.
3. Дан треугольник с вершинами А(-1;1), В(1;5), С(3;-2). Написать уравнения сторон треугольника.
Решение:
Воспользуемся способом задания прямой по 2-м точкам:
АВ: 
; BC: 
; AC: 
;
; 
; 
;
. 
. 
.
Ответ: АВ: ; ВС: ; АС: .
4. Дана прямая 2х+3у-3=0 и точка М0(1;-2). Написать уравнение прямой, проходящей через точку М0: а) параллельно заданной прямой; б) перпендикулярно заданной прямой.
Решение:
1-й способ.
а) Условие параллельности двух прямых k1=k2.
Пусть уравнение искомой прямой имеет вид y=k2x+b2; 3y=3-2x; y= 
; k1= Þk2= ; у= 
b2. Так как М0(1;-2) принадлежит прямой, то -2= 
1+b2Þb2=-2+ 
, b2= . Итак, y= 
Û3у+2х+4=0.
б) Условие перпендикулярности двух прямых k1k3=-1.
Пусть уравнение искомой прямой имеет вид y=k3x+b3;k1= Þk3 
Þk3= 
; y= x+b3. Так как М0(1;-2) принадлежит прямой, то -2= 
1+b3Þb3=-2 
Þb3= 
.
Итак, 
Þ3x-2у-7=0.
2-й способ.
l di54bWxMj8FOwzAQRO9I/IO1SFwq6pA0bQlxKlSJCxyAwgc4yZJE2OsQu6n79ywnuM1oRrNvy120 Rsw4+cGRgttlAgKpce1AnYKP98ebLQgfNLXaOEIFZ/Swqy4vSl207kRvOB9CJ3iEfKEV9CGMhZS+ 6dFqv3QjEmefbrI6sJ062U76xOPWyDRJ1tLqgfhCr0fc99h8HY5WwdPL6+KcxvXie5PX+zhvTXz2 Rqnrq/hwDyJgDH9l+MVndKiYqXZHar0w7LOU0QOL1R0ILmRpvgJRK9hkOciqlP8/qH4AAAD//wMA UEsBAi0AFAAGAAgAAAAhALaDOJL+AAAA4QEAABMAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAFtDb250ZW50X1R5 cGVzXS54bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEAOP0h/9YAAACUAQAACwAAAAAAAAAAAAAAAAAvAQAAX3Jl bHMvLnJlbHNQSwECLQAUAAYACAAAACEAF3PNyvIBAADqAwAADgAAAAAAAAAAAAAAAAAuAgAAZHJz L2Uyb0RvYy54bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEAdpYf698AAAAJAQAADwAAAAAAAAAAAAAAAABMBAAA ZHJzL2Rvd25yZXYueG1sUEsFBgAAAAAEAAQA8wAAAFgFAAAAAA== " strokecolor="black [3040]"/>
 .
|
| М0(1;-2) |
| Рис.2 |
а) Из общего уравнения прямой 2х+3у-3=0 определяем координаты вектора нормали 
. Если искомая прямая параллельна заданной, то вектор будет являться нормалью и к искомой прямой (рис.2). Мы имеем нормаль и точку М0(1;-2), через которую проходит искомая прямая, поэтому используем уравнение прямой, проходящей через точку М(х0,у0) перпендикулярно вектору 
. А(х-х0)+В(у-у0)=0, 2(х-1)+3(у+2)=0, 2х+3у+4=0.
б) Если искомая прямая l1 (рис.3) перпендикулярна заданной l, то вектор будет параллелен прямой l1, и мы возьмем его в качестве направляющего вектора искомой прямой 
.
| l |
| l1 |
| 2х+3у-3=0 |
| .
|
| М(1;-2) |
| Рис.3 |
Используем уравнение прямой, проходящей через точку М(х0,у0) параллельно вектору 
. 
. У нас 
. 
; 3х-3=2у+4, 3х-2у-7=0.
Ответ: 2х+3у+4=0, 3х-2у-7=0.
2. Найти расстояние от точки М0(2;-1) до прямой 3х+4у-22=0.
Решение:
; х0=2; у0=-1.
А=3; В=4; С=-22.
.
Ответ: 4.